On dit que $E$ est complet si toute suite de Cauchy de $E$ est convergente dans $E$.

Un espace métrique est compact s’il vérifie la propriété de Bolzano-Weierstrass :

On dit que deux normes $\Vert .{\Vert }_1$ et $\Vert .{\Vert }_2$ sur $E$ sont équivalentes si $$\exists \alpha ,\beta >0\text{ tels que }\forall x\in E,\alpha \Vert x{\Vert }_2\le \Vert x{\Vert }_1\le \beta \Vert x{\Vert }_2$$

Un espace vectoriel $H$ sur le corps $\mathbb{K}$ est un espace de Hilbert s’il est muni d’un produit scalaire $⟨.,.⟩$ et est complet pour la norme associée $\Vert .\Vert =\sqrt{⟨.,.⟩}$.

$f$ est dite différentiable en un point $a$ de $U$ s’il existe ${\ell }_a\in \mathcal{L}(E,F)$ telle que $$f(a+h)=f(a)+{\ell }_a(h)+o(\Vert h{\Vert }_E)\text{ quand }h⟶0$$ Si ${\ell }_a$ existe, alors elle est unique et on la note $\mathrm{d}{f}_a$ : c’est la différentielle de $f$ en $a$.

Soit $a\in U$.

• Soit $v\in E$. Si la fonction de la variable réelle $\phi :t\mapsto f(a+tv)$ est dérivable en $0$, on dit que $f$ est dérivable en $a$ selon le vecteur $v$. On note alors $$f_v^{\prime }(a)={\phi }^{\prime }(0)$$

• Soit $(e_1,\dots ,e_n)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^n$ et soit $i\in [[1,n]]$. On dit que $f$ admet une $i$-ième dérivée partielle en $a$ si $f$ est dérivable en $a$ selon le vecteur $e_i$. On note alors $$\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)=f_{e_i}^{\prime }(a)$$

Soient $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $E$ un espace de Banach et $\Omega \subseteq \mathbb{R}\times E^n$ un ouvert. Soit $F:\Omega \to E$ une fonction.

• On appelle équation différentielle une équation de la forme $$y^{(n)}=F(t,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n-1)})\text{\hspace{1em}(∗)}$$ (ie. une équation portant sur les dérivées d’une fonction.)

• Toute application $\phi :I\to E$ (où $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$) $n$ fois dérivable vérifiant :

  1. $\forall t\in I,(t,\phi (t),\dots ,{\phi }^{(n-1)}(t))\in \Omega$ ;

  2. $\forall t\in I,F(t,\phi (t),\dots ,{\phi }^{(n-1)}(t))={\phi }^{(n)}(t)$ ;

  est une solution de $(\ast )$. On note ${\mathcal{S}}_{\ast }$ l’ensemble des solutions de $(\ast )$.

• Une solution $\phi :I\to E$ de $(\ast )$ est dite maximale s’il n’existe pas d’autre solution $\psi :J\to E$ (où $J$ est un intervalle de $\mathbb{R}$) de $(\ast )$ telle que $I\subseteq J$, $I\ne J$ et $\psi =\phi$ sur $I$.

• On appelle problème de Cauchy de $(\ast )$ en $(t_0,x_0,\dots ,x_{n-1})$ la recherche d’une solution $\phi :I\to E$ de $(\ast )$ vérifiant $$\phi (t_0)=x_0,\dots ,{\phi }^{(n-1)}(t_0)=x_{n-1}$$

Toute équation différentielle sur ${\mathbb{K}}^n$ d’ordre $p\ge 1$ du type $$Y^{(p)}=A_{p-1}(t)Y^{(p-1)}+\cdots +A_0(t)Y+B(t)\text{\hspace{1em}(L)}$$ (où $A_{p-1},\dots ,A_0$ sont des fonctions continues d’un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ non réduit à un point dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ et $B:I\to {\mathbb{K}}^n$ est une fonction continue) est appelée équation différentielle linéaire d’ordre $p$.

Si de plus $B=0$, alors $(L)$ est qualifiée d’homogène.