214 Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.

Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.

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Soient et deux espaces de Banach et un ouvert. Pour simplifier les notations, nous nous restreignons aux produits de , mais il est possible de généraliser la plupart des résultats significatifs ci-dessous à des espaces de Banach.

Théorème d’inversion locale

Difféomorphisme

Pour une fonction réelle de classe , on sait que si pour tout , alors admet un inverse global qui vérifie L’objectif ici va être de généraliser ce résultat.

Définition 1. Soit . On dit que est un difféomorphisme de classe de sur si et sont bijectives et de classe respectivement sur et .

Proposition 2. On se place dans le cas où et . Soit un difféomorphisme. Alors :

  1. Pour tout , en posant ,

  2. .

Exemple 3. est un homéomorphisme de sur , de classe , mais n’est pas un difféomorphisme.

Énoncé

Théorème 4 (Inversion locale). Soit de classe . On suppose qu’il existe tel que est inversible.

Alors, il existe voisinage de et voisinage de tels que soit un difféomorphisme de classe de sur .

Remarque 5. Si , est inversible si et seulement si le jacobien de en , , est non nul.

Corollaire 6. Soit de classe . On suppose que pour tout , est inversible. Alors est une application ouverte.

Exemple 7. L’application de dans définie par est un difféomorphisme de classe en tout point de .

Application 8. Soit un difféomorphisme de classe . Alors, est mesurable et tout fonction appartient à si et seulement si appartient à . Dans ce cas,

Exemple 9. En passant en coordonnées polaires,

Application 10. Soient et un entier. Alors, si est suffisamment proche de l’identité , est une racine -ième (ie. telle que ).

Généralisation

Théorème 11 (Inversion globale). Soit de classe . Alors, est un difféomorphisme de classe de sur si et seulement si est injective sur et est un isomorphisme pour tout .

Exemple 12. L’application de l’Exemple 7 n’est pas un difféomorphisme global.

Remarque 13. Il existe une version holomorphe de ce théorème :

Soient un ouvert connexe de et holomorphe sur . On suppose injective sur . Alors, est un ouvert (connexe) de et est un difféomorphisme holomorphe de classe de sur .

Remarquons que seule l’injectivité de suffit.

Théorème 14 (du rang constant). On se place dans le cas où et . Soit de classe . On suppose que le rang de est constant égal à pour tout . Soit . Alors, il existe voisinage de , voisinage de et deux difféomorphismes et tels que désigne la projection de sur : .

Théorème des fonctions implicites

Énoncé

Définition 15. Soient des espaces de Banach, un ouvert où et . Soit . Alors, pour tout , est définie sur un voisinage de dans . Si elle est différentiable en , on dit que admet une différentielle partielle d’indice en , et on note celle-ci .

Remarque 16. En reprenant les notations précédentes :

  • Si pour tout , et , alors .

  • Si est différentiable en , alors pour tout , existe et

Théorème 17 (des fonctions implicites). Soient trois espaces de Banach. Soient et sont des ouvertes. Soit de classe . On suppose qu’il existe tel que est un isomorphisme. Alors, il existe :

  • Un voisinage ouvert de dans .

  • Un voisinage ouvert de .

  • Un voisinage ouvert de dans .

  • Une fonction de classe .

Vérifiant : En particulier,

Remarque 18. Avec les notations précédentes, si , on peut choisir n’importe quelle variable pour obtenir

Remarque 19. La signification de ce théorème est que la surface définie implicitement par l’équation peut, au moins localement, être vue comme le graphe d’une fonction .

Proposition 20. Avec les notations précédentes, la différentielle de la fonction implicite est donnée par :

Exemples

Exemple 21. Pour l’équation , on a . On exclue les points où . En prenant et pour points de départ, on a deux fonctions implicites qui correspondent aux demi-cercles supérieur et inférieur :

  • .

  • .

De plus, en dérivant par rapport à : et, .

Exemple 22 (Folium de Descartes). Soit . En tout point , peut être vu comme le graphe d’une fonction telle que

Exemple 23. Soit . Alors, il existe deux voisinages ouverts de dans , est l’unique solution de . De plus, on a un développement limité de :

Applications

Homéomorphismes

Lemme 24. Soit inversible. Alors il existe un voisinage de dans et une application de classe telle que

Lemme 25 (Morse). Soit une fonction de classe (où désigne un ouvert de contenant l’origine). On suppose :

  • .

  • La matrice symétrique est inversible.

  • La signature de est .

Alors il existe un difféomorphisme de classe entre deux voisinage de l’origine de et tel que et

Exemple 26. On considère . La courbe d’équation est (au changement près du nom des coordonnées) une projection de l’intersection d’un cylindre et d’une sphère tangents. On a avec et .

Application 27. Soit la surface d’équation est de classe au voisinage de l’origine. On suppose la forme quadratique non dégénérée. Alors, en notant le plan tangent à en :

  1. Si est de signature , alors est au-dessus de au voisinage de .

  2. Si est de signature , alors est en-dessous de au voisinage de .

  3. Si est de signature , alors traverse selon une courbe admettant un point double en .

Application 28. Soit de classe telle que et est définie positive. Alors est un minimum local (strict) de .

Optimisation

Théorème 29 (Extrema liés). Soit un ouvert de et soient des fonctions de classe . On note . Si admet un extremum relatif en et si les formes linéaires sont linéairement indépendantes, alors il existe des uniques tels que

Définition 30. Les du théorème précédent sont appelés appelés multiplicateurs de Lagrange.

Remarque 31. La relation finale du Théorème 29 équivaut à et elle exprime que est nulle sur l’espace tangent à en (ie. est orthogonal à l’espace tangent à en ).

Contre-exemple 32. On pose et on considère . On cherche à minimiser sous la contrainte .

Alors, le minimum (global) de sous cette contrainte est atteint en , la différentielle de en est nulle et la relation finale du Théorème 29 n’est pas vraie.

Application 33 (Théorème spectral). Tout endomorphisme symétrique d’un espace euclidien se diagonalise dans une base orthonormée.

Application 34. (ie. est l’ensemble des matrices de qui minimisent la norme euclidienne canonique de ).

Application 35 (Inégalité arithmético-géométrique).

Application 36 (Inégalité d’Hadamard). avec égalité si et seulement si est une base orthogonale de .

Régularité des racines d’un polynôme

Proposition 37. Soient et une racine simple de . Alors, il existe une application définie sur un voisinage de dans à valeurs dans un voisinage de telle que

Application 38. Soit l’ensemble des polynômes de scindés à racines simples. Alors, est un ouvert de .

Surjectivité de l’exponentielle matricielle

Lemme 39.

  1. Soit . Alors .

  2. est différentiable en et .

  3. Soit . Alors .

Théorème 40. est surjective.

Application 41. , où désigne les carrés de .

Annexes

tikzpicture-1
Inversion locale
tikzpicture-2
Fonctions implicites