214 Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.

Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.

analysis

Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach et $U \subseteq E$ un ouvert.

Théorème d’inversion locale

Difféomorphisme

Pour une fonction réelle $f : R \to R$ de classe $C^{1}$ , on sait que si $f^{'} (x) \neq = 0$ pour tout $x \in R$ , alors $f$ est un difféomorphisme de $R$ sur $f (R)$ et $\forall x \in R, (f^{- 1})^{'} (f (x)) = \frac{1}{f ^{'} ( x )}$ L’objectif ici va être de généraliser ce résultat.

[ROU]
p. 54

Définition 1

Soit $f : U \to F$ . On dit que $f$ est un difféomorphisme de classe $C^{k}$ de $U$ sur $V = f (U)$ si $f$ et $f^{- 1}$ sont bijectives et de classe $C^{k}$ respectivement sur $U$ et $V$ .

Proposition 2

On se place dans le cas où $E = R^{n}$ et $F = R^{p}$ . Soit $f : U \to F$ un difféomorphisme. Alors :

Pour tout $x \in U$ , en posant $y = f (x)$ , $d (f^{- 1})_{y} \circ d f_{x} = id$
$n = p$ .

Exemple 3

$x \mapsto x^{3}$ est un homéomorphisme de $R$ sur $R$ , de classe $C^{1}$ , mais n’est pas un difféomorphisme.

Énoncé

[GOU20]
p. 341

Théorème 4

Inversion localeSoit $f : U \to F$ de classe $C^{1}$ . On suppose qu’il existe $a \in U$ tel que $d f_{a}$ est inversible.

Alors, il existe $V$ voisinage de $a$ et $W$ voisinage de $f (a)$ tels que $f_{∣ V}$ soit un difféomorphisme de classe $C^{1}$ de $V$ sur $W$ .

Remarque 5

Si $E = F = R^{n}$ , $d f_{a}$ est inversible si et seulement si le jacobien de $f$ en $a$ , $det Jac (f)_{a}$ , est non nul.

Corollaire 6

Soit $f : U \to R^{q}$ de classe $C^{1}$ . On suppose que pour tout $a \in U$ , $d f_{a}$ est inversible. Alors $f$ est une application ouverte.

p. 347

Exemple 7

L’application de $R^{2}$ dans $R^{2}$ définie par $(x, y) \mapsto (x^{2} - y^{2}, x y)$ est un difféomorphisme local de classe $C^{\infty}$ en tout point de $R^{2} ∖ {(0, 0)}$ .

[BMP]
p. 9

Application 8

On suppose $E = R^{n}$ . Soit $φ : U \to R^{n}$ un $C^{1}$ -difféomorphisme. On pose $V = φ (U)$ . Alors $V$ est un ouvert de $R^{n}$ . De plus, pour toute fonction mesurable $f : V \to R$ , on a $f \in L^{1} (V) ⟺ (y \mapsto f (φ (y)) ∣ det Jac φ (y) ∣) \in L^{1} (U) .$ Dans ce cas, $\int_{V} f (x) d x = \int_{U} f (φ (y)) ∣ det Jac φ (y) ∣ d y .$

[GOU20]
p. 355

Exemple 9

En passant en coordonnées polaires, $\int_{R} e^{- x^{2}} d x = π$

[BMP]
p. 9

Application 10

Soient $A \in M_{n} (R)$ et $k$ un entier. Alors, si $A$ est suffisamment proche de l’identité $I_{n}$ , $A$ est une racine $k$ -ième (ie. $\exists B \in M_{n} (R)$ telle que $B^{k} = A$ ).

Généralisation

p. 13

Théorème 11

Inversion globaleSoit $f : U \to F$ de classe $C^{1}$ . Alors, $f$ est un difféomorphisme de classe $C^{1}$ de $U$ sur $V = f (U)$ si et seulement si $f$ est injective sur $U$ et $d f_{a}$ est un isomorphisme pour tout $a \in U$ .

[GOU20]
p. 347

Exemple 12

L’application de l’7 n’est pas un difféomorphisme global.

[ROU]
p. 191

Remarque 13

Il existe une version holomorphe de ce théorème :

Soient $U$ un ouvert connexe de $C$ et $f : U \to C$ holomorphe sur $U$ . On suppose $f$ injective sur $U$ . Alors, $V = f (U)$ est un ouvert (connexe) de $C$ et $f$ est un difféomorphisme holomorphe de classe $C^{1}$ de $U$ sur $V$ .

Remarquons que seule l’injectivité de $f$ suffit.

p. 231

Théorème 14

du rang constantOn se place dans le cas où $E = R^{n}$ et $F = R^{p}$ . Soit $f : U \to R^{p}$ de classe $C^{1}$ . On suppose que le rang de $d f_{x}$ est constant égal à $r \leq n$ pour tout $x \in U$ . Soit $a \in U$ . Alors, il existe $V$ voisinage de $a$ , $W$ voisinage de $f (a)$ et deux difféomorphismes $ϕ : V \to V$ et $ψ : W \to W$ tels que $ϕ \circ f \circ ψ = π_{r}$ où $π_{r}$ désigne la projection de $R^{n}$ sur $R^{r}$ : $π_{r} : (x_{1}, \dots, x_{n}) \mapsto (x_{1}, \dots, x_{r - 1}, x_{r}, 0, \dots, 0)$ .

Théorème des fonctions implicites

Énoncé

[GOU20]
p. 344

Définition 15

Soient $E_{1}, \dots, E_{n}, F$ des espaces de Banach, $Ω \subseteq E$ un ouvert où $E = E_{1} \times \dots \times E_{n}$ et $a = (a_{1}, \dots, a_{n}) \in E$ . Soit $f : Ω \to F$ . Alors, pour tout $i \in [[1, n]]$ , $f_{i} : x \mapsto f (a_{1}, \dots, a_{i - 1}, x, a_{i + 1}, \dots, a_{n})$ est définie sur un voisinage de $a_{i}$ dans $E_{i}$ . Si elle est différentiable en $a_{i}$ , on dit que $f$ admet une différentielle partielle d’indice $i$ en $a$ , et on note celle-ci $\partial_{i} f_{a}$ .

Remarque 16

En reprenant les notations précédentes :

Si pour tout $i \in [[1, n]]$ , $E_{i} = R$ et $F = E = R^{n}$ , alors $\partial_{i} f_{a} = h \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a)$ .
Si $f$ est différentiable en $a$ , alors pour tout $i \in [[1, n]]$ , $\partial_{i} f_{a}$ existe et $\forall h = (h_{1}, \dots, h_{n}) \in E, d f_{a} (h) = i = 1 \sum n \partial_{i} f_{a} (h_{i})$

Théorème 17

des fonctions implicitesSoient $E, F, G$ trois espaces de Banach. Soient $U \times V \subseteq E \times F$ où $U$ et $V$ sont des ouvertes. Soit $f : U \times V \to G$ de classe $C^{1}$ . On suppose qu’il existe $(a, b) \in U \times V$ tel que $f (a, b) = 0$ et $\partial_{2} f_{(a, b)} : F \to G$ est un isomorphisme. Alors, il existe :

Un voisinage ouvert $U_{0}$ de $a$ dans $U$ .
Un voisinage ouvert $W$ de $f (a, b)$ .
Un voisinage ouvert $Ω$ de $(a, b)$ dans $U \times V$ .
Une fonction $φ : U_{0} \times W \to V$ de classe $C^{1}$ .

Vérifiant : $\forall x \in U_{0}, \forall z \in W, \exists! y \in V tel que f (x, y) = z avec (x, y) \in Ω et y = φ (x, z)$ En particulier, $\forall (x, z) \in U_{0} \times W, f (x, φ (x, z)) = z$

[BMP]
p. 11

Remarque 18

Avec les notations précédentes, si $E = F = R$ , on peut choisir n’importe quelle variable pour obtenir $y = φ (x) si \frac{\partial f}{\partial y} (a, b) \neq = 0 ou x = φ (y) si \frac{\partial f}{\partial y} (a, b) \neq = 0$

[ROU]
p. 193

Remarque 19

La signification de ce théorème est que la surface définie implicitement par l’équation $f (x, y) = 0$ peut, au moins localement, être vue comme le graphe d’une fonction $φ$ .

Proposition 20

Avec les notations précédentes, la différentielle de la fonction implicite $φ$ est donnée par : $d φ_{x} = - (\partial_{2} f_{(x, φ (x)}))^{- 1} \circ (\partial_{1} f_{(x, φ (x))})$

Exemples

Exemple 21

Pour l’équation $x^{2} + y^{2} - 1 = 0$ , on a $\partial_{2} f_{(x, y)} = 2 y$ . On exclue les points où $y = 0$ . En prenant $(0, 1)$ et $(0, - 1)$ pour points de départ, on a deux fonctions implicites qui correspondent aux demi-cercles supérieur et inférieur :

$y = φ_{1} (x) = 1 - x^{2}$ .
$y = φ_{2} (x) = - 1 - x^{2}$ .

De plus, en dérivant par rapport à $x$ : $2 x + 2 y y^{'} = 0$ et, $y^{'} = φ_{1}^{'} (x) = \frac{- x}{y}$ .

p. 237

Exemple 22

Folium de DescartesSoit $C = {(x, y) \in R^{2} ∣ x^{3} + y^{3} - 3 x y = 0}$ . En tout point $(a, b) \in R^{2} ∖ {(0, 0), (2^{\frac{2}{3}}, 2^{\frac{1}{3}})}$ , $C$ peut être vu comme le graphe d’une fonction $φ$ telle que $φ^{'} (a) = \frac{a ^{2} - b}{a - b ^{2}}$

[GOU20]
p. 348

Exemple 23

Soit $f : (x, y) \mapsto sin (y) + x y^{4} + x^{2}$ . Alors, il existe $U, V$ deux voisinages ouverts de $0$ dans $R$ , $y = φ (x) \in V$ est l’unique solution de $f (x, y) = 0$ . De plus, on a un développement limité de $φ$ : $φ (x) = - x^{2} - \frac{x ^{6}}{6} - x^{9} - \frac{x ^{10}}{40} + o (x^{11})$

Applications

Homéomorphismes

[ROU]
p. 209

Lemme 24

Soit $A_{0} \in S_{n} (R)$ inversible. Alors il existe un voisinage $V$ de $A_{0}$ dans $S_{n} (R)$ et une application $ψ : V \to GL_{n} (R)$ de classe $C^{1}$ telle que $\forall A \in V, A = (^{t} ψ (A) A_{0} ψ (A)$

p. 354

lemme-de-morse

Lemme 25

Lemme de MorseSoit $f : U \to R$ une fonction de classe $C^{3}$ (où $U$ désigne un ouvert de $R^{n}$ contenant l’origine). On suppose :

$d f_{0} = 0$ .
La matrice symétrique $Hess (f)_{0}$ est inversible.
La signature de $Hess (f)_{0}$ est $(p, n - p)$ .

Alors il existe un difféomorphisme $ϕ = (ϕ_{1}, \dots, ϕ_{n})$ de classe $C^{1}$ entre deux voisinages de l’origine de $R^{n}$ $V \subseteq U$ et $W$ tel que $φ (0) = 0$ et $\forall x \in U, f (x) - f (0) = k = 1 \sum p ϕ_{k}^{2} (x) - k = p + 1 \sum n ϕ_{k}^{2} (x)$

p. 334

Exemple 26

On considère $f : (x, y) \mapsto x^{2} - y^{2} + \frac{y ^{4}}{4}$ . La courbe d’équation $f (x, y) = 0$ est (au changement près du nom des coordonnées) une projection de l’intersection d’un cylindre et d’une sphère tangents. On a $f = u^{2} - v^{2}$ avec $u : (x, y) \mapsto x$ et $v : (x, y) \mapsto y 1 - \frac{y ^{2}}{4}$ .

p. 341

Application 27

Soit $S$ la surface d’équation $z = f (x, y)$ où $f$ est de classe $C^{3}$ au voisinage de l’origine. On suppose la forme quadratique $d^{2} f_{0}$ non dégénérée. Alors, en notant $P$ le plan tangent à $S$ en $0$ :

Si $d^{2} f_{0}$ est de signature $(2, 0)$ , alors $S$ est au-dessus de $P$ au voisinage de $0$ .
Si $d^{2} f_{0}$ est de signature $(0, 2)$ , alors $S$ est en-dessous de $P$ au voisinage de $0$ .
Si $d^{2} f_{0}$ est de signature $(1, 1)$ , alors $S$ traverse $P$ selon une courbe admettant un point double en $(0, f (0))$ .

[BMP]
p. 15

Application 28

Soit $f : R^{n} \to R$ de classe $C^{3}$ telle que $d f_{0} = 0$ et $d^{2} f_{0}$ est définie positive. Alors $0$ est un minimum local (strict) de $f$ .

Optimisation

[GOU20]
p. 337

Théorème 29

Extrema liésSoit $U$ un ouvert de $R^{n}$ et soient $f, g_{1}, \dots, g_{r} : U \to R$ des fonctions de classe $C^{1}$ . On note $Γ = {x \in U ∣ g_{1} (x) = \dots = g_{r} (x) = 0}$ . Si $f_{∣Γ}$ admet un extremum relatif en $a \in Γ$ et si les formes linéaires $d (g_{1})_{a}, \dots, d (g_{r})_{a}$ sont linéairement indépendantes, alors il existe un unique $r$ -uplet $(λ_{1}, \dots, λ_{r})$ tel que $d f_{a} = λ_{1} d (g_{1})_{a} + \dots + λ_{r} d (g_{r})_{a}$

Définition 30

Les $λ_{1}, \dots, λ_{r}$ du théorème précédent sont appelés appelés multiplicateurs de Lagrange.

[BMP]
p. 21

Remarque 31

La relation finale du 29 équivaut à $i = 1 ⋂ n Ker (d (g_{i})_{a}) \subseteq Ker (d f_{a})$ et elle exprime que $d f_{a}$ est nulle sur l’espace tangent à $Γ$ en $a$ (ie. $\nabla f_{a}$ est orthogonal à l’espace tangent à $Γ$ en $a$ ).

Contre-exemple 32

On pose $g : (x, y) \mapsto x^{3} - y^{2}$ et on considère $f : (x, y) \mapsto x + y^{2}$ . On cherche à minimiser $f$ sous la contrainte $g (x, y) = 0$ .

Alors, le minimum (global) de $f$ sous cette contrainte est atteint en $(0, 0)$ , la différentielle de $g$ en $(0, 0)$ est nulle et la relation finale du 29 n’est pas vraie.

Application 33

Théorème spectralTout endomorphisme symétrique d’un espace euclidien se diagonalise dans une base orthonormée.

p. 35

Application 34

$SO_{n} (R) = {M \in M_{n} (R) ∣ ∥ M ∥^{2} = P \in SL_{n} (R) in f ∥ P ∥^{2}}$ où $∥.∥ : M \mapsto trace ((^{t} M M)$ (ie. $SO_{n} (R)$ est l’ensemble des matrices de $SL_{n} (R)$ qui minimisent la norme euclidienne canonique de $M_{n} (R)$ ).

[GOU20]
p. 339

Application 35

Inégalité arithmético-géométrique. $\forall (x_{1}, \dots, x_{n}) \in (R^{+})^{n}, (i = 1 \prod n x_{i})^{\frac{1}{n}} \leq \frac{1}{n} i = 1 \sum n x_{i}$

[ROU]
p. 409

Application 36

Inégalité d’Hadamard $\forall (x_{1}, \dots, x_{n}) \in (R^{n})^{n}, ∣ det (x_{1}, \dots, x_{n}) ∣ \leq ∥ x_{1} ∥ \dots ∥ x_{n} ∥$ avec égalité si et seulement si l’un des $x_{i}$ est nul ou si $(x_{1}, \dots, x_{n})$ est une famille orthogonale de $R^{n}$ .

Régularité des racines d’un polynôme

[BMP]
p. 11

Proposition 37

Soient $P_{0} \in R_{n} [X]$ et $x_{0} \in R$ une racine simple de $P_{0}$ . Alors, il existe $φ$ une application $C^{\infty}$ définie sur un voisinage $U$ de $P_{0}$ dans $R_{n} [X]$ à valeurs dans un voisinage $V$ de $x_{0}$ telle que $\forall P \in U, \forall x \in V, x = φ (P) ⟺ P (x) = 0$