215 Applications différentiables définies sur un ouvert de . Exemples et applications.

Applications différentiables définies sur un ouvert de . Exemples et applications.

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Sauf mention contraire, nous travaillerons sur l’espace vectoriel normé pour . Soient un espace vectoriel normé sur et un ouvert.

Généralisation de la notion de dérivée

Différentielle

Définition 1. Soit un espace vectoriel normé sur . Soient ouvert et une application de dans . est dite différentiable en un point de s’il existe telle que Si existe, alors elle est unique et on la note : c’est la différentielle de en .

Remarque 2.

  • En dimension quelconque dépend a priori des normes choisies sur et . Cependant, en dimension finie, l’équivalence des normes implique que l’existence et la valeur de ne dépend pas des normes choisies.

  • La définition demande à d’être continue. En dimension finie, le problème ne se pose donc pas.

  • Une fonction réelle est différentiable en si et seulement si elle est dérivable en . Dans ce cas, on a .

Exemple 3. Si est linéaire et continue, alors pour tout .

Proposition 4. Une fonction différentiable en un point et continue en ce point.

Proposition 5. Soit un ouvert. Soit différentiable en un point de .

  1. , est différentiable en , et .

  2. Si est différentiable en , alors l’est aussi, et .

  3. Soit . On suppose et différentiable en . Alors est différentiable en et, .

Dérivée selon un vecteur

Définition 6. Soit .

  • Soit . Si la fonction de la variable réelle est dérivable en , on dit que est dérivable en selon le vecteur . On note alors

  • Soit la base canonique de et soit . On dit que admet une -ième dérivée partielle en si est dérivable en selon le vecteur . On note alors

Remarque 7. Soient et . La dérivée partielle est aussi la dérivée de l’application partielle en .

Proposition 8. Une fonction différentiable en un point est dérivable selon tout vecteur en ce point.

Contre-exemple 9. La fonction est dérivable selon tout vecteur au point mais n’est pas continue en .

Théorème 10. Si toutes les dérivées partielles de existent et si elles sont continues en un point de , alors est différentiable en et on a est la base duale de la base canonique de .

Contre-exemple 11. La fonction est différentiable en , mais n’est pas continue en .

Corollaire 12. Soit différentiable en un point . On note par la -ième coordonnée de . Alors la matrice de l’application linéaire dans les bases canoniques de et est

Définition 13. Soit différentiable en un point . La matrice est la jacobienne de en . Son déterminant est le jacobien de en .

Exemple 14. Soit , alors .

Théorème 15 (Inégalité des accroissements finis). Soit continue sur un segment et différentiable sur . On suppose qu’il existe tel que pour tout . Alors,

Corollaire 16. En reprenant les notations du théorème précédent :

  1. Si est convexe, si est différentiable sur et si pour tout , alors l’inégalité précédente est vraie pour tout .

  2. Si est un ouvert connexe et pour tout , alors est constante.

Différentielle itérée

Définition 17. Soit . Sous réserve d’existence, on peut définir par récurrence sur une dérivée partielle d’ordre par la relation est alors dite de classe si toutes ses dérivées partielles jusqu’à l’ordre existent et sont continues sur .

Exemple 18. La fonction est .

Théorème 19 (Schwarz). On se place dans la cas . Soit qui admet des dérivées partielles sur , continues en . Alors :

Corollaire 20. Soit de classe . Alors les dérivées partielles jusqu’à l’ordre ne dépendant pas de l’ordre de dérivation.

Notation 21. Soient de classe sur et . Par analogie avec on note

Théorème 22 (Formule de Taylor-Lagrange). Soient de classe sur , , tels que . Alors, tel que

Exemple 23. Pour de classe , pour , il existe tel que

Théorème 24 (Formule de Taylor avec reste intégral). Soient de classe sur , , tels que . Alors,

Théorème 25 (Formule de Taylor-Young). Soient de classe sur , , tels que . Alors,

Application 26 (Lemme d’Hadamard). Soit de classe . On suppose différentiable en avec et . Alors, , est .

Théorèmes fondamentaux

Inversion locale

Définition 27. Soit . On dit que est un difféomorphisme de classe de sur si et sont bijectives et de classe respectivement sur et .

Exemple 28. est un homéomorphisme de sur , de classe , mais n’est pas un difféomorphisme.

Théorème 29 (Inversion locale). Soit de classe . On suppose qu’il existe tel que est inversible.

Alors, il existe voisinage de et voisinage de tels que soit un difféomorphisme de classe de sur .

Remarque 30. Si , est inversible si et seulement si le jacobien de en , , est non nul.

Corollaire 31. Soit de classe . On suppose que pour tout , est inversible. Alors est une application ouverte.

Exemple 32. L’application de dans définie par est un difféomorphisme de classe en tout point de .

Application 33. Soit un difféomorphisme de classe . Alors, est mesurable et tout fonction appartient à si et seulement si appartient à . Dans ce cas,

Exemple 34. En passant en coordonnées polaires,

Application 35. Soient et un entier. Alors, si est suffisamment proche de l’identité , est une racine -ième (ie. telle que ).

Lemme 36.

  1. Soit . Alors .

  2. est différentiable en et .

  3. Soit . Alors .

Théorème 37. est surjective.

Application 38. , où désigne les carrés de .

Fonctions implicites

Définition 39. Soient des espaces de Banach, un ouvert où et . Soit . Alors, pour tout , est définie sur un voisinage de dans . Si elle est différentiable en , on dit que admet une différentielle partielle d’indice en , et on note celle-ci .

Remarque 40. En reprenant les notations précédentes :

  • Si pour tout , et , alors .

  • Si est différentiable en , alors pour tout , existe et

Théorème 41 (des fonctions implicites). Soient et sont des ouvertes. Soit de classe . On suppose qu’il existe tel que est un isomorphisme. Alors, il existe :

  • Un voisinage ouvert de dans .

  • Un voisinage ouvert de .

  • Un voisinage ouvert de dans .

  • Une fonction de classe .

Vérifiant : En particulier,

Remarque 42. Avec les notations précédentes, si , on peut choisir n’importe quelle variable pour obtenir

Remarque 43. La signification de ce théorème est que la surface définie implicitement par l’équation peut, au moins localement, être vue comme le graphe d’une fonction .

Proposition 44. Avec les notations précédentes, la différentielle de la fonction implicite est donnée par :

Exemple 45. Pour l’équation , on a . On exclue les points où . En prenant et pour points de départ, on a deux fonctions implicites qui correspondent aux demi-cercles supérieur et inférieur :

  • .

  • .

De plus, en dérivant par rapport à : et, .

Application aux fonctions à valeurs dans

Gradient, hessienne

Soit une application différentiable en un point de .

Définition 46. est une forme linéaire, et le théorème de représentation de Riesz donne l’existence d’un unique vecteur de tel que Le vecteur s’appelle gradient de , et est noté .

Proposition 47. existe pour tout et, est la base canonique de .

On suppose pour la suite de classe .

Définition 48. La matrice hessienne de en , notée , est définie par

Remarque 49. Pour de classe , est symétrique.

Théorème 50. On suppose ( est un point critique de ). Alors :

  1. Si admet un minimum (resp. maximum) relatif en , est positive (resp. négative).

  2. Si définit une forme quadratique définie positive (resp. définie négative), admet un minimum (resp. maximum) relatif en .

Exemple 51. On suppose . On pose . Alors :

  1. Si (resp. ), admet une minimum (resp. maximum) relatif en .

  2. Si (resp. ), n’a pas d’extremum en .

  3. Si , on ne peut rien conclure.

Exemple 52. La fonction a trois points critiques qui sont des minimum locaux : , et .

Contre-exemple 53. a sa hessienne positive en , mais n’a pas d’extremum en .

Homéomorphismes

Lemme 54. Soit inversible. Alors il existe un voisinage de dans et une application de classe telle que

Lemme 55 (Morse). Soit une fonction de classe (où désigne un ouvert de contenant l’origine). On suppose :

  • .

  • La matrice symétrique est inversible.

  • La signature de est .

Alors il existe un difféomorphisme de classe entre deux voisinage de l’origine de et tel que et

Exemple 56. On considère . La courbe d’équation est (au changement près du nom des coordonnées) une projection de l’intersection d’un cylindre et d’une sphère tangents. On a avec et .

Optimisation

Théorème 57 (Extrema liés). Soit un ouvert de et soient des fonctions de classe . On note . Si admet un extremum relatif en et si les formes linéaires sont linéairement indépendantes, alors il existe des uniques tels que

Définition 58. Les du théorème précédent sont appelés appelés multiplicateurs de Lagrange.

Remarque 59. La relation finale du Théorème 57 équivaut à et elle exprime que est nulle sur l’espace tangent à en (ie. est orthogonal à l’espace tangent à en ).

Contre-exemple 60. On pose et on considère . On cherche à minimiser sous la contrainte .

Alors, le minimum (global) de sous cette contrainte est atteint en , la différentielle de en est nulle et la relation finale du Théorème 57 n’est pas vraie.

Application 61 (Théorème spectral). Tout endomorphisme symétrique d’un espace euclidien se diagonalise dans une base orthonormée.

Application 62. (ie. est l’ensemble des matrices de qui minimisent la norme euclidienne canonique de ).

Application 63 (Inégalité arithmético-géométrique).

Application 64 (Inégalité d’Hadamard). avec égalité si et seulement si est une base orthogonale de .

Annexes

tikzpicture-1
Inversion locale
tikzpicture-2
Fonctions implicites