213 Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.

Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.

analysis

Généralités

Espaces préhilbertiens

Définition 1. Soit un espace vectoriel réel (resp. complexe). On appelle produit scalaire sur une forme bilinéaire telle que :

  1. est une forme linéaire.

  2. avec égalité si et seulement si .

  3. (resp. ).

Remarque 2. Dans le cas complexe, on a donc

Définition 3. En reprenant les notations de la définition, si est muni d’un produit scalaire, on dit que est un espace préhilbertien.

Exemple 4.

  • muni de est un espace préhilbertien.

  • Plus généralement, on peut définit d’autres produits scalaires sur ou en se donnant un poids . Il suffit de munir l’espace produit du produit scalaire suivant :

Dans toute la suite, on considérera un espace préhilbertien sur le corps .

Notation 5. Puisque , on peut poser

Proposition 6 (Identités de polarisation). Soient .

  1. (si ).

  2. (si ).

Théorème 7 (Inégalité de Cauchy-Schwarz). avec égalité si et seulement si et sont colinéaires.

Corollaire 8. définit une norme sur , ce qui fait de un espace vectoriel normé.

Proposition 9 (Identité du parallélogramme). et cette identité caractérise les normes issues d’un produit scalaire.

Orthogonalité

Définition 10. On dit que deux vecteurs et de sont orthogonaux si et on le note .

Exemple 11. Dans muni de son produit scalaire usuel, on a .

Remarque 12 (Théorème de Pythagore). Si , par la Proposition 6,

Définition 13. L’orthogonal d’une partie est l’ensemble

Proposition 14. Soit .

  1. est un sous-espace vectoriel fermé de .

  2. .

  3. .

Espaces de Hilbert

Définition 15. Si est complet, on dit que est un espace de Hilbert.

On suppose dans la suite que est un espace de Hilbert.

Exemple 16.

  • Tout espace euclidien ou hermitien est un espace de Hilbert.

  • L’ensemble des suites de nombres complexes de carré sommables muni du produit scalaire hermitien est un espace de Hilbert.

Le théorème de projection sur un convexe fermé et ses conséquences

Théorème de projection

Théorème 17 (Projection sur un convexe fermé). Soit un convexe fermé non-vide. Alors : On peut donc noter , le projeté orthogonal de sur . Il s’agit de l’unique point de vérifiant

Remarque 18. En dimension finie, dans un espace euclidien ou hermitien, on peut projeter sur tous les fermés. On perd cependant l’unicité et la caractérisation angulaire.

Proposition 19. Soit un convexe fermé non-vide. L’application est lipschitzienne de rapport et est, en particulier, continue.

Décomposition en somme directe orthogonale

Théorème 20 (Projection sur un sous-espace fermé). Soit un sous-espace vectoriel fermé de .

  1. Si , le projeté de sur est l’unique élément qui vérifie

  2. est linéaire, continue, surjective.

  3. et est le projecteur sur associé à cette décomposition.

  4. Soient . On a :

Contre-exemple 21. On considère le sous-espace vectoriel de constitué des suites nulles à partir d’un certain rang. Alors , et ainsi .

Corollaire 22. Soit un sous-espace vectoriel de . Alors,

Corollaire 23. Soit un sous-espace vectoriel de . Alors,

Dualité dans un espace de Hilbert

Théorème 24 (Représentation de Riesz). L’application est une isométrie linéaire bijective de sur son dual topologique .

Remarque 25. Cela signifie que : et de plus, .

Application 26 (Existence de l’adjoint). Soit . Il existe un unique tel que : On dit que est l’adjoint de et on note généralement .

Application 27 (Dual de ). Soit un espace mesuré de mesure finie. On note , . L’application est une isométrie linéaire surjective. C’est donc un isomorphisme isométrique.

Bases hilbertiennes

Définition 28. On dit qu’une famille d’éléments de est orthonormée de si :

Exemple 29. Dans , la famille définie par est orthonormée.

Proposition 30. Toute famille orthonormée est libre.

Proposition 31 (Inégalité de Bessel). Soient et une famille orthonormée de . Alors,

Définition 32. On dit qu’une famille d’éléments de est orthonormée de si elle est orthonormée et totale (ie. est dense dans ).

Théorème 33.

  1. Tout espace de Hilbert admet une base hilbertienne.

  2. Tout espace de Hilbert séparable (ie. admettant une partie dénombrable dense) admet une base hilbertienne dénombrable.

Exemple 34. est séparable pour tout entier et aussi pour tout . On a donc existence d’une base hilbertienne dénombrable pour ces espaces.

Théorème 35. Soit un espace de Hilbert séparable et une famille orthonormée dénombrable de . Les propriétés suivantes sont équivalentes :

  1. La famille orthonormée est une base hilbertienne de .

  2. .

  3. .

  4. L’application est une isométrie linéaire bijective.

Remarque 36. L’égalité du Théorème 35 Point 4 est appelée égalité de Parseval.

Corollaire 37. Tous les espaces de Hilbert séparables sont isométriquement isomorphes à .

L’espace

Aspect hilbertien

Soit un espace mesuré.

Notation 38. On note pour tout .

Définition 39. On considère la forme bilinéaire suivante sur : C’est un produit scalaire hermitien, ce qui confère à une structure d’espace préhilbertien.

Remarque 40. La norme associée au produit scalaire précédent est la norme de .

Théorème 41 (Riesz-Fischer). Pour tout , est complet pour la norme .

Corollaire 42. est un espace de Hilbert.

Polynômes orthogonaux

Soit un intervalle de . On pose , .

Définition 43. On appelle fonction poids une fonction mesurable, positive et telle que .

Soit une fonction poids.

Notation 44. On note l’espace des fonctions de carré intégrable pour la mesure de densité par rapport à la mesure de Lebesgue.

Proposition 45. Muni de est un espace de Hilbert.

Théorème 46. Il existe une unique famille de polynômes unitaires orthogonaux deux-à-deux telle que pour tout entier . C’est la famille de polynômes orthogonaux associée à sur .

Exemple 47 (Polynômes de Hermite). Si , alors

Lemme 48. On suppose que , et on considère la famille des polynômes orthogonaux associée à sur . Alors , . En particulier, l’algorithme de Gram-Schmidt a bien du sens et est bien définie.

Application 49. On considère la famille des polynômes orthogonaux associée à sur et on suppose qu’il existe tel que alors est une base hilbertienne de pour la norme .

Contre-exemple 50. On considère, sur , la fonction poids . Alors, la famille des n’est pas totale. La famille des polynômes orthogonaux associée à ce poids particulier n’est donc pas totale non plus : ce n’est pas une base hilbertienne.

Séries de Fourier

Notation 51.

  • Pour tout , on note l’espace des fonctions , -périodiques et mesurables, telles que .

  • Pour tout , on note la fonction -périodique définie pour tout par .

Proposition 52. est un espace de Hilbert pour le produit scalaire

Théorème 53. La famille est une base hilbertienne de .

Corollaire 54.

Exemple 55. On considère sur . Alors,

Remarque 56. L’égalité du Corollaire 54 est valable dans , elle signifie donc que

Annexes

tikzpicture-1
Illustration du théorème de projection sur un convexe fermé