209 Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.

Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.

analysis

Dans toute la suite, désignera le corps ou .

Approximation par des polynômes

Approximation locale

Théorème 1 (Formule de Taylor-Lagrange). Soit une fonction réelle de classe sur un intervalle telle que existe sur un intervalle . Alors,

Application 2.

  • .

  • .

  • .

Proposition 3. En reprenant les notations du Théorème 1, on a sur .

Approximation sur un compact

Théorème 4 (Théorèmes de Dini).

  1. Soit une suite croissante de fonctions réelles continues définies sur un segment de . Si converge simplement vers une fonction continue sur , alors la convergence est uniforme.

  2. Soit une suite de fonctions croissantes réelles continues définies sur un segment de . Si converge simplement vers une fonction continue sur , alors la convergence est uniforme.

Théorème 5 (Bernstein). Soit continue. On note Alors,

Corollaire 6 (Weierstrass). Toute fonction continue (avec tels que ) est limite uniforme de fonctions polynômiales sur .

On a une version plus générale de ce théorème.

Théorème 7 (Stone-Weierstrass). Soit un espace compact et une sous-algèbre de l’algèbre de Banach réelle . On suppose de plus que :

  1. sépare les points de (ie. ).

  2. contient les constantes.

Alors est dense dans .

Remarque 8. Il existe aussi une version complexe de ce théorème, où il faut supposer de plus que est stable par conjugaison.

Exemple 9. La suite de polynômes réels définie par récurrence par converge vers .

Interpolation

Soit une fonction réelle continue sur un intervalle . On se donne points distincts deux-à-deux.

Définition 10. Pour , on définit le -ième polynôme de Lagrange associé à par

Théorème 11. Il existe une unique fonction polynômiale de degré telle que :

Théorème 12. On note et on suppose fois dérivable . Alors, pour tout , il existe un réel tel que

Corollaire 13.

Application 14 (Calculs approchés d’intégrales). On note . L’objectif est d’approximer par une expression et de majorer l’erreur d’approximation .

  1. Méthode des rectangles. On suppose continue. Avec , on a .

  2. Méthode du point milieu. On suppose de classe . Avec , on a .

  3. Méthode des trapèzes. On suppose de classe . Avec , on a .

  4. Méthode de Simpson. On suppose de classe . Avec , on a .

Approximation dans les espaces de Lebesgue

Convolution

Définition 15. Soient et deux fonctions de dans . On dit que la convolée (ou le produit de convolution) de et en existe si la fonction est intégrable sur pour la mesure de Lebesgue. On pose alors :

Proposition 16. Dans , le produit de convolution est commutatif, bilinéaire et associatif.

Théorème 17. Soient et et .

  1. Si tels que , alors existe pour tout et est uniformément continue. On a, et, si , .

  2. Si et , alors existe pour tout et .

  3. Si et , alors existe pp. en et telle que .

  4. Si et , alors existe pp. en et telle que .

Exemple 18. Soient . Alors existe pour tout et

Proposition 19. est une algèbre de Banach pour le produit de convolution.

Remarque 20. Cette algèbre n’a pas d’élément neutre. Afin de pallier à ce manque, nous allons voir la notion d’approximation de l’identité dans la sous-section suivante.

Densité

Définition 21. On appelle approximation de l’identité toute suite de fonctions mesurables de telles que

  1. .

  2. .

  3. .

Remarque 22. Dans la définition précédente, (ii) implique (i) lorsque les fonctions sont positives. Plutôt que des suites, on pourra considérer les familles indexées par .

Exemple 23.

  • Noyau de Laplace sur :

  • Noyau de Cauchy sur :

  • Noyau de Gauss sur :

Théorème 24. Soit une approximation de l’identité. Soient et , alors :

Théorème 25. Soient une approximation de l’identité et . Alors :

  • Si est continue en , alors .

  • Si est uniformément continue sur , alors .

  • Si est continue sur un compact , alors .

Définition 26. On qualifie de régularisante toute suite d’approximations de l’identité telle que .

Exemple 27. Soit une densité de probabilité. Alors la suite définie pour tout par est régularisante.

Application 28.

  1. est dense dans pour .

  2. est dense dans pour avec .

Approximations de fonctions périodiques

Séries de Fourier

Notation 29.

  • Pour tout , on note l’espace des fonctions , -périodiques et mesurables, telles que .

  • Pour tout , on note la fonction -périodique définie pour tout par .

Proposition 30. est un espace de Hilbert pour le produit scalaire

Définition 31. Soit . On appelle :

  • Coefficients de Fourier complexes, les complexes définis par

  • Coefficients de Fourier réels, les complexes définis par

Approximation hilbertienne

Théorème 32. Soit un espace de Hilbert et une famille orthonormée dénombrable de . Les propriétés suivantes sont équivalentes :

  1. La famille orthonormée est une base hilbertienne de .

  2. .

  3. .

Remarque 33. L’égalité du Théorème 32 Point 4 est appelée égalité de Parseval.

Théorème 34. La famille est une base hilbertienne de .

Corollaire 35.

Exemple 36. On considère sur . Alors,

Remarque 37. L’égalité du Corollaire 35 est valable dans , elle signifie donc que

Approximation au sens de Cesàro

Définition 38. Soit . On appelle série de Fourier associée à la série définie par

Remarque 39. L’égalité de la définition précédente est justifiée car,

Définition 40. Pour tout , la fonction est appelé noyau de Dirichlet d’ordre .

Proposition 41. Soit .

  1. est une fonction paire, -périodique, et de norme .

  2. Pour tout .

Définition 42. Pour tout , la fonction est appelé noyau de Fejér d’ordre .

Notation 43. Pour tout , on note la somme de Cesàro d’ordre de la série de Fourier d’une fonction .

Proposition 44. Soient et .

  1. est une fonction positive et de norme .

  2. .

  3. .

Théorème 45 (Fejér). Soit une fonction -périodique.

  1. Si est continue, alors et converge uniformément vers .

  2. Si pour , alors et converge vers pour .

Corollaire 46. L’espace des polynômes trigonométriques est dense dans l’espace des fonction continues -périodiques pour et est dense dans pour avec .