215 Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^{n}$ . Exemples et applications.

Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^{n}$ . Exemples et applications.

analysis

Sauf mention contraire, nous travaillerons sur l’espace vectoriel normé $R^{n}$ pour $n \geq 1$ . Soient $F$ un espace vectoriel normé sur $R$ et $U \subseteq R^{n}$ un ouvert.

Généralisation de la notion de dérivée

Différentielle

[GOU20]
p. 323

Définition 1

Soit $(E, ∥.∥)$ un espace vectoriel normé sur $R$ . Soient $U \subseteq E$ ouvert et $f : U \to F$ une application de $U$ dans $F$ . $f$ est dite différentiable en un point $a$ de $U$ s’il existe $ℓ_{a} \in L (E, F)$ telle que $f (a + h) = f (a) + ℓ_{a} (h) + o (∥ h ∥) quand h ⟶ 0$ Si $ℓ_{a}$ existe, alors elle est unique et on la note $d f_{a}$ : c’est la différentielle de $f$ en $a$ .

Remarque 2

En dimension quelconque $d f_{a}$ dépend a priori des normes choisies sur $E$ et $F$ . Cependant, en dimension finie, l’équivalence des normes implique que l’existence et la valeur de $d f_{a}$ ne dépendent pas des normes choisies.
La définition demande à $ℓ_{a}$ d’être continue. En dimension finie, le problème ne se pose donc pas.
Une fonction réelle est différentiable en $a$ si et seulement si elle est dérivable en $a$ . Dans ce cas, on a $d f_{a} : h \mapsto f^{'} (a) h$ .

Exemple 3

Si $f$ est linéaire et continue, alors $d f_{a} = f$ pour tout $a \in E$ .

Proposition 4

Une fonction différentiable en un point et continue en ce point.

Proposition 5

Soit $V \subseteq F$ un ouvert. Soit $f : U \to F$ différentiable en un point $a$ de $U$ .

$\forall λ \in R$ , $λ f$ est différentiable en $a$ , et $d (λ f)_{a} = λ d f_{a}$ .
Si $g : U \to F$ est différentiable en $a$ , alors $f + g$ l’est aussi, et $d (f + g)_{a} = d f_{a} + d g_{a}$ .
Soit $g : V \to G$ . On suppose $f (U) \subseteq V$ et $g$ différentiable en $f (a)$ . Alors $g \circ f$ est différentiable en $a$ et, $d (g \circ f)_{a} = d g_{f (a)} \circ d f_{a}$ .

Dérivée selon un vecteur

p. 324

Définition 6

Soit $a \in U$ .

Soit $v \in R^{n}$ . Si la fonction de la variable réelle $φ : t \mapsto f (a + t v)$ est dérivable en $0$ , on dit que $f$ est dérivable en $a$ selon le vecteur $v$ . On note alors $f_{v}^{'} (a) = φ^{'} (0)$
Soit $(e_{1}, \dots, e_{n})$ la base canonique de $R^{n}$ et soit $i \in [[1, n]]$ . On dit que $f$ admet une $i$ -ième dérivée partielle en $a$ si $f$ est dérivable en $a$ selon le vecteur $e_{i}$ . On note alors $\frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a) = f_{e_{i}}^{'} (a)$

Remarque 7

Soient $i \in [[1, n]]$ et $a = (a_{1}, \dots, a_{n}) \in R^{n}$ . La dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a)$ est aussi la dérivée de l’application partielle $t \mapsto f (a_{1}, \dots, a_{i - 1}, a_{i} + t, a_{i + 1}, \dots, a_{n})$ en $t = 0$ .

Proposition 8

Une fonction différentiable en un point est dérivable selon tout vecteur en ce point.

p. 329

Contre-exemple 9

La fonction $R^{2} (x, y) \to \mapsto R {\frac{y ^{2}}{x} y si x \neq = 0 sinon$ est dérivable selon tout vecteur au point $(0, 0)$ mais n’est pas continue en $(0, 0)$ .

p. 325

Théorème 10

Si toutes les dérivées partielles de $f$ existent et si elles sont continues en un point $a$ de $U$ , alors $f$ est différentiable en $a$ et on a $d f_{a} = i = 1 \sum n \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a) e_{i}^{*}$ où $(e_{i}^{*})_{i \in [[1, n]]}$ est la base duale de la base canonique $(e_{i})_{i \in [[1, n]]}$ de $R^{n}$ .

Contre-exemple 11

La fonction $f : R (x, y) \to \mapsto R {x^{2} sin (\frac{1}{x}) 0 si x \neq = 0 sinon$ est différentiable en $0$ , mais $f^{'}$ n’est pas continue en $0$ .

p. 327

Corollaire 12

Soit $f : U \to R^{m}$ différentiable en un point $a \in R^{n}$ . On note par $f_{i}$ la $i$ -ième coordonnée de $f$ $\forall i \in [[1, m]]$ . Alors la matrice de l’application linéaire $d f_{a}$ dans les bases canoniques de $R^{n}$ et $R^{m}$ est $Jac (f)_{a} = (\frac{\partial f _{i}}{\partial x _{j}})_{i \in [[1, m]] j \in [[1, n]]}$

Définition 13

Soit $f : U \to R^{m}$ différentiable en un point $a \in R^{n}$ . La matrice $Jac (f)_{a}$ est la jacobienne de $f$ en $a$ . Son déterminant est le jacobien de $f$ en $a$ .

p. 354

Exemple 14

Soit $f : (r, θ) \mapsto (r cos (θ), r sin (θ))$ , alors $det (Jac (f)_{(r, θ)}) = r$ .

p. 327

Théorème 15

Inégalité des accroissements finis. Soit $f : U \to F$ continue sur un segment $[a, b] \subseteq U$ et différentiable sur $] a, b [$ . On suppose qu’il existe $M > 0$ tel que $∣∣∣ d f_{c} ∣∣∣ \leq M$ pour tout $c \in] a, b [$ . Alors, $∥ f (b) - f (a) ∥ \leq M ∥ b - a ∥ (*)$

Corollaire 16

En reprenant les notations du théorème précédent :

Si $U$ est convexe, si $f$ est différentiable sur $U$ et si $∣∣∣ d f_{c} ∣∣∣ \leq M$ pour tout $c \in U$ , alors l’inégalité $(*)$ précédente est vraie pour tout $a, b \in U$ .
Si $U$ est un ouvert connexe et $d f_{c} = 0$ pour tout $c \in U$ , alors $f$ est constante.

Différentielle itérée

Définition 17

Soit $f : U \to F$ . Sous réserve d’existence, on peut définir par récurrence sur $p$ une dérivée partielle d’ordre $p$ par la relation $\frac{\partial ^{p}}{\partial x _{i_{p}} \dots \partial x _{i_{1}}} f = \frac{\partial}{\partial x _{i_{p}}} (\frac{\partial ^{p - 1}}{\partial x _{i_{p - 1}} \dots \partial x _{i_{1}}} f)$ $f$ est alors dite de classe $C^{p}$ si toutes ses dérivées partielles jusqu’à l’ordre $p$ existent et sont continues sur $U$ .

p. 79

Exemple 18

La fonction $x \mapsto {e^{- \frac{1}{x}} si x > 0 0 sinon$ est $C^{\infty}$ .

p. 326

Théorème 19

Théorème de SchwarzOn se place dans la cas $n = 2$ . Soit $f : U \to R$ qui admet des dérivées partielles sur $U$ , continues en $a \in U$ . Alors : $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} (a) = \frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} (a)$

Corollaire 20

Soit $f : U \to R^{m}$ de classe $C^{p}$ . Alors les dérivées partielles jusqu’à l’ordre $p$ ne dépendant pas de l’ordre de dérivation.

Notation 21

Soient $f : U \to R^{m}$ de classe $C^{k}$ sur $U$ et $n \in [[1, k]]$ . Par analogie avec $\forall (a_{1}, \dots, a_{m}) \in R^{m}, (a_{1} + \dots + a_{m})^{n} = i_{1} + \dots + i_{m} = n \sum \frac{n !}{i _{1} ! \dots i _{m} !} a_{1}^{i_{1}} \dots a_{m}^{i_{m}}$ on note $(i = 1 \sum m h_{i} \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a))^{(n)} = i_{1} + \dots + i_{m} = n \sum \frac{n !}{i _{1} ! \dots i _{m} !} h_{1}^{i_{1}} \dots h_{m}^{i_{m}} \frac{\partial ^{n}}{\partial x _{1}^{i_{1}} \dots \partial x _{m}^{i_{m}}} f (a)$

Théorème 22

Formule de Taylor-LagrangeSoient $f : U \to R$ de classe $C^{p}$ sur $U$ , $x \in R^{n}$ , $h = (h_{1}, \dots, h_{n}) \in R^{n}$ tels que $[x, x + h] \subseteq U$ . Alors, $\exists θ \in] 0, 1 [$ tel que $f (x + h) = j = 0 \sum p - 1 \frac{1}{i !} (i = 1 \sum n h_{i} \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (x))^{(j)} + \frac{1}{p !} (i = 1 \sum n h_{i} \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (x + θ h))^{(p)}$

Exemple 23

Pour $f : R^{2} \to R$ de classe $C^{2}$ , pour $(h, k) \in R^{2}$ , il existe $θ \in] 0, 1 [$ tel que $f (h, k) = f (0, 0) + h \frac{\partial f}{\partial x} (0, 0) + k \frac{\partial f}{\partial y} (0, 0) + \frac{1}{2} (h^{2} \frac{\partial ^{2} f}{\partial ^{2} x} f (θ h, θ k) + hk \frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} f (θ h, θ k) + k^{2} \frac{\partial ^{2} f}{\partial ^{2} y} f (θ h, θ k)) + o (∥ (h, k) ∥^{2})$

Théorème 24

Formule de Taylor avec reste intégral. Soient $f : U \to R^{p}$ de classe $C^{k}$ sur $U$ , $x \in R^{n}$ , $h = (h_{1}, \dots, h_{n}) \in R^{n}$ tels que $[x, x + h] \subseteq U$ . Alors, $f (x + h) = j = 0 \sum k - 1 \frac{1}{i !} (i = 1 \sum n h_{i} \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (x))^{(j)} + \int_{0}^{1} \frac{( 1 - t ) ^{k - 1}}{( k - 1 )!} (i = 1 \sum n h_{i} \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (x + t h))^{(k)} d t$

Théorème 25

Formule de Taylor-YoungSoient $f : U \to R^{p}$ de classe $C^{k}$ sur $U$ , $x \in R^{n}$ , $h = (h_{1}, \dots, h_{n}) \in R^{n}$ tels que $[x, x + h] \subseteq U$ . Alors, $f (x + h) = j = 0 \sum k \frac{1}{i !} (i = 1 \sum n h_{i} \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (x))^{(j)} + o (∥ h ∥^{k})$

Application 26

Lemme d’HadamardSoit $f : R^{n} \to R$ de classe $C^{\infty}$ . On suppose $f$ différentiable en $0$ avec $d f_{0} = 0$ et $f (0) = 0$ . Alors, $f (x_{1}, \dots, x_{n}) = i, j = 1 \sum n x_{i} x_{j} h_{i, j} (x_{1}, \dots, x_{n})$ où $\forall i, j \in [[1, n]]$ , $h_{i, j} : R^{n} \to R$ est $C^{\infty}$ .

Théorèmes fondamentaux

Inversion locale

[ROU]
p. 54

Définition 27

Soit $f : U \to F$ . On dit que $f$ est un difféomorphisme de classe $C^{k}$ de $U$ sur $V = f (U)$ si $f$ et $f^{- 1}$ sont bijectives et de classe $C^{k}$ respectivement sur $U$ et $V$ .

Exemple 28

$x \mapsto x^{3}$ est un homéomorphisme de $R$ sur $R$ , de classe $C^{1}$ , mais n’est pas un difféomorphisme.

[GOU20]
p. 341

Théorème 29

Inversion localeSoit $f : U \to F$ de classe $C^{1}$ . On suppose qu’il existe $a \in U$ tel que $d f_{a}$ est inversible.

Alors, il existe $V$ voisinage de $a$ et $W$ voisinage de $f (a)$ tels que $f_{∣ V}$ soit un difféomorphisme de classe $C^{1}$ de $V$ sur $W$ .

Remarque 30

Si $F = R^{n}$ , $d f_{a}$ est inversible si et seulement si le jacobien de $f$ en $a$ , $det Jac (f)_{a}$ , est non nul.

Corollaire 31

Soit $f : U \to R^{q}$ de classe $C^{1}$ . On suppose que pour tout $a \in U$ , $d f_{a}$ est inversible. Alors $f$ est une application ouverte.

p. 347

Exemple 32

L’application de $R^{2}$ dans $R^{2}$ définie par $(x, y) \mapsto (x^{2} - y^{2}, x y)$ est un difféomorphisme local de classe $C^{\infty}$ en tout point de $R^{2} ∖ {(0, 0)}$ .

[BMP]
p. 9

Application 33

Soit $φ : U \to R^{n}$ un $C^{1}$ -difféomorphisme. On pose $V = φ (U)$ . Alors $V$ est un ouvert de $R^{n}$ . De plus, pour toute fonction mesurable $f : V \to R$ , on a $f \in L^{1} (V) ⟺ (y \mapsto f (φ (y)) ∣ det Jac φ (y) ∣) \in L^{1} (U) .$ Dans ce cas, $\int_{V} f (x) d x = \int_{U} f (φ (y)) ∣ det Jac φ (y) ∣ d y .$

[GOU20]
p. 355

Exemple 34

En passant en coordonnées polaires, $\int_{R} e^{- x^{2}} d x = π$

[BMP]
p. 9

Application 35

Soient $A \in M_{n} (R)$ et $k$ un entier. Alors, si $A$ est suffisamment proche de l’identité $I_{n}$ , $A$ est une racine $k$ -ième (ie. $\exists B \in M_{n} (R)$ telle que $B^{k} = A$ ).

[I-P]
p. 396

Lemme 36

Soit $A \in M_{n} (C)$ . Alors $exp (A) \in GL_{n} (C)$ .
$exp$ est différentiable en $0$ et $d exp_{0} = id_{M_{n} (C)}$ .
Soit $M \in GL_{n} (C)$ . Alors $M^{- 1} \in C [M]$ .

surjectivite-de-l-exponentielle

Théorème 37

$exp : M_{n} (C) \to GL_{n} (C)$ est surjective.

Application 38

$exp (M_{n} (R)) = GL_{n} (R)^{2}$ , où $GL_{n} (R)^{2}$ désigne les carrés de $GL_{n} (R)$ .

Fonctions implicites

[GOU20]
p. 344

Définition 39

Soient $E_{1}, \dots, E_{n}, F$ des espaces de Banach, $Ω \subseteq E$ un ouvert où $E = E_{1} \times \dots \times E_{n}$ et $a = (a_{1}, \dots, a_{n}) \in E$ . Soit $f : Ω \to F$ . Alors, pour tout $i \in [[1, n]]$ , $f_{i} : x \mapsto f (a_{1}, \dots, a_{i - 1}, x, a_{i + 1}, \dots, a_{n})$ est définie sur un voisinage de $a_{i}$ dans $E_{i}$ . Si elle est différentiable en $a_{i}$ , on dit que $f$ admet une différentielle partielle d’indice $i$ en $a$ , et on note celle-ci $\partial_{i} f_{a}$ .

Remarque 40

En reprenant les notations précédentes :

Si pour tout $i \in [[1, n]]$ , $E_{i} = R$ et $F = E = R^{n}$ , alors $\partial_{i} f_{a} = h \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a)$ .
Si $f$ est différentiable en $a$ , alors pour tout $i \in [[1, n]]$ , $\partial_{i} f_{a}$ existe et $\forall h = (h_{1}, \dots, h_{n}) \in E, d f_{a} (h) = i = 1 \sum n \partial_{i} f_{a} (h_{i})$

Théorème 41

des fonctions implicitesSoient $U \times V \subseteq R^{n} \times R^{m}$ où $U$ et $V$ sont des ouvertes. Soit $f : U \times V \to F$ de classe $C^{1}$ . On suppose qu’il existe $(a, b) \in U \times V$ tel que $f (a, b) = 0$ et $\partial_{2} f_{(a, b)} : R^{m} \to F$ est un isomorphisme. Alors, il existe :

Un voisinage ouvert $U_{0}$ de $a$ dans $U$ .
Un voisinage ouvert $W$ de $f (a, b)$ .
Un voisinage ouvert $Ω$ de $(a, b)$ dans $U \times V$ .
Une fonction $φ : U_{0} \times W \to V$ de classe $C^{1}$ .

Vérifiant : $\forall x \in U_{0}, \forall z \in W, \exists! y \in V tel que f (x, y) = z avec (x, y) \in Ω et y = φ (x, z)$ En particulier, $\forall (x, z) \in U_{0} \times W, f (x, φ (x, z)) = z$

[BMP]
p. 11

Remarque 42

Avec les notations précédentes, si $E = F = R$ , on peut choisir n’importe quelle variable pour obtenir $y = φ (x) si \frac{\partial f}{\partial y} (a, b) \neq = 0 ou x = φ (y) si \frac{\partial f}{\partial y} (a, b) \neq = 0$

[ROU]
p. 193

Remarque 43

La signification de ce théorème est que la surface définie implicitement par l’équation $f (x, y) = 0$ peut, au moins localement, être vue comme le graphe d’une fonction $φ$ .

Proposition 44

Avec les notations précédentes, la différentielle de la fonction implicite $φ$ est donnée par : $d φ_{x} = - (\partial_{2} f_{(x, φ (x)}))^{- 1} \circ (\partial_{1} f_{(x, φ (x))})$

Exemple 45

Pour l’équation $x^{2} + y^{2} - 1 = 0$ , on a $\partial_{2} f_{(x, y)} = 2 y$ . On exclue les points où $y = 0$ . En prenant $(0, 1)$ et $(0, - 1)$ pour points de départ, on a deux fonctions implicites qui correspondent aux demi-cercles supérieur et inférieur :

$y = φ_{1} (x) = 1 - x^{2}$ .
$y = φ_{2} (x) = - 1 - x^{2}$ .

De plus, en dérivant par rapport à $x$ : $2 x + 2 y y^{'} = 0$ et, $y^{'} = φ_{1}^{'} (x) = \frac{- x}{y}$ .

Application aux fonctions à valeurs dans $R$

Gradient, hessienne

[GOU20]
p. 324

Soit $f : U \to R$ une application différentiable en un point $a$ de $U$ .

Définition 46

$d f_{a}$ est une forme linéaire, et le théorème de représentation de Riesz donne l’existence d’un unique vecteur $v$ de $R^{n}$ tel que $\forall h \in R^{n}, d f_{a} (h) = ⟨ v, h ⟩$ Le vecteur $v$ s’appelle gradient de $f$ , et est noté $\nabla f_{a}$ .

Proposition 47

$\frac{\partial f}{\partial x _{i}}$ existe pour tout $i \in [[1, n]]$ et, $\nabla f_{a} = i = 1 \sum n \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a) e_{i}$ où $(e_{1}, \dots, e_{n})$ est la base canonique de $R^{n}$ .

p. 336

On suppose pour la suite $f$ de classe $C^{2}$ .

Définition 48

La matrice hessienne de $f$ en $a$ , notée $Hess (f)_{a}$ , est définie par $Hess (f)_{a} = (\frac{\partial ^{2} f}{\partial x _{i} \partial x _{j}})_{i, j \in [[1, n]]}$

Remarque 49

Pour $f$ de classe $C^{2}$ , $Hess (f)_{a}$ est symétrique.

Théorème 50

On suppose $d f_{a} = 0$ ( $a$ est un point critique de $f$ ). Alors :

Si $f$ admet un minimum (resp. maximum) relatif en $a$ , $Hess (f)_{a}$ est positive (resp. négative).
Si $Hess (f)_{a}$ définit une forme quadratique définie positive (resp. définie négative), $f$ admet un minimum (resp. maximum) relatif en $a$ .

Exemple 51

On suppose $d f_{a} = 0$ . On pose $(r, s, t) = (\frac{\partial ^{2}}{\partial x _{i} \partial x _{j}} f)_{i + j = 2}$ . Alors :

Si $r t - s^{2} > 0$ et $r > 0$ (resp. $r < 0$ ), $f$ admet une minimum (resp. maximum) relatif en $a$ .
Si $r t - s^{2} < 0$ , $f$ n’a pas d’extremum en $a$ .
Si $r t - s^{2} = 0$ , on ne peut rien conclure.

Exemple 52

La fonction $(x, y) \mapsto x^{4} + y^{2} - 2 (x - y)^{2}$ a trois points critiques qui sont des minimum locaux : $(0, 0)$ , $(2, - 2)$ et $(- 2, 2)$ .

Contre-exemple 53

$x \mapsto x^{3}$ a sa hessienne positive en $0$ , mais n’a pas d’extremum en $0$ .

Homéomorphismes

[ROU]
p. 209

Lemme 54

Soit $A_{0} \in S_{n} (R)$ inversible. Alors il existe un voisinage $V$ de $A_{0}$ dans $S_{n} (R)$ et une application $ψ : V \to GL_{n} (R)$ de classe $C^{1}$ telle que $\forall A \in V, A = (^{t} ψ (A) A_{0} ψ (A)$

p. 354

lemme-de-morse

Lemme 55

Lemme de MorseSoit $f : U \to R$ une fonction de classe $C^{3}$ (où $U$ désigne un ouvert de $R^{n}$ contenant l’origine). On suppose :

$d f_{0} = 0$ .
La matrice symétrique $H (f)_{0}$ est inversible.
La signature de $H (f)_{0}$ est $(p, n - p)$ .

Alors il existe un difféomorphisme $ϕ = (ϕ_{1}, \dots, ϕ_{n})$ de classe $C^{1}$ entre deux voisinages de l’origine de $R^{n}$ $V \subseteq U$ et $W$ tel que $φ (0) = 0$ et $\forall x \in U, f (x) - f (0) = k = 1 \sum p ϕ_{k}^{2} (x) - k = p + 1 \sum n ϕ_{k}^{2} (x)$

p. 334

Exemple 56

On considère $f : (x, y) \mapsto x^{2} - y^{2} + \frac{y ^{4}}{4}$ . La courbe d’équation $f (x, y) = 0$ est (au changement près du nom des coordonnées) une projection de l’intersection d’un cylindre et d’une sphère tangents. On a $f = u^{2} - v^{2}$ avec $u : (x, y) \mapsto x$ et $v : (x, y) \mapsto y 1 - \frac{y ^{2}}{4}$ .

Optimisation

[GOU20]
p. 337

Théorème 57

Extrema liésSoit $U$ un ouvert de $R^{n}$ et soient $f, g_{1}, \dots, g_{r} : U \to R$ des fonctions de classe $C^{1}$ . On note $Γ = {x \in U ∣ g_{1} (x) = \dots = g_{r} (x) = 0}$ . Si $f_{∣Γ}$ admet un extremum relatif en $a \in Γ$ et si les formes linéaires $d (g_{1})_{a}, \dots, d (g_{r})_{a}$ sont linéairement indépendantes, alors il existe un unique $r$ -uplet $(λ_{1}, \dots, λ_{r})$ tel que $d f_{a} = λ_{1} d (g_{1})_{a} + \dots + λ_{r} d (g_{r})_{a}$

Définition 58

Les $λ_{1}, \dots, λ_{r}$ du théorème précédent sont appelés appelés multiplicateurs de Lagrange.

[BMP]
p. 21

Remarque 59

La relation finale du 57 équivaut à $i = 1 ⋂ n Ker (d (g_{i})_{a}) \subseteq Ker (d f_{a})$ et elle exprime que $d f_{a}$ est nulle sur l’espace tangent à $Γ$ en $a$ (ie. $\nabla f_{a}$ est orthogonal à l’espace tangent à $Γ$ en $a$ ).

Contre-exemple 60

On pose $g : (x, y) \mapsto x^{3} - y^{2}$ et on considère $f : (x, y) \mapsto x + y^{2}$ . On cherche à minimiser $f$ sous la contrainte $g (x, y) = 0$ .

Alors, le minimum (global) de $f$ sous cette contrainte est atteint en $(0, 0)$ , la différentielle de $g$ en $(0, 0)$ est nulle et la relation finale du 57 n’est pas vraie.

Application 61

Théorème spectralTout endomorphisme symétrique d’un espace euclidien se diagonalise dans une base orthonormée.

p. 35

Application 62

$SO_{n} (R) = {M \in M_{n} (R) ∣ ∥ M ∥^{2} = P \in SL_{n} (R) in f ∥ P ∥^{2}}$ où $∥.∥ : M \mapsto trace ((^{t} M M)$ (ie. $SO_{n} (R)$ est l’ensemble des matrices de $SL_{n} (R)$ qui minimisent la norme euclidienne canonique de $M_{n} (R)$ ).

[GOU20]
p. 339

Application 63

Inégalité arithmético-géométrique. $\forall (x_{1}, \dots, x_{n}) \in (R^{+})^{n}, (i = 1 \prod n x_{i})^{\frac{1}{n}} \leq \frac{1}{n} i = 1 \sum n x_{i}$

[ROU]
p. 409

Application 64

Inégalité d’Hadamard $\forall (x_{1}, \dots, x_{n}) \in (R^{n})^{n}, ∣ det (x_{1}, \dots, x_{n}) ∣ \leq ∥ x_{1} ∥ \dots ∥ x_{n} ∥$ avec égalité si et seulement si l’un des $x_{i}$ est nul ou si $(x_{1}, \dots, x_{n})$ est une famille orthogonale de $R^{n}$ .