218 Formules de Taylor. Exemples et applications.

Formules de Taylor. Exemples et applications.

analysis

Énoncés des formules de Taylor

En dimension

Dans cette partie, désigne un segment de non réduit à un point et un espace de Banach sur . Soit une application.

Dans un premier temps, supposons .

Théorème 1 (Rolle). On suppose continue sur , dérivable sur et telle que . Alors,

Théorème 2 (Formule de Taylor-Lagrange). On suppose de classe sur telle que existe sur . Alors,

Application 3.

  • .

  • .

  • .

On ne suppose plus . Le Théorème 1 n’est plus forcément vrai, mais on a tout de même le résultat suivant.

Théorème 4 (Inégalité des accroissements finis). Soit . On suppose et continues sur et dérivables sur . Si pour tout on a . Alors,

Corollaire 5 (Inégalité de Taylor-Lagrange). On suppose de classe sur telle que existe sur . On suppose qu’il existe tel que . Alors,

Théorème 6 (Formule de Taylor-Young). On suppose de classe sur telle que existe pour . Alors, quand , on a

Application 7 (Théorème de Darboux). On suppose dérivable sur . Alors est un intervalle.

Théorème 8 (Formule de Taylor avec reste intégral). On suppose de classe sur . Alors,

En dimension supérieure

Soit un ouvert.

Notation 9. Soient de classe sur et . Par analogie avec on note

Théorème 10 (Formule de Taylor-Lagrange). Soient de classe sur , , tels que . Alors, tel que

Exemple 11. Pour de classe , pour , il existe tel que

Théorème 12 (Formule de Taylor avec reste intégral). Soient de classe sur , , tels que . Alors,

Théorème 13 (Formule de Taylor-Young). Soient de classe sur , , tels que . Alors,

Application 14 (Lemme d’Hadamard). Soit de classe . On suppose différentiable en avec et . Alors, , est .

Applications en analyse réelle

Dans cette partie, désigne un intervalle de non réduit à un point et un espace de Banach sur . Soit une application.

Étude asymptotique de fonctions

On suppose .

Définition 15. On dit que admet un développement limité à l’ordre s’il existe tels que, au voisinage de ,

Remarque 16. On pourrait de même définir les développements limités au voisinage d’un point .

Proposition 17.

  1. Un développement limité, s’il existe, est unique.

  2. Si admet un développement limité en à l’ordre , est dérivable en et sa dérivée en vaut .

  3. Si est paire (resp. impaire), les coefficients du développement limité d’indice impair (resp. pair) sont nuls.

  4. Si est fois dérivable en , admet un développement limité en : .

  5. Si est dérivable sur et admet un développement limité en : ; alors, admet un développement limité en donné par .

  6. Les règles de somme, produit, quotient et composition obéissent aux mêmes règles que pour les polynômes (sous réserve de bonne définition).

On déduit du Théorème 6 le résultat suivant.

Proposition 18. Si est fois dérivable en , alors admet un développement limité à l’ordre en :

Exemple 19. En , on a les développements limités usuels suivants.

  • .

  • .

  • .

  • .

  • .

  • Pour tout , .

Application 20.

Application 21 (Développement asymptotique de la série harmonique). On note . Alors, quand tend vers ,

Développements en série entière

Définition 22. Soient un ouvert et . On dit que est développable en série entière en s’il existe et tels que et

Exemple 23. Soit . Alors,

Nous nous limiterons ici aux fonctions réelles.

Proposition 24. Soit un intervalle contenant un voisinage de . Une fonction de classe est développable en série entière si et seulement s’il existe tel que la suite de fonctions définie par tende simplement vers sur . La série entière a alors un rayon de convergence supérieur ou égal à et est égale à la somme de cette série entière sur .

Remarque 25. Dans la pratique, pour montrer que le précédent tend simplement vers , on peut l’exprimer comme un reste de Taylor (Lagrange ou intégral).

Exemple 26. On a les développements en série entière usuels suivants.

  • Pour tout , .

  • Pour tout , .

  • Pour tout , .

  • Pour tout , .

  • Pour tout , .

  • Pour tout , Pour tout , .

Contre-exemple 27. La fonction est , vérifie pour tout entier , mais ne coïncide pas avec la somme de sur pour tout .

Contre-exemple 28. On considère fonction définie sur par Alors est , vérifie pour tout entier , et a un rayon de convergence nul.

Théorème 29 (Bernstein). Soient et de classe . On suppose les dérivées de positives sur . Alors est développable en série entière sur .

Méthode de Newton

Théorème 30 (Méthode de Newton). Soit une fonction de classe strictement croissante sur . On considère la fonction (qui est bien définie car ). Alors :

  1. tel que .

  2. tel que est stable par .

  3. La suite des itérés (définie par récurrence par pour tout ) converge quadratiquement vers pour tout .

Corollaire 31. En reprenant les hypothèses et notations du théorème précédent, et en supposant de plus strictement convexe sur , le résultat du théorème est vrai sur . De plus :

  1. est strictement décroissante (ou constante).

  2. pour .

Exemple 32.

  • On fixe . En itérant la fonction pour un nombre de départ compris entre et et , on peut obtenir une approximation du nombre .

  • En itérant la fonction pour un nombre de départ supérieur à , on peut obtenir une approximation du nombre d’or .

Majoration d’une erreur d’approximation

Soit une fonction réelle continue sur un intervalle . On se donne points distincts deux-à-deux.

Définition 33. Pour , on définit le -ième polynôme de Lagrange associé à par

Théorème 34. Il existe une unique fonction polynômiale de degré telle que :

Théorème 35. On note et on suppose fois dérivable . Alors, pour tout , il existe un réel tel que

Corollaire 36.

Application 37 (Calculs approchés d’intégrales). On note . L’objectif est d’approximer par une expression et de majorer l’erreur d’approximation .

  1. Méthode des rectangles. On suppose continue. Avec , on a .

  2. Méthode du point milieu. On suppose de classe . Avec , on a .

  3. Méthode des trapèzes. On suppose de classe . Avec , on a .

  4. Méthode de Simpson. On suppose de classe . Avec , on a .

Application aux fonctions de plusieurs variables

Soit un ouvert.

Homéomorphismes

Lemme 38. Soit inversible. Alors il existe un voisinage de dans et une application de classe telle que

Lemme 39 (Morse). Soit une fonction de classe (où désigne un ouvert de contenant l’origine). On suppose :

  • .

  • La matrice symétrique est inversible.

  • La signature de est .

Alors il existe un difféomorphisme de classe entre deux voisinage de l’origine de et tel que et

Exemple 40. On considère . La courbe d’équation est (au changement près du nom des coordonnées) une projection de l’intersection d’un cylindre et d’une sphère tangents. On a avec et .

Conditions d’extrema

Soit de classe sur .

Théorème 41. On suppose ( est un point critique de ). Alors :

  1. Si admet un minimum (resp. maximum) relatif en , est positive (resp. négative).

  2. Si définit une forme quadratique définie positive (resp. définie négative), admet un minimum (resp. maximum) relatif en .

Exemple 42. On suppose . On pose . Alors :

  1. Si (resp. ), admet une minimum (resp. maximum) relatif en .

  2. Si (resp. ), n’a pas d’extremum en .

  3. Si , on ne peut rien conclure.

Exemple 43. La fonction a trois points critiques qui sont des minimum locaux : , et .

Contre-exemple 44. a sa hessienne positive en , mais n’a pas d’extremum en .

Application en probabilités

Théorème 45 (Lévy). Soient une suite de variables aléatoires réelles et une variable aléatoire réelle. Alors : désigne la fonction caractéristique d’une variable aléatoire réelle .

Théorème 46 (Central limite). Soit une suite de variables aléatoires réelles indépendantes de même loi admettant un moment d’ordre . On note l’espérance et la variance commune à ces variables. On pose . Alors,

Application 47 (Théorème de Moivre-Laplace). On suppose que est une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi . Alors,

Application 48 (Formule de Stirling).