206 Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.

Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.

analysis

Espaces vectoriels normés

Complétude

Soit un espace métrique.

Définition 1. On dit que est complet si toute suite de Cauchy de est convergente dans .

Exemple 2.

  • est complet.

  • est complet pour tout .

Proposition 3. On suppose que est un espace métrique complet. Soit . Alors est complet si et seulement si est une partie fermée de .

Proposition 4. On suppose que est un espace vectoriel sur de dimension finie muni de la norme infinie . Alors est un espace vectoriel normé complet.

Contre-exemple 5. L’espace des fonctions polynômiales définies sur et muni de la norme n’est pas complet.

Application 6 (Théorème du point fixe de Banach). Soient un espace métrique complet et une application contractant (ie. ). Alors, De plus la suite des itérés définie par et converge vers .

Application 7 (Théorème de prolongement des applications uniformément continues). Soient et des espaces métriques. On suppose complet. Soient dense et une application uniformément continue. Alors, il existe une unique application uniformément continue et telle que .

Compacité

Soit un espace métrique.

Définition 8. Un espace métrique est compact s’il vérifie la propriété de Bolzano-Weierstrass :

De toute suite de l’espace on peut extraire une sous-suite convergente dans cet espace.

Exemple 9. Tout segment de est compact, mais n’est pas compact.

Proposition 10.

  1. Un espace métrique compact est complet.

  2. Un espace métrique compact est borné.

Proposition 11. Soit .

  1. Si est compacte, alors est une partie fermée bornée de .

  2. Si est compact et est fermée, alors est compacte.

Proposition 12. Un produit d’espaces métriques compacts est compact pour la distance produit.

Proposition 13. On suppose que est un espace vectoriel de dimension finie muni de la norme infinie . Les compacts de cet espace vectoriel normé sont les parties fermées et bornées.

Application 14. Un intervalle de est compact si et seulement si c’est un segment.

Équivalence des normes

Soit un espace vectoriel.

Définition 15. On dit que deux normes et sur sont équivalentes si

Remarque 16. Deux normes équivalentes sur définissent la même topologie sur .

Théorème 17. En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

Le corollaire suivant justifie l’étude de la compacité dans la 0.1.2.

Corollaire 18. Les parties compactes d’un espace vectoriel normé de dimension finie sont les parties fermées bornées.

Et le corollaire suivant justifie l’étude de la complétude dans la 0.1.1.

Corollaire 19.

  1. Tout espace vectoriel de dimension finie est complet.

  2. Tout espace vectoriel de dimension finie dans un espace vectoriel normé est fermé dans cet espace.

  3. Si est un espace vectoriel normé, alors toute application linéaire (où désigne un espace vectoriel normé arbitraire) est continue.

Application 20 (Théorème de d’Alembert-Gauss). Tout polynôme non constant de admet une racine dans .

Application 21. L’exponentielle d’une matrice est un polynôme en la matrice.

Théorème 22 (Riesz). La boule unité fermée d’un espace vectoriel normé est compacte si et seulement s’il est dimension finie.

Applications linéaires

Soient et deux espaces vectoriels normés sur ou .

Notation 23. On note l’ensemble des applications linéaires de dans et l’ensemble des applications linéaires continues de dans . Si , on note et .

Théorème 24. Soit . Les assertions suivantes sont équivalentes.

  1. .

  2. est continue en .

  3. est bornée sur .

  4. est bornée sur .

  5. Il existe tel que .

  6. est lipschitzienne.

  7. est uniformément continue sur .

Proposition 25. Toute application linéaire d’un espace vectoriel normé de dimension finie dans un espace vectoriel normé quelconque est continue.

Contre-exemple 26. La dérivation sur , n’est pas continue.

Espaces de Hilbert

Espaces de Hilbert et dimension finie

Soit ou .

Définition 27. Un espace vectoriel sur le corps est un espace de Hilbert s’il est muni d’un produit scalaire et est complet pour la norme associée .

Exemple 28. Tout espace préhilbertien (ie. muni d’un produit scalaire) de dimension finie est un espace de Hilbert.

Théorème 29 (Projection sur un convexe fermé). Soit un convexe fermé non-vide. Alors : On peut donc noter , le projeté orthogonal de sur . Il s’agit de l’unique point de vérifiant

Théorème 30. Si est un sous espace vectoriel fermé dans (par exemple, si est de dimension finie), alors est une application linéaire continue. De plus, pour tout , est l’unique point tel que .

Théorème 31. Si est un sous espace vectoriel fermé dans (par exemple, si est de dimension finie), alors et est la projection sur parallèlement à : c’est la projection orthogonale sur .

Remarque 32. En reprenant les notations précédentes, en supposant de dimension finie et en notation une base orthonormée de , alors

Séries de Fourier

Notation 33.

  • Pour tout , on note l’espace des fonctions , -périodiques et mesurables, telles que .

  • Pour tout , on note la fonction -périodique définie pour tout par .

Remarque 34.

Proposition 35. est un espace de Hilbert pour le produit scalaire

Théorème 36. La famille est une base hilbertienne (totale et orthonormée) de .

Corollaire 37. Soit . On note le sous-espace vectoriel des polynômes trigonométriques de degré . Alors :

  1. .

  2. est la somme partielle d’ordre de la série de Fourier de .

  3. est le -ième coefficient de Fourier.

Application 38 (Inégalité de Beissel).

Remarque 39. Cette inégalité est en fait une égalité : c’est l’égalité de Parseval.

Exemple 40. On considère sur . Alors,

Calcul différentiel

Différentielle et dérivées partielles

Soient et deux espaces vectoriels normés sur . Soient ouvert et une application de dans .

Définition 41. est dite différentiable en un point de s’il existe telle que Si existe, alors elle est unique et on la note : c’est la différentielle de en .

Remarque 42.

  • En dimension quelconque dépend a priori des normes et . Cependant, en dimension finie, l’équivalence des normes implique que l’existence et la valeur de ne dépend pas des normes choisies.

  • La définition demande à d’être continue. En dimension finie, le problème ne se pose donc pas.

Exemple 43. Si est linéaire et continue, alors pour tout .

On se place maintenant dans le cas où .

Définition 44. Soit .

  • Soit . Si la fonction de la variable réelle est dérivable en , on dit que est dérivable en selon le vecteur . On note alors

  • Soit la base canonique de et soit . On dit que admet une -ième dérivée partielle en si est dérivable en selon le vecteur . On note alors

Proposition 45. Une fonction différentiable en un point est dérivable selon tout vecteur en ce point.

Contre-exemple 46. La fonction est dérivable selon tout vecteur au point mais n’est pas continue en .

Théorème 47. Si toutes les dérivées partielles de existent et si elles sont continues en un point de , alors est différentiable en et on a est la base duale de la base canonique de .

Application 48. Soit . Si , la matrice de dans les bases canoniques de et est (où l’on a noté ) : c’est la matrice jacobienne de en .

Équations différentielles linéaires

Définition 49. Soient , un espace de Banach et un ouvert. Soit une fonction.

  • On appelle équation différentielle une équation de la forme (ie. une équation portant sur les dérivées d’une fonction.)

  • Toute application (où est un intervalle de ) fois dérivable vérifiant :

    1. ;

    2. ;

    est une solution de . On note l’ensemble des solutions de .

  • Une solution de est dite maximale s’il n’existe pas d’autre solution (où est un intervalle de ) de telle que , et sir .

  • On appelle problème de Cauchy de en la recherche d’une solution de vérifiant

Définition 50. Toute équation différentielle sur d’ordre du type (où sont des fonctions continues d’un intervalle de non réduit à un point dans et est une fonction continue) est appelée équation différentielle linéaire d’ordre .

Si de plus , alors est qualifiée d’homogène.

Théorème 51 (Cauchy-Lipschitz linéaire). Soient et deux fonctions continues. Alors , le problème de Cauchy admet une unique solution définie sur tout entier.

Exemple 52. Considérons l’équation . Comme la fonction nulle est solution maximale, il s’agit de l’unique solution qui s’annule sur .