214 Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.

Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.

analysis

Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach et $U \subseteq E$ un ouvert.

Théorème d’inversion locale

Difféomorphisme

Pour une fonction réelle $f : R \to R$ de classe $C^{1}$ , on sait que si $f^{'} (x) \neq = 0$ pour tout $x \in R$ , alors $f$ admet un inverse global $f^{- 1}$ qui vérifie $\forall x \in R, f^{'} (f (x)) = \frac{1}{f ^{'} ( x )}$ L’objectif ici va être de généraliser ce résultat.

[ROU]
p. 54

Définition 1. Soit $f : U \to F$ . On dit que $f$ est un difféomorphisme de classe $C^{k}$ de $U$ sur $V = f (U)$ si $f$ et $f^{- 1}$ sont bijectives et de classe $C^{k}$ respectivement sur $U$ et $V$ .

Proposition 2. On se place dans le cas où $E = R^{n}$ et $F = R^{p}$ . Soit $f : U \to F$ un difféomorphisme. Alors :

Pour tout $x \in U$ , en posant $y = f (x)$ , $d (f^{- 1})_{y} \circ d f_{x} = id$
$n = p$ .

Exemple 3. $x \mapsto x^{3}$ est un homéomorphisme de $R$ sur $R$ , de classe $C^{1}$ , mais n’est pas un difféomorphisme.

Énoncé

[GOU20]
p. 341

Théorème 4 (Inversion locale). Soit $f : U \to F$ de classe $C^{1}$ . On suppose qu’il existe $a \in U$ tel que $d f_{a}$ est inversible.

Alors, il existe $V$ voisinage de $a$ et $W$ voisinage de $f (a)$ tels que $f_{∣ V}$ soit un difféomorphisme de classe $C^{1}$ de $V$ sur $W$ .

Remarque 5. Si $E = F = R^{n}$ , $d f_{a}$ est inversible si et seulement si le jacobien de $f$ en $a$ , $det Jac (f)_{a}$ , est non nul.

Corollaire 6. Soit $f : U \to R^{q}$ de classe $C^{1}$ . On suppose que pour tout $a \in U$ , $d f_{a}$ est inversible. Alors $f$ est une application ouverte.

p. 347

Exemple 7. L’application de $R^{2}$ dans $R^{2}$ définie par $(x, y) \mapsto (x^{2} - y^{2}, x y)$ est un difféomorphisme de classe $C^{\infty}$ en tout point de $R^{2} ∖ (0, 0)$ .

[BMP]
p. 9

Application 8. Soit $φ : U \to R^{n}$ un difféomorphisme de classe $C^{1}$ . Alors, $V = φ (U)$ est mesurable et tout fonction $f$ appartient à $L_{1}$ si et seulement si $∣ det Jac (φ)_{a} ∣ f \circ φ$ appartient à $L_{1}$ . Dans ce cas, $\int_{V} f (x) d x = \int_{U} ∣ det Jac (φ)_{a} ∣ f (φ (y)) d y$

[GOU20]
p. 355

Exemple 9. En passant en coordonnées polaires, $\int_{R} e^{- x^{2}} d x = π$

[BMP]
p. 9

Application 10. Soient $A \in M_{n} (R)$ et $k$ un entier. Alors, si $A$ est suffisamment proche de l’identité $I_{n}$ , $A$ est une racine $k$ -ième (ie. $\exists B \in M_{n} (R)$ telle que $B^{k} = A$ ).

Généralisation

p. 13

Théorème 11 (Inversion globale). Soit $f : U \to F$ de classe $C^{1}$ . Alors, $f$ est un difféomorphisme de classe $C^{1}$ de $U$ sur $V = f (U)$ si et seulement si $f$ est injective sur $U$ et $d f_{a}$ est un isomorphisme pour tout $a \in U$ .

[GOU20]
p. 347

Exemple 12. L’application de l’Exemple 7 n’est pas un difféomorphisme global.

[ROU]
p. 191

Remarque 13. Il existe une version holomorphe de ce théorème :

Soient $U$ un ouvert connexe de $C$ et $f : U \to C$ holomorphe sur $U$ . On suppose $f$ injective sur $U$ . Alors, $V = f (U)$ est un ouvert (connexe) de $C$ et $f$ est un difféomorphisme holomorphe de classe $C^{1}$ de $U$ sur $V$ .

Remarquons que seule l’injectivité de $f$ suffit.

p. 231

Théorème 14 (du rang constant). On se place dans le cas où $E = R^{n}$ et $F = R^{p}$ . Soit $f : U \to R^{p}$ de classe $C^{1}$ . On suppose que le rang de $d f_{x}$ est constant égal à $r \leq n$ pour tout $x \in U$ . Soit $a \in U$ . Alors, il existe $V$ voisinage de $a$ , $W$ voisinage de $f (a)$ et deux difféomorphismes $ϕ : V \to V$ et $ψ : W \to W$ tels que $ϕ \circ f \circ ψ = π_{r}$ où $π_{r}$ désigne la projection de $R^{n}$ sur $R^{r}$ : $π_{r} : (x_{1}, \dots, x_{n}) \mapsto (x_{1}, \dots, x_{r - 1}, x_{r}, 0, \dots, 0)$ .

Théorème des fonctions implicites

Énoncé

[GOU20]
p. 344

Définition 15. Soient $E_{1}, \dots, E_{n}, F$ des espaces de Banach, $Ω \subseteq E$ un ouvert où $E = E_{1} \times \dots \times E_{n}$ et $a = (a_{1}, \dots, a_{n}) \in E$ . Soit $f : Ω \to F$ . Alors, pour tout $i \in [[1, n]]$ , $f_{i} : x \mapsto f (a_{1}, \dots, a_{i - 1}, x, a_{i + 1}, \dots, a_{n})$ est définie sur un voisinage de $a_{i}$ dans $E_{i}$ . Si elle est différentiable en $a_{i}$ , on dit que $f$ admet une différentielle partielle d’indice $i$ en $a$ , et on note celle-ci $\partial_{i} f_{a}$ .

Remarque 16. En reprenant les notations précédentes :

Si pour tout $i \in [[1, n]]$ , $E_{i} = R$ et $F = E = R^{n}$ , alors $\partial_{i} f_{a} = h \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a)$ .
Si $f$ est différentiable en $a$ , alors pour tout $i \in [[1, n]]$ , $\partial_{i} f_{a}$ existe et $\forall h = (h_{1}, \dots, h_{n}) \in E, d f_{a} (h) = i = 1 \sum n \partial_{i} f_{a} (h_{i})$

Théorème 17 (des fonctions implicites). Soient $E, F, G$ trois espaces de Banach. Soient $U \times V \subseteq E \times F$ où $U$ et $V$ sont des ouvertes. Soit $f : U \times V \to G$ de classe $C^{1}$ . On suppose qu’il existe $(a, b) \in U \times V$ tel que $f (a, b) = 0$ et $\partial_{2} f_{(a, b)} : F \to G$ est un isomorphisme. Alors, il existe :

Un voisinage ouvert $U_{0}$ de $a$ dans $U$ .
Un voisinage ouvert $W$ de $f (a, b)$ .
Un voisinage ouvert $Ω$ de $(a, b)$ dans $U \times V$ .
Une fonction $φ : U_{0} \times W \to V$ de classe $C^{1}$ .

Vérifiant : $\forall x \in U_{0}, \forall z \in W, \exists! y \in V tel que f (x, y) = z avec (x, y) \in Ω et y = φ (x, z)$ En particulier, $\forall (x, z) \in U_{0} \times W, f (x, φ (x, z)) = z$

[BMP]
p. 11

Remarque 18. Avec les notations précédentes, si $E = F = R$ , on peut choisir n’importe quelle variable pour obtenir $y = φ (x) si \frac{\partial f}{\partial y} (a, b) \neq = 0 ou x = φ (y) si \frac{\partial f}{\partial y} (a, b) \neq = 0$

[ROU]
p. 193

Remarque 19. La signification de ce théorème est que la surface définie implicitement par l’équation $f (x, y) = 0$ peut, au moins localement, être vue comme le graphe d’une fonction $φ$ .

Proposition 20. Avec les notations précédentes, la différentielle de la fonction implicite $φ$ est donnée par : $d φ_{x} = - (\partial_{2} f_{(x, φ (x)}))^{- 1} \circ (\partial_{1} f_{(x, φ (x))})$

Exemples

Exemple 21. Pour l’équation $x^{2} + y^{2} - 1 = 0$ , on a $\partial_{2} f_{(x, y)} = 2 y$ . On exclue les points où $y = 0$ . En prenant $(0, 1)$ et $(0, - 1)$ pour points de départ, on a deux fonctions implicites qui correspondent aux demi-cercles supérieur et inférieur :

$y = φ_{1} (x) = 1 - x^{2}$ .
$y = φ_{2} (x) = - 1 - x^{2}$ .

De plus, en dérivant par rapport à $x$ : $2 x + 2 y y^{'} = 0$ et, $y^{'} = φ_{1}^{'} (x) = \frac{- x}{y}$ .

p. 237

Exemple 22 (Folium de Descartes). Soit $C = {(x, y) \in R^{2} ∣ x^{3} + y^{3} - 3 x y = 0}$ . En tout point $(a, b) \in R^{2} ∖ {(0, 0), (2^{\frac{2}{3}}, 2^{\frac{1}{3}})}$ , $C$ peut être vu comme le graphe d’une fonction $φ$ telle que $φ^{'} (a) = \frac{a ^{2} - b}{a - b ^{2}}$

[GOU20]
p. 348

Exemple 23. Soit $f : (x, y) \mapsto sin (y) + x y^{4} + x^{2}$ . Alors, il existe $U, V$ deux voisinages ouverts de $0$ dans $R$ , $y = φ (x) \in V$ est l’unique solution de $f (x, y) = 0$ . De plus, on a un développement limité de $φ$ : $φ (x) = - x^{2} - \frac{x ^{6}}{6} - x^{9} - \frac{x ^{10}}{40} + o (x^{11})$

Applications

Homéomorphismes

[ROU]
p. 209

Lemme 24. Soit $A_{0} \in S_{n} (R)$ inversible. Alors il existe un voisinage $V$ de $A_{0}$ dans $S_{n} (R)$ et une application $ψ : V \to GL_{n} (R)$ de classe $C^{1}$ telle que $\forall A \in V, A = (^{t} ψ (A) A_{0} ψ (A)$

p. 354

lemme-de-morse

Lemme 25 (Morse). Soit $f : U \to R$ une fonction de classe $C^{3}$ (où $U$ désigne un ouvert de $R^{n}$ contenant l’origine). On suppose :

$d f_{0} = 0$ .
La matrice symétrique $Hess (f)_{0}$ est inversible.
La signature de $Hess (f)_{0}$ est $(p, n - p)$ .

Alors il existe un difféomorphisme $ϕ = (ϕ_{1}, \dots, ϕ_{n})$ de classe $C^{1}$ entre deux voisinage de l’origine de $R^{n}$ $V \subseteq U$ et $W$ tel que $φ (0) = 0$ et $\forall x \in U, f (x) - f (0) = k = 1 \sum p ϕ_{k}^{2} (x) - k = p + 1 \sum n ϕ_{k}^{2} (x)$

p. 334

Exemple 26. On considère $f : (x, y) \mapsto x^{2} - y^{2} + \frac{y ^{4}}{4}$ . La courbe d’équation $f (x, y) = 0$ est (au changement près du nom des coordonnées) une projection de l’intersection d’un cylindre et d’une sphère tangents. On a $f = u^{2} - v^{2}$ avec $u : (x, y) \mapsto x$ et $v : (x, y) \mapsto y 1 - \frac{y ^{2}}{4}$ .

p. 341

Application 27. Soit $S$ la surface d’équation $z = f (x, y)$ où $f$ est de classe $C^{3}$ au voisinage de l’origine. On suppose la forme quadratique $d^{2} f_{0}$ non dégénérée. Alors, en notant $P$ le plan tangent à $S$ en $0$ :

Si $d^{2} f_{0}$ est de signature $(2, 0)$ , alors $S$ est au-dessus de $P$ au voisinage de $0$ .
Si $d^{2} f_{0}$ est de signature $(0, 2)$ , alors $S$ est en-dessous de $P$ au voisinage de $0$ .
Si $d^{2} f_{0}$ est de signature $(1, 1)$ , alors $S$ traverse $P$ selon une courbe admettant un point double en $(0, f (0))$ .

[BMP]
p. 15

Application 28. Soit $f : R^{n} \to R$ de classe $C^{3}$ telle que $d f_{0} = 0$ et $d^{2} f_{0}$ est définie positive. Alors $0$ est un minimum local (strict) de $f$ .

Optimisation

[GOU20]
p. 337

Théorème 29 (Extrema liés). Soit $U$ un ouvert de $R^{n}$ et soient $f, g_{1}, \dots, g_{r} : U \to R$ des fonctions de classe $C^{1}$ . On note $Γ = {x \in U ∣ g_{1} (x) = \dots = g_{r} (x) = 0}$ . Si $f_{∣Γ}$ admet un extremum relatif en $a \in Γ$ et si les formes linéaires $d (g_{1})_{a}, \dots, d (g_{r})_{a}$ sont linéairement indépendantes, alors il existe des uniques $λ_{1}, \dots, λ_{r}$ tels que $d f_{a} = λ_{1} d (g_{1})_{a} + \dots + λ_{r} d (g_{r})_{a}$

Définition 30. Les $λ_{1}, \dots, λ_{r}$ du théorème précédent sont appelés appelés multiplicateurs de Lagrange.

[BMP]
p. 21

Remarque 31. La relation finale du Théorème 29 équivaut à $i = 1 ⋂ n Ker (d (g_{i})_{a}) \subseteq Ker (d f_{a})$ et elle exprime que $d f_{a}$ est nulle sur l’espace tangent à $Γ$ en $a$ (ie. $\nabla f_{a}$ est orthogonal à l’espace tangent à $Γ$ en $a$ ).

Contre-exemple 32. On pose $g : (x, y) \mapsto x^{3} - y^{2}$ et on considère $f : (x, y) \mapsto x + y^{2}$ . On cherche à minimiser $f$ sous la contrainte $g (x, y) = 0$ .

Alors, le minimum (global) de $f$ sous cette contrainte est atteint en $(0, 0)$ , la différentielle de $g$ en $(0, 0)$ est nulle et la relation finale du Théorème 29 n’est pas vraie.

Application 33 (Théorème spectral). Tout endomorphisme symétrique d’un espace euclidien se diagonalise dans une base orthonormée.

p. 35

Application 34. $SO_{n} (R) = {M \in M_{n} (R) ∣ ∥ M ∥^{2} = P \in SL_{n} (R) in f ∥ P ∥^{2}}$ où $∥.∥ : M \mapsto trace ((^{t} MM)$ (ie. $SO_{n} (R)$ est l’ensemble des matrices de $SL_{n} (R)$ qui minimisent la norme euclidienne canonique de $M_{n} (R)$ ).

[GOU20]
p. 339

Application 35 (Inégalité arithmético-géométrique). $\forall (x_{1}, \dots, x_{n}) \in (R^{+})^{n}, (i = 1 \prod n x_{i})^{\frac{1}{n}} \leq \frac{1}{n} i = 1 \sum n x_{i}$

[ROU]
p. 409

Application 36 (Inégalité d’Hadamard). $\forall (x_{1}, \dots, x_{n}) \in R^{n}, det (x_{1}, \dots, x_{n}) \leq ∥ x_{1} ∥ \dots ∥ x_{n} ∥$ avec égalité si et seulement si $(x_{1}, \dots, x_{n})$ est une base orthogonale de $R^{n}$ .

Régularité des racines d’un polynôme

[BMP]
p. 11

Proposition 37. Soient $P_{0} \in R_{n} [X]$ et $x_{0} \in R$ une racine simple de $P_{0}$ . Alors, il existe $φ$ une application $C^{\infty}$ définie sur un voisinage $U$ de $P_{0}$ dans $R_{n} [X]$ à valeurs dans un voisinage $V$ de $x_{0}$ telle que $\forall P \in U, \forall x \in V, x = φ (P) ⟺ P (x) = 0$