213 Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.

Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.

analysis

Généralités

Espaces préhilbertiens

Définition 1. Soit $H$ un espace vectoriel réel (resp. complexe). On appelle produit scalaire sur $H$ une forme bilinéaire $⟨ ., . ⟩$ telle que :

$\forall y \in H, x \mapsto ⟨ x, y ⟩$ est une forme linéaire.
$\forall x \in H, ⟨ x, x ⟩ \geq 0$ avec égalité si et seulement si $x = 0$ .
$\forall x, y \in H, ⟨ x, y ⟩ = ⟨ y, x ⟩$ (resp. $⟨ x, y ⟩ = \overline{⟨ y, x ⟩}$ ).

Remarque 2. Dans le cas complexe, on a donc $\forall x, y \in H, \forall λ \in C, ⟨ x, λ y ⟩ = \overline{λ} ⟨ x, y ⟩$

Définition 3. En reprenant les notations de la définition, si $H$ est muni d’un produit scalaire, on dit que $H$ est un espace préhilbertien.

Exemple 4.

$C^{n}$ muni de $⟨ ., . ⟩ : ((x_{i})_{i \in [[1, n]]}, (y_{i})_{i \in [[1, n]]}) \mapsto i = 1 \sum n x_{i} \overline{y_{i}}$ est un espace préhilbertien.
Plus généralement, on peut définit d’autres produits scalaires sur $R^{n}$ ou $C^{n}$ en se donnant un poids $ω = (ω_{1}, \dots, ω_{n})$ où $\forall i \in [[1, n]], ω > 0$ . Il suffit de munir l’espace produit du produit scalaire suivant : $⟨ ., . ⟩_{ω} : ((x_{i})_{i \in [[1, n]]}, (y_{i})_{i \in [[1, n]]}) \mapsto i = 1 \sum n ω_{i} x_{i} \overline{y_{i}}$

Dans toute la suite, on considérera un espace préhilbertien $(H, ⟨ ., . ⟩)$ sur le corps $K = R ou C$ .

Notation 5. Puisque $⟨ ., . ⟩ \geq 0$ , on peut poser $∥.∥ = ⟨ ., . ⟩$

Proposition 6 (Identités de polarisation). Soient $x, y \in H$ .

$∥ x + y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + 2 ⟨ x, y ⟩ + ∥ y ∥^{2}$ (si $K = R$ ).
$∥ x + y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + 2 Re (⟨ x, y ⟩) + ∥ y ∥^{2}$ (si $K = C$ ).

Théorème 7 (Inégalité de Cauchy-Schwarz). $\forall x, y \in H, ∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ \leq ∥ x ∥∥ y ∥$ avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.

Corollaire 8. $∥.∥$ définit une norme sur $H$ , ce qui fait de $(H, ∥.∥)$ un espace vectoriel normé.

p. 62

Proposition 9 (Identité du parallélogramme). $\forall x, y \in H, ∥ x + y ∥^{2} + ∥ x - y ∥^{2} = 2 (∥ x ∥^{2} ∥ y ∥^{2})$ et cette identité caractérise les normes issues d’un produit scalaire.

Orthogonalité

p. 31

Définition 10. On dit que deux vecteurs $x$ et $y$ de $H$ sont orthogonaux si $⟨ x, y ⟩ = 0$ et on le note $x ⊥ y$ .

Exemple 11. Dans $R^{2}$ muni de son produit scalaire usuel, on a $(- 1, 1) ⊥ (1, 1)$ .

Remarque 12 (Théorème de Pythagore). Si $K = R$ , par la Proposition 6, $\forall x, y \in H, x ⊥ y ⟺ ∥ x + y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2}$

Définition 13. L’orthogonal d’une partie $A \subseteq H$ est l’ensemble $A^{⊥} = {y \in H ∣ \forall x \in A, x ⊥ y}$

[BMP]
p. 99

Proposition 14. Soit $A \subseteq H$ .

$A^{⊥}$ est un sous-espace vectoriel fermé de $H$ .
$A^{⊥} = (Vect (A))^{⊥}$ .
$A^{⊥} = (\overline{A})^{⊥}$ .

Espaces de Hilbert

p. 91

Définition 15. Si $(H, ∥.∥)$ est complet, on dit que $H$ est un espace de Hilbert.

On suppose dans la suite que $(H, ∥.∥)$ est un espace de Hilbert.

Exemple 16.

Tout espace euclidien ou hermitien est un espace de Hilbert.
L’ensemble des suites de nombres complexes de carré sommables $ℓ_{2} (N) = {(x_{n}) \in C^{2} ∣ n = 0 \sum + \infty ∣ x_{n} ∣^{2} < + \infty}$ muni du produit scalaire hermitien $⟨ ., . ⟩ : ((x_{n})_{n \in N}, (y_{n})_{n \in N}) \mapsto n = 0 \sum + \infty x_{n} \overline{y_{n}}$ est un espace de Hilbert.

Le théorème de projection sur un convexe fermé et ses conséquences

Théorème de projection

[LI]
p. 32

projection-sur-un-convexe-ferme

Théorème 17 (Projection sur un convexe fermé). Soit $C \subseteq H$ un convexe fermé non-vide. Alors : $\forall x \in H, \exists! y \in C tel que d (x, C) = z \in C in f ∥ x - z ∥ = d (x, y)$ On peut donc noter $y = P_{C} (x)$ , le projeté orthogonal de $x$ sur $C$ . Il s’agit de l’unique point de $C$ vérifiant $\forall z \in C, ⟨ x - P_{C} (x), z - P_{C} (x)⟩ \leq 0 (*)$

[BMP]
p. 96

Remarque 18. En dimension finie, dans un espace euclidien ou hermitien, on peut projeter sur tous les fermés. On perd cependant l’unicité et la caractérisation angulaire.

Proposition 19. Soit $C \subseteq H$ un convexe fermé non-vide. L’application $P_{C}$ est lipschitzienne de rapport $1$ et est, en particulier, continue.

Décomposition en somme directe orthogonale

Théorème 20 (Projection sur un sous-espace fermé). Soit $F$ un sous-espace vectoriel fermé de $H$ .

Si $x \in H$ , le projeté $P_{F} (x)$ de $x$ sur $F$ est l’unique élément $p \in H$ qui vérifie $p \in F et x - p \in F^{⊥}$
$P_{F} : H \to F$ est linéaire, continue, surjective.
$H = F \oplus F^{⊥}$ et $P_{F}$ est le projecteur sur $F$ associé à cette décomposition.
Soient $x, x_{1}, x_{2} \in H$ . On a : $x = x_{1} + x_{2} avec x_{1} \in F, x_{2} \in F^{⊥} ⟺ x_{1} = P_{F} (x) et x_{2} = P_{F^{⊥}} (x)$

Contre-exemple 21. On considère le sous-espace vectoriel de $ℓ_{2} (N)$ constitué des suites nulles à partir d’un certain rang. Alors $F^{⊥} = {0}$ , et ainsi $H \neq = F \oplus F^{⊥}$ .

Corollaire 22. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $H$ . Alors, $F^{⊥⊥} = \overline{F}$

Corollaire 23. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $H$ . Alors, $\overline{F} = H ⟺ F^{⊥} = 0$

Dualité dans un espace de Hilbert

Théorème 24 (de représentation de Riesz). L’application $Φ : H y \to \mapsto H^{'} (x \mapsto ⟨ x, y ⟩)$ est une isométrie linéaire bijective de $H$ sur son dual topologique $H^{'}$ .

Remarque 25. Cela signifie que : $\forall φ \in H^{'}, \exists! y \in H, tel que \forall x \in H, φ (x) = ⟨ x, y ⟩$ et de plus, $∣∣∣ φ ∣∣∣ = ∥ y ∥$ .

Application 26 (Existence de l’adjoint). Soit $u \in L (H)$ . Il existe un unique $v \in L (H)$ tel que : $\forall x, y \in H, ⟨ u (x), y ⟩ = ⟨ x, v (y)⟩$ On dit que $v$ est l’adjoint de $u$ et on note généralement $v = u^{*}$ .

[Z-Q]
p. 222

dual-de-lp

Application 27 (Dual de $L_{p}$ ). Soit $(X, A, μ)$ un espace mesuré de mesure finie. On note $\forall p \in] 1, 2 [$ , $L_{p} = L_{p} (X, A, μ)$ . L’application $φ : L_{q} g \to (L_{p})^{'} \mapsto (φ_{g} : f \mapsto \int_{X} f g d μ) o \overset{u}{ˋ} \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ est une isométrie linéaire surjective. C’est donc un isomorphisme isométrique.

Bases hilbertiennes

[LI]
p. 41

Définition 28. On dit qu’une famille $(e_{i})_{i \in I}$ d’éléments de $H$ est orthonormée de $H$ si : $\forall i, j \in I, ⟨ e_{i}, e_{j} ⟩ = δ_{i, j}$

Exemple 29. Dans $ℓ_{2} (N)$ , la famille $(u_{n})_{n \in N}$ définie par $\forall n \in N, u_{n} = (0, \dots, 0, n -i \overset{e}{ˋ} me position 1, 0 \dots)$ est orthonormée.

Proposition 30. Toute famille orthonormée est libre.

Proposition 31 (Inégalité de Bessel). Soient $x \in H$ et $(e_{i})_{i \in I}$ une famille orthonormée de $H$ . Alors, $i \in I \sum ∣ ⟨ x, e_{i} ⟩ ∣ \leq ∥ x ∥$

Définition 32. On dit qu’une famille $(e_{i})_{i \in I}$ d’éléments de $H$ est une base de $H$ si elle est orthonormée et totale (ie. $Vect (e_{i})_{i \in I}$ est dense dans $H$ ).

[BMP]
p. 108

Théorème 33.

Tout espace de Hilbert admet une base hilbertienne.
Tout espace de Hilbert séparable (ie. admettant une partie dénombrable dense) admet une base hilbertienne dénombrable.

Exemple 34. $K^{n}$ est séparable pour tout entier $n$ et $L_{p}$ aussi pour tout $p \in [1, + \infty [$ . On a donc existence d’une base hilbertienne dénombrable pour ces espaces.

Théorème 35. Soit $H$ un espace de Hilbert séparable et $(e_{n})_{n \in I}$ une famille orthonormée dénombrable de $H$ . Les propriétés suivantes sont équivalentes :

La famille orthonormée $(e_{n})_{n \in I}$ est une base hilbertienne de $H$ .
$\forall x \in H, x = \sum_{n = 0}^{+ \infty} ⟨ x, e_{n} ⟩ e_{n}$ .
$\forall x \in H, ∥ x ∥_{2} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} ∣ ⟨ x, e_{n} ⟩ ∣^{2}$ .
L’application $Δ : H x \to \mapsto ℓ_{2} (N) (⟨ x, e_{n})_{n \in N}$ est une isométrie linéaire bijective.

Remarque 36. L’égalité du Théorème 35 Point 3 est appelée égalité de Parseval.

[LI]
p. 45

Corollaire 37. Tous les espaces de Hilbert séparables sont isométriquement isomorphes à $ℓ_{2} (N)$ .

L’espace $L_{2}$

Aspect hilbertien

[BMP]
p. 92

Soit $(X, A, μ)$ un espace mesuré.

Notation 38. On note $L_{p} = L_{p} (X, A, μ)$ pour tout $p \in [1, + \infty]$ .

Définition 39. On considère la forme bilinéaire suivante sur $L_{2}$ : $⟨ ., . ⟩ : (f, g) \mapsto \int_{X} f \overline{g} d μ$ C’est un produit scalaire hermitien, ce qui confère à $(L_{2}, ⟨ ., . ⟩)$ une structure d’espace préhilbertien.

Remarque 40. La norme associée au produit scalaire précédent est la norme $∥. ∥_{2}$ de $L_{2}$ .

[LI]
p. 10

Théorème 41 (Riesz-Fischer). Pour tout $p \in [1, + \infty]$ , $L_{p}$ est complet pour la norme $∥. ∥_{p}$ .

p. 31

Corollaire 42. $L_{2}$ est un espace de Hilbert.

Polynômes orthogonaux

[BMP]
p. 110

Soit $I$ un intervalle de $R$ . On pose $\forall n \in N$ , $g_{n} : x \mapsto x^{n}$ .

Définition 43. On appelle fonction poids une fonction $ρ : I \to R$ mesurable, positive et telle que $\forall n \in N, ρ g_{n} \in L_{1} (I)$ .

Soit $ρ : I \to R$ une fonction poids.

Notation 44. On note $L_{2} (I, ρ)$ l’espace des fonctions de carré intégrable pour la mesure de densité $ρ$ par rapport à la mesure de Lebesgue.

Proposition 45. Muni de $⟨ ., . ⟩ : (f, g) \mapsto \int_{I} f (x) \overline{g (x)} ρ (x) d x$ $L_{2} (I, ρ)$ est un espace de Hilbert.

Théorème 46. Il existe une unique famille $(P_{n})$ de polynômes unitaires orthogonaux deux-à-deux telle que $de g (P_{n}) = n$ pour tout entier $n$ . C’est la famille de polynômes orthogonaux associée à $ρ$ sur $I$ .

Exemple 47 (Polynômes de Hermite). Si $\forall x \in I, ρ (x) = e^{- x^{2}}$ , alors $\forall n \in N, \forall x \in I, P_{n} (x) = \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 ^{n}} e^{x^{2}} \frac{\partial}{\partial x ^{n}} (e^{- x^{2}})$

p. 140

Lemme 48. On suppose que $\forall n \in N$ , $g_{n} \in L_{1} (I, ρ)$ et on considère $(P_{n})$ la famille des polynômes orthogonaux associée à $ρ$ sur $I$ . Alors $\forall n \in N$ , $g_{n} \in L_{2} (I, ρ)$ . En particulier, l’algorithme de Gram-Schmidt a bien du sens et $(P_{n})$ est bien définie.

Application 49. On considère $(P_{n})$ la famille des polynômes orthogonaux associée à $ρ$ sur $I$ et on suppose qu’il existe $a > 0$ tel que $\int_{I} e^{a ∣ x ∣} ρ (x) d x < + \infty$ alors $(P_{n})$ est une base hilbertienne de $L_{2} (I, ρ)$ pour la norme $∥. ∥_{2}$ .

Contre-exemple 50. On considère, sur $I = R_{*}^{+}$ , la fonction poids $ρ : x \mapsto x^{- l n (x)}$ . Alors, la famille des $g_{n}$ n’est pas totale. La famille des polynômes orthogonaux associée à ce poids particulier n’est donc pas totale non plus : ce n’est pas une base hilbertienne.

Séries de Fourier

[Z-Q]
p. 73

Notation 51.

Pour tout $p \in [1, + \infty]$ , on note $L_{p}^{2 π}$ l’espace des fonctions $f : R \to C$ , $2 π$ -périodiques et mesurables, telles que $∥ f ∥_{p} < + \infty$ .
Pour tout $n \in Z$ , on note $e_{n}$ la fonction $2 π$ -périodique définie pour tout $t \in R$ par $e_{n} (t) = e^{in t}$ .

Proposition 52. $L_{2}^{2 π}$ est un espace de Hilbert pour le produit scalaire $⟨ ., . ⟩ : (f, g) \mapsto \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (t) \overline{g (t)} d t$

[BMP]
p. 123

Théorème 53. La famille $(e_{n})_{n \in Z}$ est une base hilbertienne de $L_{2}^{2 π}$ .

Corollaire 54. $\forall f \in L_{2}^{2 π}, f = n = - \infty \sum + \infty ⟨ f, e_{n} ⟩ e_{n}$

[GOU20]
p. 272

Exemple 55. On considère $f : x \mapsto 1 - \frac{x ^{2}}{π ^{2}}$ sur $[- π, π]$ . Alors, $\frac{π ^{4}}{90} = ∥ f ∥_{2} = n = 0 \sum + \infty \frac{1}{n ^{4}}$

[BMP]
p. 124

Remarque 56. L’égalité du Corollaire 54 est valable dans $L_{2}^{2 π}$ , elle signifie donc que $n = - N \sum N ⟨ f, e_{n} ⟩ e_{n} - f_{2} ⟶_{N \to + \infty} 0$