208 Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

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Dans toute la suite, désignera le corps ou et un espace vectoriel sur .

Définitions et premières propriétés

Espace vectoriel normé

Définition 1. Une norme sur est une application telle que :

  1. (séparabilité).

  2. (homogénéité).

  3. (inégalité triangulaire).

Exemple 2.

  • est une norme sur , est une norme sur .

  • est une norme sur .

Définition 3. est dit normé s’il est muni d’une norme .

Dans toute la suite, désignera un espace vectoriel normé muni d’une norme .

Définition 4. Deux normes et sur sont dites équivalentes si

Remarque 5. Deux normes équivalentes définissent des distances équivalentes. Sur un plan topologique et lorsqu’on travaille avec des suites de Cauchy, il est indifférent de prendre l’une ou l’autre de ces normes.

Quelques exemples

Exemple 6. Comme mentionné précédemment, et sont des espaces vectoriels normés (munis de définie à l’Exemple 2).

Exemple 7. L’ensemble des applications bornées d’un ensemble dans est un espace vectoriel normé muni de la norme .

Exemple 8.

  • est un espace vectoriel normé muni de la norme .

  • est un espace vectoriel normé muni de la norme .

Applications linéaires continues

Soit un espace vectoriel normé sur . désigne la norme sur .

Notation 9. On note l’ensemble des applications linéaires de dans et l’ensemble des applications linéaires continues de dans . Si , on note et .

Théorème 10. Soit . Les assertions suivantes sont équivalentes.

  1. .

  2. est continue en .

  3. est bornée sur .

  4. est bornée sur .

  5. Il existe tel que .

  6. est lipschitzienne.

  7. est uniformément continue sur .

Corollaire 11. L’application est correctement définie sur et définit une norme sur cet espace.

Remarque 12. Le réel du corollaire précédent est le plus petit réel positif tel que pour tout . En particulier,

Proposition 13. Soient un espace vectoriel normé, et . Alors, .

Proposition 14. Si est inversible, .

Proposition 15. Une forme linéaire sur (ie. un élément de ) est continue (ie. est un élément de ) si et seulement si son noyau est fermé.

Exemple 16. L’application est continue pour mais pas pour (où et ).

Étude en dimension finie

On se place ici dans le cas où est de dimension finie.

Théorème 17. Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

Corollaire 18. Toute application continue d’un espace vectoriel normé de dimension finie dans un espace vectoriel normé (quelconque) est continue.

Corollaire 19. Tout sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel normé de dimension finie est fermé.

Corollaire 20. Les parties compactes d’un espace vectoriel normé de dimension finie sont les parties fermées et bornées.

Contre-exemple 21. Munir de la norme rend l’opérateur de dérivation non continu.

Théorème 22 (Riesz). La boule unité fermée d’un espace vectoriel normé est compacte si et seulement s’il est dimension finie.

Complétude

Espaces de Banach

Définition 23. Un espace vectoriel normé complet (ie. dans lequel toute suite de Cauchy converge) est un espace de Banach.

Exemple 24. Tout espace vectoriel normé de dimension finie est complet.

Exemple 25. Soit un espace de Banach. Alors est un espace de Banach.

Exemple 26. Soient un ensemble. On suppose que un espace de Banach. Alors est un espace de Banach.

Exemple 27. Pour tout compact de , est complet. Mais pas .

Théorème 28 (Riesz-Fischer). Pour tout , est complet pour la norme .

Proposition 29. est de Banach si et seulement si toute série de absolument convergente est convergente.

Théorème 30 (Baire). On suppose complet. Alors toute intersection d’ouvert denses est encore dense dans .

Application 31. Un espace vectoriel normé à base dénombrable n’est pas complet.

Application 32 (Théorème de Banach-Steinhaus). Soient et deux espaces de Banach et des applications linéaires continues telles que alors,

Application 33 (Théorème du graphe fermé). Soient et deux espaces de Banach et . Si le graphe de : est fermé dans , alors est continue.

Application 34 (Théorème de l’application ouverte). Soient et deux espaces de Banach et surjective. Alors,

Corollaire 35 (Théorème des isomorphismes de Banach). Soient et deux espaces de Banach et bijective. Alors est continue.

Corollaire 36. On suppose que est de Banach. Soient et deux supplémentaires algébriques fermés dans . Alors les projections associées sur et sont continues.

Espaces de Hilbert

Généralités

Définition 37. Un espace vectoriel sur le corps est un espace de Hilbert s’il est muni d’un produit scalaire et est complet pour la norme associée .

Exemple 38. Tout espace euclidien ou hermitien est un espace de Hilbert.

Exemple 39. muni de est un espace de Hilbert.

Pour toute la suite, on fixe un espace de Hilbert de norme et on note le produit scalaire associé.

Lemme 40 (Identité du parallélogramme). et cette identité caractérise les normes issues d’un produit scalaire.

Théorème 41 (Projection sur un convexe fermé). Soit un convexe fermé non-vide. Alors : On peut donc noter , le projeté orthogonal de sur . Il s’agit de l’unique point de vérifiant

Théorème 42. Si est un sous espace vectoriel fermé dans , alors est une application linéaire continue. De plus, pour tout , est l’unique point tel que .

Corollaire 43. Soit un sous-espace vectoriel de . Alors,

Théorème 44 (Représentation de Riesz). et de plus, .

Corollaire 45. On note alors : c’est l’adjoint de . On a alors .

Exemple 46 (Opérateur de Voltera). On définit sur par : est une application linéaire continue et son adjoint est défini par :

Théorème 47. L’application est une isométrie linéaire surjective. C’est donc un isomorphisme isométrique.

Bases hilbertiennes

Définition 48. On dit que est une base hilbertienne de si

  • est orthonormale.

  • est totale.

Exemple 49. est une base hilbertienne de .

Théorème 50. Soit une base hilbertienne de . Alors : On a de plus, pour tout , les formules de Parseval :

  • .

  • .

Application 51. En utilisant l’[246-6], avec , on retrouve

Annexes

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Illustration du théorème de projection sur un convexe fermé