209 Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.

Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.

analysis

Dans toute la suite, $K$ désignera le corps $R$ ou $C$ .

Approximation par des polynômes

Approximation locale

Théorème 1 (Formule de Taylor-Lagrange). Soit $f$ une fonction réelle de classe $C^{n}$ sur un intervalle $[a, b]$ telle que $f^{(n + 1)}$ existe sur un intervalle $] a, b [$ . Alors, $\exists c \in] a, b [tel que f (b) = = T_{n} (b) k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (b - a)^{k} + \frac{f ^{(n + 1)} ( c )}{( n + 1 )!} (b - a)^{n + 1}$

Application 2.

$\forall x \in R^{+}, x - \frac{x ^{2}}{2} \leq ln (1 + x) \leq x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3}$ .
$\forall x \in R^{+}, x - \frac{x ^{3}}{6} \leq sin (x) \leq x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120}$ .
$\forall x \in R, 1 - \frac{x ^{2}}{2} \leq cos (x) \leq 1 - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{4}}{24}$ .

Proposition 3. En reprenant les notations du Théorème 1, on a $∥ exp - T_{n} ∥_{\infty} ⟶ 0$ sur $[a, b]$ .

Approximation sur un compact

p. 238

Théorème 4 (Théorèmes de Dini).

Soit $(f_{n})$ une suite croissante de fonctions réelles continues définies sur un segment $I$ de $R$ . Si $(f_{n})$ converge simplement vers une fonction continue sur $I$ , alors la convergence est uniforme.
Soit $(f_{n})$ une suite de fonctions croissantes réelles continues définies sur un segment $I$ de $R$ . Si $(f_{n})$ converge simplement vers une fonction continue sur $I$ , alors la convergence est uniforme.

p. 242

Théorème 5 (Bernstein). Soit $f : [0, 1] \to C$ continue. On note $B_{n} (f) : x \mapsto k = 0 \sum n f (\frac{k}{n}) (k n) x^{k} (1 - x)^{n - k}$ Alors, $∥ B_{n} (f) - f ∥_{\infty} ⟶_{n \to + \infty} 0$

p. 304

theoreme-de-weierstrass-par-la-convolution

Corollaire 6 (Weierstrass). Toute fonction continue $f : [a, b] \to R$ (avec $a, b \in R$ tels que $a \leq b$ ) est limite uniforme de fonctions polynômiales sur $[a, b]$ .

On a une version plus générale de ce théorème.

[LI]
p. 46

Théorème 7 (Stone-Weierstrass). Soit $K$ un espace compact et $A$ une sous-algèbre de l’algèbre de Banach réelle $C (K, R)$ . On suppose de plus que :

$A$ sépare les points de $K$ (ie. $\forall x \in K, \exists f \in A telle que f (x) \neq = f (y)$ ).
$A$ contient les constantes.

Alors $A$ est dense dans $C (K, R)$ .

Remarque 8. Il existe aussi une version complexe de ce théorème, où il faut supposer de plus que $A$ est stable par conjugaison.

Exemple 9. La suite de polynômes réels $(r_{n})$ définie par récurrence par $r_{0} = 0 et \forall n \in N, r_{n + 1} : t \mapsto r_{n} (t) + \frac{1}{2} (t - r_{n} (t)^{2})$ converge vers $.$ sur $[0, 1]$ .

Interpolation

[DEM]
p. 21

Soit $f$ une fonction réelle continue sur un intervalle $[a, b]$ . On se donne $n + 1$ points $x_{0}, \dots, x_{n} \in [a, b]$ distincts deux-à-deux.

Définition 10. Pour $i \in [[0, n]]$ , on définit le $i$ -ième polynôme de Lagrange associé à $x_{1}, \dots, x_{n}$ par $ℓ_{i} : x \mapsto j = 0 j \neq = i \prod n \frac{x - x _{j}}{x _{i} - x _{j}}$

Théorème 11. Il existe une unique fonction polynômiale $p_{n}$ de degré $n$ telle que $\forall i \in [[0, n]], p_{n} (x_{i}) = f (x_{i})$ : $p_{n} = i = 0 \sum n f (x_{i}) ℓ_{i}$

Théorème 12. On note $π_{n + 1} : x \mapsto \prod_{j = 0}^{n} (x - x_{j})$ et on suppose $f$ $n + 1$ fois dérivable $[a, b]$ . Alors, pour tout $x \in [a, b]$ , il existe un réel $ξ_{x} \in] min (x, x_{i}), max (x, x_{i}) [$ tel que $f (x) - p_{n} (x) = \frac{π _{n + 1} ( x )}{( n + 1 )!} f^{(n + 1)} (ξ_{x})$

Corollaire 13. $∥ f - p_{n} ∥_{\infty} \leq \frac{1}{( n + 1 )!} ∥ π_{n + 1} ∥_{\infty} ∥ f^{(n + 1)} ∥_{\infty}$

[DAN]
p. 506

Application 14 (Calculs approchés d’intégrales). On note $I (f) = \int_{a}^{b} f (t) d t$ . L’objectif est d’approximer $I (f)$ par une expression $P (f)$ et de majorer l’erreur d’approximation $E (f) = ∣ I (f) - P (f) ∣$ .

Méthode des rectangles. On suppose $f$ continue. Avec $P (f) = (b - a) f (a)$ , on a $E (f) \leq \frac{( b - a ) ^{2}}{2} ∥ f^{'} ∥_{\infty}$ .
Méthode du point milieu. On suppose $f$ de classe $C^{2}$ . Avec $P (f) = (b - a) f (\frac{a + b}{2})$ , on a $E (f) \leq \frac{( b - a ) ^{3}}{24} ∥ f^{''} ∥_{\infty}$ .
Méthode des trapèzes. On suppose $f$ de classe $C^{2}$ . Avec $P (f) = \frac{b - a}{2} (f (a) + f (b))$ , on a $E (f) \leq \frac{( b - a ) ^{3}}{12} ∥ f^{''} ∥_{\infty}$ .
Méthode de Simpson. On suppose $f$ de classe $C^{4}$ . Avec $P (f) = \frac{b - a}{6} (f (a) + f (b) + 4 f (\frac{a + b}{2}))$ , on a $E (f) \leq \frac{( b - a ) ^{3}}{2880} ∥ f^{(4)} ∥_{\infty}$ .

Approximation dans les espaces de Lebesgue

Convolution

[AMR08]
p. 75

Définition 15. Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $R^{d}$ dans $R$ . On dit que la convolée (ou le produit de convolution) de $f$ et $g$ en $x \in R$ existe si la fonction $R t \to \mapsto C f (x - t) g (t)$ est intégrable sur $R^{d}$ pour la mesure de Lebesgue. On pose alors : $(f * g) (x) = \int_{R^{d}} f (x - t) g (t) d t$

Proposition 16. Dans $L_{1} (R^{d})$ , le produit de convolution est commutatif, bilinéaire et associatif.

Théorème 17. Soient $p, q > 0$ et $f \in L_{p} (R^{d})$ et $g \in L_{q} (R^{d})$ .

Si $p, q \in [1, + \infty]$ tels que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ , alors $(f * g) (x)$ existe pour tout $x \in R^{d}$ et est uniformément continue. On a, $∥ f * g ∥_{\infty} \leq ∥ f ∥_{p} ∥ g ∥_{q}$ et, si $p \neq = 1, + \infty$ , $f * g \in C_{0} (R)$ .
Si $p = 1$ et $q = + \infty$ , alors $(f * g) (x)$ existe pour tout $x \in R^{d}$ et $f * g \in C_{b} (R)$ .
Si $p = 1$ et $q \in [1, + \infty [$ , alors $(f * g) (x)$ existe pp. en $x \in R^{d}$ et $f * g \in L_{q} (R)$ telle que $∥ f * g ∥_{q} \leq ∥ f ∥_{1} ∥ g ∥_{q}$ .
Si $p = 1$ et $q = 1$ , alors $(f * g) (x)$ existe pp. en $x \in R^{d}$ et $f * g \in L_{1} (R)$ telle que $∥ f * g ∥_{1} \leq ∥ f ∥_{1} ∥ g ∥_{1}$ .

Exemple 18. Soient $a < b \in R_{*}^{+}$ . Alors $1_{[- a, a]} * 1_{[- b, b]}$ existe pour tout $x \in R$ et $(1_{[- a, a]} * 1_{[- b, b]}) (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 a b + a - ∣ x ∣ 0 si 0 \leq ∣ x ∣ \leq b - a si b - a \leq ∣ x ∣ \leq b + a sinon$

p. 85

Proposition 19. $L_{1} (R^{d})$ est une algèbre de Banach pour le produit de convolution.

Remarque 20. Cette algèbre n’a pas d’élément neutre. Afin de pallier à ce manque, nous allons voir la notion d’approximation de l’identité dans la sous-section suivante.

Densité

[B-P]
p. 306

Définition 21. On appelle approximation de l’identité toute suite $(ρ_{n})$ de fonctions mesurables de $L_{1} (R^{d})$ telles que

$\forall n \in N, \int_{R^{d}} ρ_{n} d λ_{d} = 1$ .
$sup_{n \geq 1} ∥ ρ_{n} ∥ < + \infty$ .
$\forall ϵ > 0, lim_{n \to + \infty} \int_{R ∖ B (0, ϵ)} ρ_{n} (x) d x = 0$ .

Remarque 22. Dans la définition précédente, (ii) implique (i) lorsque les fonctions $ρ_{n}$ sont positives. Plutôt que des suites, on pourra considérer les familles indexées par $R_{*}^{+}$ .

Exemple 23.

Noyau de Laplace sur $R$ : $\forall t > 0, ρ_{t} (x) = \frac{1}{2 t} e^{- \frac{∣ x ∣}{t}}$
Noyau de Cauchy sur $R$ : $\forall t > 0, ρ_{t} (x) = \frac{t}{π ( t ^{2} + x ^{2} )}$
Noyau de Gauss sur $R$ : $\forall t > 0, ρ_{t} (x) = \frac{1}{2 π t} e^{- \frac{∣ x ∣ ^{2}}{2 t ^{2}}}$

p. 307

Théorème 24. Soit $(ρ_{n})$ une approximation de l’identité. Soient $p \in [1, + \infty [$ et $f \in L_{p} (R^{d})$ , alors : $\forall n \geq 1, f * ρ_{n} \in L_{p} (R^{d}) et ∥ f * ρ_{n} - f ∥_{p} ⟶ 0$

Théorème 25. Soient $(ρ_{n})$ une approximation de l’identité et $f \in L_{\infty} (R^{d})$ . Alors :

Si $f$ est continue en $x_{0} \in R^{d}$ , alors $(f * ρ_{n}) (x_{0}) ⟶_{n \to + \infty} f (x_{0})$ .
Si $f$ est uniformément continue sur $R^{d}$ , alors $∥ f * ρ_{n} - f ∥_{\infty} ⟶_{n \to + \infty} 0$ .
Si $f$ est continue sur un compact $K$ , alors $sup_{x \in K} ∣ (f * ρ_{n}) (x) - f (x) ∣ ⟶_{n \to + \infty} 0$ .

Définition 26. On qualifie de régularisante toute suite $(α_{n})$ d’approximations de l’identité telle que $\forall n \in N, α_{n} \in C_{K}^{\infty} (R^{d})$ .

p. 274

Exemple 27. Soit $α \in C_{K}^{\infty} (R^{d})$ une densité de probabilité. Alors la suite $(α_{n})$ définie pour tout $n \in N$ par $α_{n} : x \mapsto n α (n x)$ est régularisante.

[AMR08]
p. 96

Application 28.

$C_{K}^{\infty} (R^{d})$ est dense dans $C_{K} (R^{d})$ pour $∥. ∥_{\infty}$ .
$C_{K}^{\infty} (R^{d})$ est dense dans $L_{p} (R^{d})$ pour $∥. ∥_{p}$ avec $p \in [1, + \infty [$ .

Approximations de fonctions périodiques

Séries de Fourier

[Z-Q]
p. 73

Notation 29.

Pour tout $p \in [1, + \infty]$ , on note $L_{p}^{2 π}$ l’espace des fonctions $f : R \to C$ , $2 π$ -périodiques et mesurables, telles que $∥ f ∥_{p} < + \infty$ .
Pour tout $n \in Z$ , on note $e_{n}$ la fonction $2 π$ -périodique définie pour tout $t \in R$ par $e_{n} (t) = e^{in t}$ .

Proposition 30. $L_{2}^{2 π}$ est un espace de Hilbert pour le produit scalaire $⟨ ., . ⟩ : (f, g) \mapsto \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (t) \overline{g (t)} d t$

[GOU20]
p. 268

Définition 31. Soit $f \in L_{1}^{2 π}$ . On appelle :

Coefficients de Fourier complexes, les complexes définis par $\forall n \in Z, c_{n} (f) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (t) e^{- in t} d t = ⟨ f, e_{n} ⟩$
Coefficients de Fourier réels, les complexes définis par $\forall n \in N, a_{n} (f) = \frac{1}{π} \int_{0}^{2 π} f (t) cos (n t) d t et \forall n \in N^{*}, b_{n} (f) = \frac{1}{π} \int_{0}^{2 π} f (t) sin (n t) d t$

Approximation hilbertienne

p. 109

Théorème 32. Soit $H$ un espace de Hilbert et $(ϵ_{n})_{n \in I}$ une famille orthonormée dénombrable de $H$ . Les propriétés suivantes sont équivalentes :

La famille orthonormée $(ϵ_{n})_{n \in I}$ est une base hilbertienne de $H$ .
$\forall x \in H, x = \sum_{n = 0}^{+ \infty} ⟨ x, ϵ_{n} ⟩ ϵ_{n}$ .
$\forall x \in H, ∥ x ∥_{2} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} ∣ ⟨ x, ϵ_{n} ⟩ ∣^{2}$ .

Remarque 33. L’égalité du Théorème 1 Théorème 32 est appelée égalité de Parseval.

p. 123

Théorème 34. La famille $(e_{n})_{n \in Z}$ est une base hilbertienne de $L_{2}^{2 π}$ .

Corollaire 35. $\forall f \in L_{2}^{2 π}, f = n = - \infty \sum + \infty c_{n} (f) e_{n}$

[GOU20]
p. 272

Exemple 36. On considère $f : x \mapsto 1 - \frac{x ^{2}}{π ^{2}}$ sur $[- π, π]$ . Alors, $\frac{π ^{4}}{90} = ∥ f ∥_{2} = n = 0 \sum + \infty \frac{1}{n ^{4}}$

[BMP]
p. 124

Remarque 37. L’égalité du Point 3 est valable dans $L_{2}^{2 π}$ , elle signifie donc que $n = - N \sum N c_{n} (f) e_{n} - f_{2} ⟶_{N \to + \infty} 0$

Approximation au sens de Cesàro

[GOU20]
p. 269

Définition 38. Soit $f \in L_{1}^{2 π}$ . On appelle série de Fourier associée à $f$ la série $(S_{N} (f))$ définie par $\forall N \in N, S_{N} (f) = n = - N \sum N c_{n} (f) e_{n} = (*) \frac{a _{0} ( f )}{2} + n = 1 \sum N (a_{n} (f) cos (n x) + b_{n} (f) sin (n x))$

Remarque 39. L’égalité $(*)$ de la définition précédente est justifiée car, $\forall n \in N^{*}, \forall x \in R, c_{n} (f) e^{in x} + c_{- n} (f) e^{- in x} = a_{n} (f) cos (n x) + b_{n} (f) sin (n x)$

[AMR08]
p. 184

Définition 40. Pour tout $N \in N$ , la fonction $D_{N} = \sum_{n = - N}^{N} e_{N}$ est appelée noyau de Dirichlet d’ordre $N$ .

Proposition 41. Soit $N \in N$ .

$D_{N}$ est une fonction paire, $2 π$ -périodique, et de norme $1$ .
$\forall x \in R ∖ 2 π Z, D_{N} (x) = \frac{sin ( ( N + \frac{1}{2} ) x )}{sin ( \frac{x}{2} )}$
Pour tout $f \in L_{1}^{2 π}, S_{N} (f) = f * D_{N}$ .

Définition 42. Pour tout $N \in N$ , la fonction $K_{N} = \frac{1}{N} \sum_{j = 0}^{N - 1} D_{j}$ est appelé noyau de Fejér d’ordre $N$ .

Notation 43. Pour tout $N \in N^{*}$ , on note $σ_{N} = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} S_{n} (f)$ la somme de Cesàro d’ordre $N$ de la série de Fourier d’une fonction $f \in L_{1}^{2 π}$ .

Proposition 44. Soient $N \in N^{*}$ et $f \in L_{1}^{2 π}$ .

$K_{N}$ est une fonction positive et de norme $1$ .
$\forall x \in R ∖ 2 π Z, K_{N} (x) = \frac{1}{N} (\frac{sin ( \frac{N x}{2} )}{sin ( \frac{x}{2} )})^{2}$
$K_{N} = \sum_{n = - N}^{N} (1 - \frac{∣ n ∣}{N}) e_{n}$ .
$σ_{N} (f) = f * K_{N}$ .

p. 190

theoreme-de-fejer

Théorème 45 (Fejér). Soit $f : R \to C$ une fonction $2 π$ -périodique.

Si $f$ est continue, alors $∥ σ_{N} (f) ∥_{\infty} \leq ∥ f ∥_{\infty}$ et $(σ_{N} (f))$ converge uniformément vers $f$ .
Si $f \in L_{p}^{2 π}$ pour $p \in [1, + \infty [$ , alors $∥ σ_{N} (f) ∥_{p} \leq ∥ f ∥_{p}$ et $(σ_{N} (f))$ converge vers $f$ pour $∥. ∥_{p}$ .

Corollaire 46. L’espace des polynômes trigonométriques ${\sum_{n = - N}^{N} c_{n} e_{n} ∣ (c_{n}) \in C^{N}, N \in N}$ est dense dans l’espace des fonction continues $2 π$ -périodiques pour $∥. ∥_{\infty}$ et est dense dans $L_{p}^{2 π}$ pour $∥. ∥_{p}$ avec $p \in [1, + \infty [$ .