208 Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

analysis

Dans toute la suite, $K$ désignera le corps $R$ ou $C$ et $E$ un espace vectoriel sur $K$ .

Généralités

Normes sur un espace vectoriel

[GOU20]
p. 7

Définition 1

Une norme sur $E$ est une application $∥.∥ : E \to R^{+}$ telle que :

$∥ x ∥ = 0 ⟺ x = 0$ (séparabilité).
$\forall λ \in K, \forall x \in E, ∥ λ x ∥ = ∣ λ ∣∥ x ∥$ (homogénéité).
$\forall x, y \in E, ∥ x + y ∥ \leq ∥ x ∥ + ∥ y ∥$ (inégalité triangulaire).

Exemple 2

$x \mapsto ∣ x ∣$ est une norme sur $R$ , $z \mapsto ∣ z ∣$ est une norme sur $C$ .
$\forall α \geq 1, ∥. ∥_{α} : (x_{1}, \dots, x_{n}) \mapsto (\sum_{i = 1}^{n} ∣ x_{i} ∣^{α})^{\frac{1}{α}}$ est une norme sur $R^{n}$ .

p. 47

Définition 3

$E$ est dit normé s’il est muni d’une norme $∥.∥$ .

Dans toute la suite, $E$ désignera un espace vectoriel normé muni d’une norme $∥.∥$ .

Définition 4

Deux normes $∥. ∥_{1}$ et $∥. ∥_{2}$ sur $E$ sont dites équivalentes si $\exists a, b > 0 tels que \forall x \in E, a ∥ x ∥_{1} \leq ∥ x ∥_{2} \leq b ∥ x ∥_{1}$

Remarque 5

Deux normes équivalentes définissent des distances équivalentes. Sur un plan topologique et lorsqu’on travaille avec des suites de Cauchy, il est indifférent de prendre l’une ou l’autre de ces normes.

Quelques exemples

Exemple 6

Comme mentionné précédemment, $R^{n}$ et $C^{n}$ sont des espaces vectoriels normés (munis de $∥. ∥_{α}$ définie à l’2).

p. 8

Exemple 7

L’ensemble $B (X, E)$ des applications bornées d’un ensemble $X$ dans $E$ est un espace vectoriel normé muni de la norme $∥. ∥_{\infty} : f \mapsto sup_{x \in X} ∣ f (x) ∣$ .

p. 53

Exemple 8

$ℓ_{1} (R) = {(u_{n}) \in R^{n} ∣ \sum_{n = 0}^{+ \infty} ∣ u_{n} ∣ < + \infty}$ est un espace vectoriel normé muni de la norme $∥ (u_{n}) ∥_{1} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} ∣ u_{n} ∣$ .
$ℓ_{\infty} (R) = {(u_{n}) \in R^{n} ∣ (u_{n}) est born \overset{e}{ˊ} e}$ est un espace vectoriel normé muni de la norme $∥ (u_{n}) ∥_{\infty} = sup_{n \in N} ∣ u_{n} ∣$ .

Applications linéaires continues

p. 48

Soit $(F, ∥. ∥_{F})$ un espace vectoriel normé sur $K$ . $∥. ∥_{E}$ désigne la norme sur $E$ .

Notation 9

On note $L (E, F)$ l’ensemble des applications linéaires de $E$ dans $F$ et $L (E, F)$ l’ensemble des applications linéaires continues de $E$ dans $F$ . Si $E = F$ , on note $L (E, F) = L (E)$ et $L (E, F) = L (E)$ .

Théorème 10

Soit $f \in L (E, F)$ . Les assertions suivantes sont équivalentes.

$f \in L (E, F)$ .
$f$ est continue en $0$ .
$f$ est bornée sur $\overline{B} (0, 1) \subseteq E$ .
$f$ est bornée sur $S (0, 1) \subseteq E$ .
Il existe $M \geq 0$ tel que $∥ f (x) ∥_{F} \leq M ∥ x ∥_{E}$ .
$f$ est lipschitzienne.
$f$ est uniformément continue sur $E$ .

Corollaire 11

L’application $∣∣∣.∣∣∣ : f \mapsto sup_{∥ x ∥_{E} = 1} ∥ f (x) ∥_{F} = sup_{x \neq = 0} \frac{∥ f ( x ) ∥ _{F}}{∥ x ∥ _{E}}$ est correctement définie sur $L (E, F)$ et définit une norme sur cet espace.

Remarque 12

Le réel $∣∣∣ f ∣∣∣$ du corollaire précédent est le plus petit réel positif $M$ tel que $∥ f (x) ∥_{F} \leq M ∥ x ∥_{E}$ pour tout $x \in E$ . En particulier, $\forall x \in E, ∥ f (x) ∥_{F} \leq ∣∣∣ f ∣∣∣∥ x ∥_{E}$

Proposition 13

Soient $(G, ∥. ∥_{G})$ un espace vectoriel normé, $f \in L (E, F)$ et $g \in L (F, G)$ . Alors, $∣∣∣ g \circ f ∣∣∣ \leq ∣∣∣ g ∣∣∣∣∣∣ f ∣∣∣$ .

Proposition 14

Si $f \in L (E, F)$ est inversible, $∣∣∣ f ∣∣ ∣^{- 1} \leq ∣∣∣ f^{- 1} ∣∣∣$ .

Proposition 15

Une forme linéaire sur $E$ (ie. un élément de $L (E, K) = E^{*}$ ) est continue (ie. est un élément de $L (E, K) = E^{'}$ ) si et seulement si son noyau est fermé.

[LI]
p. 19

Exemple 16

L’application $δ_{0} : C ([0, 1], K) f \to \mapsto K f (0)$ est continue pour $∥. ∥_{\infty}$ mais pas pour $∥. ∥_{1}$ (où $∥. ∥_{1} = \int_{[0, 1]} ∣.∣ d μ$ et $∥. ∥_{\infty} = sup_{[0, 1]}$ ).

Étude en dimension finie

On se place ici dans le cas où $E$ est de dimension finie.

equivalence-des-normes-en-dimension-finie-et-theoreme-de-riesz

Théorème 17

Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

Corollaire 18

Toute application linéaire d’un espace vectoriel normé de dimension finie dans un espace vectoriel normé (quelconque) est continue.

Corollaire 19

Tout sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel normé de dimension finie est fermé.

Corollaire 20

Les parties compactes d’un espace vectoriel normé de dimension finie sont les parties fermées et bornées.

Contre-exemple 21

Munir $R [X]$ de la norme $∥. ∥_{\infty} \mapsto \sum_{i} a_{i} X^{i} \mapsto sup_{i} ∣ a_{i} ∣$ rend l’opérateur de dérivation $P \mapsto P^{'}$ non continu.

p. 56

Théorème 22

Théorème de RieszLa boule unité fermée d’un espace vectoriel normé est compacte si et seulement s’il est de dimension finie.

Complétude

Espaces de Banach

[LI]
p. 20

Définition 23

Un espace vectoriel normé complet (ie. dans lequel toute suite de Cauchy converge) est un espace de Banach.

p. 50

Exemple 24

Tout espace vectoriel normé de dimension finie est complet.

Exemple 25

Soit $F$ un espace de Banach. Alors $L (E, F)$ est un espace de Banach.

p. 21

Exemple 26

Soient $X$ un ensemble. On suppose que $E$ un espace de Banach. Alors $B (X, E)$ est un espace de Banach.

p. 10

Exemple 27

Pour tout compact $K$ de $R$ , $(C (K, K), ∥. ∥_{\infty})$ est complet. Mais pas $(C (K, K), ∥. ∥_{1})$ .

Théorème 28

Théorème de Riesz-FischerPour tout $p \in [1, + \infty]$ , $L_{p}$ est complet pour la norme $∥. ∥_{p}$ .

[GOU20]
p. 52

Proposition 29

$E$ est de Banach si et seulement si toute série de $E$ absolument convergente est convergente.

[LI]
p. 111

Théorème 30

Théorème de BaireOn suppose $E$ complet. Alors toute intersection dénombrable d’ouverts denses est encore dense dans $E$ .

[GOU20]
p. 419

Application 31

Un espace vectoriel normé à base algébrique dénombrable infinie n’est pas complet.

[LI]
p. 112

Application 32

Théorème de Banach-Steinhaus. Soient $(E, ∥. ∥_{E})$ et $(F, ∥. ∥_{F})$ deux espaces de Banach et $(T_{i})_{i \in I}$ des applications linéaires continues telles que $\forall x \in E, i \in I sup ∥ T_{i} (x) ∥_{F} < + \infty$ alors, $i \in I sup ∣∣∣ T_{i} ∣∣∣ < + \infty$

Application 33

Théorème du graphe ferméSoient $E$ et $F$ deux espaces de Banach et $T \in L (E, F)$ . Si le graphe de $T$ : ${(x, T (x)) ∣ x \in E} \subseteq E \times F$ est fermé dans $E \times F$ , alors $T$ est continue.

Application 34

Théorème de l’application ouverte. Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach et $T \in L (E, F)$ surjective. Alors, $\exists c > 0, T (B_{E} (0, 1)) \supseteq B_{F} (0, c)$

Corollaire 35

Théorème des isomorphismes de BanachSoient $E$ et $F$ deux espaces de Banach et $T \in L (E, F)$ bijective. Alors $T^{- 1}$ est continue.

Corollaire 36

On suppose que $E$ est de Banach. Soient $E_{1}$ et $E_{2}$ deux supplémentaires algébriques fermés dans $E$ . Alors les projections associées sur $E_{1}$ et $E_{2}$ sont continues.

Espaces de Hilbert

Généralités

[LI]
p. 31

Définition 37

Un espace vectoriel $H$ sur le corps $K$ est un espace de Hilbert s’il est muni d’un produit scalaire $⟨ ., . ⟩$ et est complet pour la norme associée $∥.∥ = ⟨ ., . ⟩$ .

Exemple 38

Tout espace euclidien ou hermitien est un espace de Hilbert.

Exemple 39

$L_{2} (μ)$ muni de $⟨ ., . ⟩ : (f, g) \mapsto \int f \overline{g} d μ$ est un espace de Hilbert.

Pour toute la suite, on fixe $H$ un espace de Hilbert de norme $∥.∥$ et on note $⟨ ., . ⟩$ le produit scalaire associé.

Lemme 40

Identité du parallélogramme $\forall x, y \in H, ∥ x + y ∥^{2} + ∥ x - y ∥^{2} = 2 (∥ x ∥^{2} ∥ y ∥^{2})$ et cette identité caractérise les normes issues d’un produit scalaire.

projection-sur-un-convexe-ferme

Théorème 41

Projection sur un convexe ferméSoit $C \subseteq H$ un convexe fermé non-vide. Alors : $\forall x \in H, \exists! y \in C tel que d (x, C) = z \in C in f ∥ x - z ∥ = d (x, y)$ On peut donc noter $y = P_{C} (x)$ , le projeté orthogonal de $x$ sur $C$ . Il s’agit de l’unique point de $C$ vérifiant $\forall z \in C, ⟨ x - P_{C} (x), z - P_{C} (x)⟩ \leq 0$

Théorème 42

Si $F$ est un sous-espace vectoriel fermé dans $H$ , alors $P_{F}$ est une application linéaire continue. De plus, pour tout $x \in H$ , $P_{F} (x)$ est l’unique point $y \in F$ tel que $x - y \in F^{⊥}$ .

Corollaire 43

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $H$ . Alors, $\overline{F} = H ⟺ F^{⊥} = 0$

Théorème 44

de représentation de Riesz $\forall φ \in H^{'}, \exists! y \in H, tel que \forall x \in H, φ (x) = ⟨ x, y ⟩$ et de plus, $∣∣∣ φ ∣∣∣ = ∥ y ∥$ .

Corollaire 45

$\forall T \in H^{'}, \exists! U \in H^{'} tel que \forall x, y \in H, ⟨ T (x), y ⟩ = ⟨ x, U (y)⟩$ On note alors $U = T^{*}$ : c’est l’adjoint de $T$ . On a alors $∣∣∣ T ∣∣∣ = ∣∣∣ T^{*} ∣∣∣$ .

p. 65

Exemple 46

Opérateur de VolteraOn définit $T$ sur $H = L_{2} ([0, 1])$ par : $T : H f \to \mapsto H x \mapsto \int_{0}^{x} f (t) d t$ $T$ est une application linéaire continue et son adjoint $T^{*}$ est défini par : $T^{*} : g \mapsto (x \mapsto \int_{x}^{1} g (t) d t)$

[Z-Q]
p. 222

Application 47

L’application $φ : L_{q} g \to (L_{p})^{'} \mapsto (φ_{g} : f \mapsto \int_{X} f g d μ) o \overset{u}{ˋ} \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ est une isométrie linéaire surjective. C’est donc un isomorphisme isométrique.

Bases hilbertiennes

[LI]
p. 43

Définition 48

On dit que $(e_{n}) \in H^{N}$ est une base hilbertienne de $H$ si

$(e_{n})$ est orthonormale.
$(e_{n})$ est totale.

Exemple 49

$(t \mapsto e^{2 π in t})_{n \in Z}$ est une base hilbertienne de $L_{2} ([0, 1])$ .

Théorème 50

Soit $(e_{n})_{n \in N}$ une base hilbertienne de $H$ . Alors : $\forall x \in H, x = n = 0 \sum + \infty ⟨ x, e_{n} ⟩ e_{n}$ On a de plus, pour tout $x, y \in H$ , les formules de Parseval :

$∥ x ∥^{2} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} ∣ ⟨ x, e_{n} ⟩ ∣^{2}$ .
$⟨ x, y ⟩ = \sum_{n = 0}^{+ \infty} ⟨ x, e_{n} ⟩ \overline{⟨ y, e_{n} ⟩}$ .

[GOU20]
p. 272

Application 51

On considère $f : x \mapsto 1 - \frac{x ^{2}}{π ^{2}}$ sur $[- π, π]$ . Alors, $∥ f ∥_{2}^{2} = \frac{8}{9} + n = 1 \sum + \infty \frac{16}{π ^{4} n ^{4}} = \frac{16}{15} ⟹ n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{4}} = \frac{π ^{4}}{90}$

Annexes

[LI]
p. 32

tikzpicture-1 — Illustration du théorème de projection sur un convexe fermé.