215 Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^{n}$ . Exemples et applications.

Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^{n}$ . Exemples et applications.

analysis

Sauf mention contraire, nous travaillerons sur l’espace vectoriel normé $R^{n}$ pour $n \geq 1$ . Soient $F$ un espace vectoriel normé sur $R$ et $U \subseteq R^{n}$ un ouvert.

Généralisation de la notion de dérivée

Différentielle

[GOU20]
p. 323

Définition 1. Soit $(E, ∥.∥)$ un espace vectoriel normé sur $R$ . Soient $U \subseteq E$ ouvert et $f : U \to F$ une application de $U$ dans $F$ . $f$ est dite différentiable en un point $a$ de $U$ s’il existe $ℓ_{a} \in L (E, F)$ telle que $f (a + h) = f (a) + ℓ_{a} (h) + o (∥ h ∥) quand h ⟶ 0$ Si $ℓ_{a}$ existe, alors elle est unique et on la note $d f_{a}$ : c’est la différentielle de $f$ en $a$ .

Remarque 2.

En dimension quelconque $d f_{a}$ dépend a priori des normes choisies sur $E$ et $F$ . Cependant, en dimension finie, l’équivalence des normes implique que l’existence et la valeur de $d f_{a}$ ne dépend pas des normes choisies.
La définition demande à $ℓ_{a}$ d’être continue. En dimension finie, le problème ne se pose donc pas.
Une fonction réelle est différentiable en $a$ si et seulement si elle est dérivable en $a$ . Dans ce cas, on a $d f_{a} : h \mapsto f^{'} (a) h$ .

Exemple 3. Si $f$ est linéaire et continue, alors $d f_{a} = f$ pour tout $a \in E$ .

Proposition 4. Une fonction différentiable en un point et continue en ce point.

Proposition 5. Soit $V \subseteq F$ un ouvert. Soit $f : U \to F$ différentiable en un point $a$ de $U$ .

$\forall λ \in R$ , $λ f$ est différentiable en $a$ , et $d (λ f)_{a} = λ d f_{a}$ .
Si $g : U \to F$ est différentiable en $a$ , alors $f + g$ l’est aussi, et $d (f + g)_{a} = d f_{a} + d g_{a}$ .
Soit $g : V \to G$ . On suppose $f (U) \subseteq V$ et $g$ différentiable en $f (a)$ . Alors $g \circ f$ est différentiable en $a$ et, $d (f \circ g)_{a} = d g_{f (a)} \circ d f_{a}$ .

Dérivée selon un vecteur

p. 324

Définition 6. Soit $a \in U$ .

Soit $v \in R^{n}$ . Si la fonction de la variable réelle $φ : t \mapsto f (a + t v)$ est dérivable en $0$ , on dit que $f$ est dérivable en $a$ selon le vecteur $v$ . On note alors $f_{v}^{'} (a) = φ^{'} (0)$
Soit $(e_{1}, \dots, e_{n})$ la base canonique de $R^{n}$ et soit $i \in [[1, n]]$ . On dit que $f$ admet une $i$ -ième dérivée partielle en $a$ si $f$ est dérivable en $a$ selon le vecteur $e_{i}$ . On note alors $\frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a) = f_{e_{i}}^{'} (a)$

Remarque 7. Soient $i \in [[1, n]]$ et $a = (a_{1}, \dots, a_{n}) \in R^{n}$ . La dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a)$ est aussi la dérivée de l’application partielle $t \mapsto f (a_{1}, \dots, a_{i - 1}, a_{i} + t, a_{i + 1}, \dots, a_{n})$ en $t = 0$ .

Proposition 8. Une fonction différentiable en un point est dérivable selon tout vecteur en ce point.

p. 329

Contre-exemple 9. La fonction $R^{2} (x, y) \to \mapsto R {\frac{y ^{2}}{x} y si x \neq = 0 sinon$ est dérivable selon tout vecteur au point $(0, 0)$ mais n’est pas continue en $(0, 0)$ .

p. 325

Théorème 10. Si toutes les dérivées partielles de $f$ existent et si elles sont continues en un point $a$ de $U$ , alors $f$ est différentiable en $a$ et on a $d f_{a} = i = 1 \sum n \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a) e_{i}^{*}$ où $(e_{i}^{*})_{i \in [[1, n]]}$ est la base duale de la base canonique $(e_{i})_{i \in [[1, n]]}$ de $R^{n}$ .

Contre-exemple 11. La fonction $f : R (x, y) \to \mapsto R {x^{2} sin (\frac{1}{x}) 0 si x \neq = 0 sinon$ est différentiable en $0$ , mais $f^{'}$ n’est pas continue en $0$ .

p. 327

Corollaire 12. Soit $f : U \to R^{m}$ différentiable en un point $a \in R^{n}$ . On note par $f_{i}$ la $i$ -ième coordonnée de $f$ $\forall i \in [[1, m]]$ . Alors la matrice de l’application linéaire $d f_{a}$ dans les bases canoniques de $R^{n}$ et $R^{m}$ est $Jac (f)_{a} = (\frac{\partial f _{i}}{\partial x _{j}})_{i \in [[1, m]] j \in [[1, n]]}$

Définition 13. Soit $f : U \to R^{m}$ différentiable en un point $a \in R^{n}$ . La matrice $Jac (f)_{a}$ est la jacobienne de $f$ en $a$ . Son déterminant est le jacobien de $f$ en $a$ .

p. 354

Exemple 14. Soit $f : (r, θ) \mapsto (r cos (θ), r sin (θ))$ , alors $det (Jac (f)_{(r, θ)}) = r$ .

p. 327

Théorème 15 (Inégalité des accroissements finis). Soit $f : U \to F$ continue sur un segment $[a, b] \subseteq U$ et différentiable sur $] a, b [$ . On suppose qu’il existe $M > 0$ tel que $∣∣∣ f f_{c} ∣∣∣ \leq M$ pour tout $c \in] a, b [$ . Alors, $∥ f (b) - f (a) ∥ \leq M ∥ b - a ∥ (*)$

Corollaire 16. En reprenant les notations du théorème précédent :

Si $U$ est convexe, si $f$ est différentiable sur $U$ et si $∣∣∣ d f_{c} ∣∣∣ \leq M$ pour tout $c \in U$ , alors l’inégalité $(*)$ précédente est vraie pour tout $a, b \in U$ .
Si $U$ est un ouvert connexe et $d f_{c} = 0$ pour tout $c \in U$ , alors $f$ est constante.

Différentielle itérée

Définition 17. Soit $f : U \to F$ . Sous réserve d’existence, on peut définir par récurrence sur $p$ une dérivée partielle d’ordre $p$ par la relation $\frac{\partial ^{p}}{\partial x _{i_{p}} \dots \partial x _{i_{1}}} f = \frac{\partial}{\partial x _{i_{p}}} (\frac{\partial ^{p - 1}}{\partial x _{i_{p - 1}} \dots \partial x _{i_{1}}} f)$ $f$ est alors dite de classe $C^{p}$ si toutes ses dérivées partielles jusqu’à l’ordre $p$ existent et sont continues sur $U$ .

p. 79

Exemple 18. La fonction $x \mapsto {e^{- \frac{1}{x}} si x > 0 0 sinon$ est $C^{\infty}$ .

p. 326

Théorème 19 (Schwarz). On se place dans la cas $n = 2$ . Soit $f : U \to R$ qui admet des dérivées partielles sur $U$ , continues en $a \in U$ . Alors : $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} (a) = \frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} (a)$

Corollaire 20. Soit $f : U \to R^{m}$ de classe $C^{p}$ . Alors les dérivées partielles jusqu’à l’ordre $p$ ne dépendant pas de l’ordre de dérivation.

Notation 21. Soient $f : U \to R^{m}$ de classe $C^{k}$ sur $U$ et $n \in [[1, k]]$ . Par analogie avec $\forall (a_{1}, \dots, a_{m}) \in R^{m}, (a_{1} + \dots + a_{m})^{n} = i_{1} + \dots + i_{m} = n \sum \frac{n !}{i _{1} ! \dots i _{m} !} a_{1}^{i_{1}} \dots a_{m}^{i_{m}}$ on note $(i = 1 \sum m h_{i} \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a))^{(n)} = i_{1} + \dots + i_{m} = n \sum \frac{n !}{i _{1} ! \dots i _{m} !} h_{1}^{i_{1}} \dots h_{m}^{i_{m}} \frac{\partial ^{n}}{\partial x _{1}^{i_{1}} \dots \partial x _{m}^{i_{m}}} f (a)$

Théorème 22 (Formule de Taylor-Lagrange). Soient $f : U \to R$ de classe $C^{p}$ sur $U$ , $x \in R^{n}$ , $h = (h_{1}, \dots, h_{n}) \in R^{n}$ tels que $[x, x + h] \subseteq U$ . Alors, $\exists θ \in] 0, 1 [$ tel que $f (x + h) = j = 0 \sum p - 1 \frac{1}{i !} (i = 1 \sum n h_{i} \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (x))^{(j)} + \frac{1}{p !} (i = 1 \sum n h_{i} \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (x + θ h))^{(p)}$

Exemple 23. Pour $f : R^{2} \to R$ de classe $C^{2}$ , pour $(h, k) \in R^{2}$ , il existe $θ \in] 0, 1 [$ tel que $f (h, k) = f (0, 0) + h \frac{\partial f}{\partial x} (0, 0) + k \frac{\partial f}{\partial y} (0, 0) + \frac{1}{2} (h^{2} \frac{\partial ^{2} f}{\partial ^{2} x} f (θ h, θ k) + hk \frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} f (θ h, θ k) + k^{2} \frac{\partial ^{2} f}{\partial ^{2} y} f (θ h, θ k)) + o (∥ (h, k) ∥^{2})$

Théorème 24 (Formule de Taylor avec reste intégral). Soient $f : U \to R^{p}$ de classe $C^{k}$ sur $U$ , $x \in R^{n}$ , $h = (h_{1}, \dots, h_{n}) \in R^{n}$ tels que $[x, x + h] \subseteq U$ . Alors, $f (x + h) = j = 0 \sum k - 1 \frac{1}{i !} (i = 1 \sum n h_{i} \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (x))^{(j)} + \int_{0}^{1} \frac{( 1 - t ) ^{k - 1}}{( k - 1 )!} (i = 1 \sum n h_{i} \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (x + t h))^{(k)} d t$

Théorème 25 (Formule de Taylor-Young). Soient $f : U \to R^{p}$ de classe $C^{k}$ sur $U$ , $x \in R^{n}$ , $h = (h_{1}, \dots, h_{n}) \in R^{n}$ tels que $[x, x + h] \subseteq U$ . Alors, $f (x + h) = j = 0 \sum k \frac{1}{i !} (i = 1 \sum n h_{i} \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (x))^{(j)} + o (∥ h ∥^{k})$

Application 26 (Lemme d’Hadamard). Soit $f : R^{n} \to R$ de classe $C^{\infty}$ . On suppose $f$ différentiable en $0$ avec $d f_{0} = 0$ et $f (0) = 0$ . Alors, $f (x_{1}, \dots, x_{n}) = i, j = 1 \sum n x_{i} x_{j} h_{i, j} (x_{1}, \dots, x_{n})$ où $\forall i, j \in [[1, n]]$ , $h_{i, j} : R^{n} \to R$ est $C^{\infty}$ .

Théorèmes fondamentaux

Inversion locale

[ROU]
p. 54

Définition 27. Soit $f : U \to F$ . On dit que $f$ est un difféomorphisme de classe $C^{k}$ de $U$ sur $V = f (U)$ si $f$ et $f^{- 1}$ sont bijectives et de classe $C^{k}$ respectivement sur $U$ et $V$ .

Exemple 28. $x \mapsto x^{3}$ est un homéomorphisme de $R$ sur $R$ , de classe $C^{1}$ , mais n’est pas un difféomorphisme.

[GOU20]
p. 341

Théorème 29 (Inversion locale). Soit $f : U \to F$ de classe $C^{1}$ . On suppose qu’il existe $a \in U$ tel que $d f_{a}$ est inversible.

Alors, il existe $V$ voisinage de $a$ et $W$ voisinage de $f (a)$ tels que $f_{∣ V}$ soit un difféomorphisme de classe $C^{1}$ de $V$ sur $W$ .

Remarque 30. Si $F = R^{n}$ , $d f_{a}$ est inversible si et seulement si le jacobien de $f$ en $a$ , $det Jac (f)_{a}$ , est non nul.

Corollaire 31. Soit $f : U \to R^{q}$ de classe $C^{1}$ . On suppose que pour tout $a \in U$ , $d f_{a}$ est inversible. Alors $f$ est une application ouverte.

p. 347

Exemple 32. L’application de $R^{2}$ dans $R^{2}$ définie par $(x, y) \mapsto (x^{2} - y^{2}, x y)$ est un difféomorphisme de classe $C^{\infty}$ en tout point de $R^{2} ∖ (0, 0)$ .

[BMP]
p. 9

Application 33. Soit $φ : U \to R^{n}$ un difféomorphisme de classe $C^{1}$ . Alors, $V = φ (U)$ est mesurable et tout fonction $f$ appartient à $L_{1}$ si et seulement si $∣ det Jac (φ)_{a} ∣ f \circ φ$ appartient à $L_{1}$ . Dans ce cas, $\int_{V} f (x) d x = \int_{U} ∣ det Jac (φ)_{a} ∣ f (φ (y)) d y$

[GOU20]
p. 355

Exemple 34. En passant en coordonnées polaires, $\int_{R} e^{- x^{2}} d x = π$

[BMP]
p. 9

Application 35. Soient $A \in M_{n} (R)$ et $k$ un entier. Alors, si $A$ est suffisamment proche de l’identité $I_{n}$ , $A$ est une racine $k$ -ième (ie. $\exists B \in M_{n} (R)$ telle que $B^{k} = A$ ).

[I-P]
p. 396

Lemme 36.

Soit $A \in M_{n} (C)$ . Alors $exp (A) \in GL_{n} (C)$ .
$exp$ est différentiable en $0$ et $d exp_{0} = id_{M_{n} (C)}$ .
Soit $M \in GL_{n} (C)$ . Alors $M^{- 1} \in C [M]$ .

surjectivite-de-l-exponentielle

Théorème 37. $exp : M_{n} (C) \to GL_{n} (C)$ est surjective.

Application 38. $exp (M_{n} (R)) = GL_{n} (R)^{2}$ , où $GL_{n} (R)^{2}$ désigne les carrés de $GL_{n} (R)$ .

Fonctions implicites

[GOU20]
p. 344

Définition 39. Soient $E_{1}, \dots, E_{n}, F$ des espaces de Banach, $Ω \subseteq E$ un ouvert où $E = E_{1} \times \dots \times E_{n}$ et $a = (a_{1}, \dots, a_{n}) \in E$ . Soit $f : Ω \to F$ . Alors, pour tout $i \in [[1, n]]$ , $f_{i} : x \mapsto f (a_{1}, \dots, a_{i - 1}, x, a_{i + 1}, \dots, a_{n})$ est définie sur un voisinage de $a_{i}$ dans $E_{i}$ . Si elle est différentiable en $a_{i}$ , on dit que $f$ admet une différentielle partielle d’indice $i$ en $a$ , et on note celle-ci $\partial_{i} f_{a}$ .

Remarque 40. En reprenant les notations précédentes :

Si pour tout $i \in [[1, n]]$ , $E_{i} = R$ et $F = E = R^{n}$ , alors $\partial_{i} f_{a} = h \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a)$ .
Si $f$ est différentiable en $a$ , alors pour tout $i \in [[1, n]]$ , $\partial_{i} f_{a}$ existe et $\forall h = (h_{1}, \dots, h_{n}) \in E, d f_{a} (h) = i = 1 \sum n \partial_{i} f_{a} (h_{i})$

Théorème 41 (des fonctions implicites). Soient $U \times V \subseteq R^{n} \times R^{m}$ où $U$ et $V$ sont des ouvertes. Soit $f : U \times V \to F$ de classe $C^{1}$ . On suppose qu’il existe $(a, b) \in U \times V$ tel que $f (a, b) = 0$ et $\partial_{2} f_{(a, b)} : R^{m} \to F$ est un isomorphisme. Alors, il existe :

Un voisinage ouvert $U_{0}$ de $a$ dans $U$ .
Un voisinage ouvert $W$ de $f (a, b)$ .
Un voisinage ouvert $Ω$ de $(a, b)$ dans $U \times V$ .
Une fonction $φ : U_{0} \times W \to V$ de classe $C^{1}$ .

Vérifiant : $\forall x \in U_{0}, \forall z \in W, \exists! y \in V tel que f (x, y) = z avec (x, y) \in Ω et y = φ (x, z)$ En particulier, $\forall (x, z) \in U_{0} \times W, f (x, φ (x, z)) = z$

[BMP]
p. 11

Remarque 42. Avec les notations précédentes, si $E = F = R$ , on peut choisir n’importe quelle variable pour obtenir $y = φ (x) si \frac{\partial f}{\partial y} (a, b) \neq = 0 ou x = φ (y) si \frac{\partial f}{\partial y} (a, b) \neq = 0$

[ROU]
p. 193

Remarque 43. La signification de ce théorème est que la surface définie implicitement par l’équation $f (x, y) = 0$ peut, au moins localement, être vue comme le graphe d’une fonction $φ$ .

Proposition 44. Avec les notations précédentes, la différentielle de la fonction implicite $φ$ est donnée par : $d φ_{x} = - (\partial_{2} f_{(x, φ (x)}))^{- 1} \circ (\partial_{1} f_{(x, φ (x))})$

Exemple 45. Pour l’équation $x^{2} + y^{2} - 1 = 0$ , on a $\partial_{2} f_{(x, y)} = 2 y$ . On exclue les points où $y = 0$ . En prenant $(0, 1)$ et $(0, - 1)$ pour points de départ, on a deux fonctions implicites qui correspondent aux demi-cercles supérieur et inférieur :

$y = φ_{1} (x) = 1 - x^{2}$ .
$y = φ_{2} (x) = - 1 - x^{2}$ .

De plus, en dérivant par rapport à $x$ : $2 x + 2 y y^{'} = 0$ et, $y^{'} = φ_{1}^{'} (x) = \frac{- x}{y}$ .

Application aux fonctions à valeurs dans $R$

Gradient, hessienne

[GOU20]
p. 324

Soit $f : U \to R$ une application différentiable en un point $a$ de $U$ .

Définition 46. $d f_{a}$ est une forme linéaire, et le théorème de représentation de Riesz donne l’existence d’un unique vecteur $v$ de $R^{n}$ tel que $\forall h \in R^{n}, d f_{a} (h) = ⟨ v, h ⟩$ Le vecteur $v$ s’appelle gradient de $f$ , et est noté $\nabla f_{a}$ .

Proposition 47. $\frac{\partial f}{\partial x _{i}}$ existe pour tout $i \in [[1, n]]$ et, $\nabla f_{a} = i = 1 \sum n \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a) e_{i}$ où $(e_{1}, \dots, e_{n})$ est la base canonique de $R^{n}$ .

p. 336

On suppose pour la suite $f$ de classe $C^{2}$ .

Définition 48. La matrice hessienne de $f$ en $a$ , notée $Hess (f)_{a}$ , est définie par $Hess (f)_{a} = (\frac{\partial ^{2} f}{\partial x _{i} \partial x _{j}})_{i, j \in [[1, n]]}$

Remarque 49. Pour $f$ de classe $C^{2}$ , $Hess (f)_{a}$ est symétrique.

Théorème 50. On suppose $d f_{a} = 0$ ( $a$ est un point critique de $f$ ). Alors :

Si $f$ admet un minimum (resp. maximum) relatif en $a$ , $Hess (f)_{a}$ est positive (resp. négative).
Si $Hess (f)_{a}$ définit une forme quadratique définie positive (resp. définie négative), $f$ admet un minimum (resp. maximum) relatif en $a$ .

Exemple 51. On suppose $d f_{a} = 0$ . On pose $(r, s, t) = (\frac{\partial ^{2}}{\partial x _{i} \partial x _{j}} f)_{i + j = 2}$ . Alors :

Si $r t - s^{2} > 0$ et $r > 0$ (resp. $r < 0$ ), $f$ admet une minimum (resp. maximum) relatif en $a$ .
Si $r t - s^{2} < 0$ , $f$ n’a pas d’extremum en $a$ .
Si $r t - s^{2} = 0$ , on ne peut rien conclure.

Exemple 52. La fonction $(x, y) \mapsto x^{4} + y^{2} - 2 (x - y)^{2}$ a trois points critiques qui sont des minimum locaux : $(0, 0)$ , $(2, - 2)$ et $(- 2, 2)$ .

Contre-exemple 53. $x \mapsto x^{3}$ a sa hessienne positive en $0$ , mais n’a pas d’extremum en $0$ .

Homéomorphismes

[ROU]
p. 209

Lemme 54. Soit $A_{0} \in S_{n} (R)$ inversible. Alors il existe un voisinage $V$ de $A_{0}$ dans $S_{n} (R)$ et une application $ψ : V \to GL_{n} (R)$ de classe $C^{1}$ telle que $\forall A \in V, A = (^{t} ψ (A) A_{0} ψ (A)$

p. 354

lemme-de-morse

Lemme 55 (Morse). Soit $f : U \to R$ une fonction de classe $C^{3}$ (où $U$ désigne un ouvert de $R^{n}$ contenant l’origine). On suppose :

$d f_{0} = 0$ .
La matrice symétrique $H (f)_{0}$ est inversible.
La signature de $H (f)_{0}$ est $(p, n - p)$ .

Alors il existe un difféomorphisme $ϕ = (ϕ_{1}, \dots, ϕ_{n})$ de classe $C^{1}$ entre deux voisinage de l’origine de $R^{n}$ $V \subseteq U$ et $W$ tel que $φ (0) = 0$ et $\forall x \in U, f (x) - f (0) = k = 1 \sum p ϕ_{k}^{2} (x) - k = p + 1 \sum n ϕ_{k}^{2} (x)$

p. 334

Exemple 56. On considère $f : (x, y) \mapsto x^{2} - y^{2} + \frac{y ^{4}}{4}$ . La courbe d’équation $f (x, y) = 0$ est (au changement près du nom des coordonnées) une projection de l’intersection d’un cylindre et d’une sphère tangents. On a $f = u^{2} - v^{2}$ avec $u : (x, y) \mapsto x$ et $v : (x, y) \mapsto y 1 - \frac{y ^{2}}{4}$ .

Optimisation

[GOU20]
p. 337

Théorème 57 (Extrema liés). Soit $U$ un ouvert de $R^{n}$ et soient $f, g_{1}, \dots, g_{r} : U \to R$ des fonctions de classe $C^{1}$ . On note $Γ = {x \in U ∣ g_{1} (x) = \dots = g_{r} (x) = 0}$ . Si $f_{∣Γ}$ admet un extremum relatif en $a \in Γ$ et si les formes linéaires $d (g_{1})_{a}, \dots, d (g_{r})_{a}$ sont linéairement indépendantes, alors il existe des uniques $λ_{1}, \dots, λ_{r}$ tels que $d f_{a} = λ_{1} d (g_{1})_{a} + \dots + λ_{r} d (g_{r})_{a}$

Définition 58. Les $λ_{1}, \dots, λ_{r}$ du théorème précédent sont appelés appelés multiplicateurs de Lagrange.

[BMP]
p. 21

Remarque 59. La relation finale du Théorème 57 équivaut à $i = 1 ⋂ n Ker (d (g_{i})_{a}) \subseteq Ker (d f_{a})$ et elle exprime que $d f_{a}$ est nulle sur l’espace tangent à $Γ$ en $a$ (ie. $\nabla f_{a}$ est orthogonal à l’espace tangent à $Γ$ en $a$ ).

Contre-exemple 60. On pose $g : (x, y) \mapsto x^{3} - y^{2}$ et on considère $f : (x, y) \mapsto x + y^{2}$ . On cherche à minimiser $f$ sous la contrainte $g (x, y) = 0$ .

Alors, le minimum (global) de $f$ sous cette contrainte est atteint en $(0, 0)$ , la différentielle de $g$ en $(0, 0)$ est nulle et la relation finale du Théorème 57 n’est pas vraie.

Application 61 (Théorème spectral). Tout endomorphisme symétrique d’un espace euclidien se diagonalise dans une base orthonormée.

p. 35

Application 62. $SO_{n} (R) = {M \in M_{n} (R) ∣ ∥ M ∥^{2} = P \in SL_{n} (R) in f ∥ P ∥^{2}}$ où $∥.∥ : M \mapsto trace ((^{t} MM)$ (ie. $SO_{n} (R)$ est l’ensemble des matrices de $SL_{n} (R)$ qui minimisent la norme euclidienne canonique de $M_{n} (R)$ ).

[GOU20]
p. 339

Application 63 (Inégalité arithmético-géométrique). $\forall (x_{1}, \dots, x_{n}) \in (R^{+})^{n}, (i = 1 \prod n x_{i})^{\frac{1}{n}} \leq \frac{1}{n} i = 1 \sum n x_{i}$

[ROU]
p. 409

Application 64 (Inégalité d’Hadamard). $\forall (x_{1}, \dots, x_{n}) \in R^{n}, det (x_{1}, \dots, x_{n}) \leq ∥ x_{1} ∥ \dots ∥ x_{n} ∥$ avec égalité si et seulement si $(x_{1}, \dots, x_{n})$ est une base orthogonale de $R^{n}$ .