218 Formules de Taylor. Exemples et applications.

Formules de Taylor. Exemples et applications.

analysis

Énoncés des formules de Taylor

En dimension $1$

Dans cette partie, $I$ désigne un segment $[a, b]$ de $R$ non réduit à un point et $E$ un espace de Banach sur $R$ . Soit $f : I \to E$ une application.

Dans un premier temps, supposons $E = R$ .

Théorème 1 (Rolle). On suppose $f$ continue sur $[a, b]$ , dérivable sur $] a, b [$ et telle que $f (a) = f (b)$ . Alors, $\exists c \in] a, b [tel que f^{'} (c) = 0$

Théorème 2 (Formule de Taylor-Lagrange). On suppose $f$ de classe $C^{n}$ sur $[a, b]$ telle que $f^{(n + 1)}$ existe sur $] a, b [$ . Alors, $\exists c \in] a, b [tel que f (b) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (b - a)^{k} + \frac{f ^{(n + 1)} ( c )}{( n + 1 )!} (b - a)^{n + 1}$

Application 3.

$\forall x \in R^{+}, x - \frac{x ^{2}}{2} \leq ln (1 + x) \leq x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3}$ .
$\forall x \in R^{+}, x - \frac{x ^{3}}{6} \leq sin (x) \leq x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120}$ .
$\forall x \in R, 1 - \frac{x ^{2}}{2} \leq cos (x) \leq 1 - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{4}}{24}$ .

On ne suppose plus $E = R$ . Le Théorème 1 n’est plus forcément vrai, mais on a tout de même le résultat suivant.

Théorème 4 (Inégalité des accroissements finis). Soit $g : I \to R$ . On suppose $f$ et $g$ continues sur $[a, b]$ et dérivables sur $] a, b [$ . Si pour tout $t \in] a, b [$ on a $∥ f^{'} (t) ∥ \leq g^{'} (t)$ . Alors, $∥ f (b) - f (a) ∥ \leq (g (b) - g (a))$

Corollaire 5 (Inégalité de Taylor-Lagrange). On suppose $f$ de classe $C^{n}$ sur $[a, b]$ telle que $f^{(n + 1)}$ existe sur $] a, b [$ . On suppose qu’il existe $M > 0$ tel que $\forall t \in] a, b [, ∥ f^{(n + 1)} (t) ∥ \leq M$ . Alors, $f (b) - f (a) - k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (b - a)^{k} \leq M \frac{( b - a ) ^{n + 1}}{( n + 1 )!}$

Théorème 6 (Formule de Taylor-Young). On suppose $f$ de classe $C^{n}$ sur $I$ telle que $f^{(n + 1)} (x)$ existe pour $x \in I$ . Alors, quand $h ⟶ 0$ , on a $f (x + h) = k = 0 \sum n + 1 \frac{f ^{(k)} ( x )}{k !} h^{k} + o (h^{n + 1})$

p. 80

Application 7 (Théorème de Darboux). On suppose $f$ dérivable sur $I$ . Alors $f^{'} (I)$ est un intervalle.

p. 77

Théorème 8 (Formule de Taylor avec reste intégral). On suppose $f$ de classe $C^{n + 1}$ sur $I$ . Alors, $f (b) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (b - a)^{k} + \int_{a}^{b} \frac{( b - t ) ^{n}}{n !} f^{(n + 1)} (t) d t$

En dimension supérieure

p. 328

Soit $U \subseteq R^{n}$ un ouvert.

Notation 9. Soient $f : U \to R^{m}$ de classe $C^{k}$ sur $U$ et $n \in [[1, k]]$ . Par analogie avec $\forall (a_{1}, \dots, a_{m}) \in R^{m}, (a_{1} + \dots + a_{m})^{n} = i_{1} + \dots + i_{m} = n \sum \frac{n !}{i _{1} ! \dots i _{m} !} a_{1}^{i_{1}} \dots a_{m}^{i_{m}}$ on note $(i = 1 \sum m h_{i} \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a))^{(n)} = i_{1} + \dots + i_{m} = n \sum \frac{n !}{i _{1} ! \dots i _{m} !} h_{1}^{i_{1}} \dots h_{m}^{i_{m}} \frac{\partial ^{n}}{\partial x _{1}^{i_{1}} \dots \partial x _{m}^{i_{m}}} f (a)$

Théorème 10 (Formule de Taylor-Lagrange). Soient $f : U \to R$ de classe $C^{p}$ sur $U$ , $x \in R^{n}$ , $h = (h_{1}, \dots, h_{n}) \in R^{n}$ tels que $[x, x + h] \subseteq U$ . Alors, $\exists θ \in] 0, 1 [$ tel que $f (x + h) = j = 0 \sum p - 1 \frac{1}{i !} (i = 1 \sum n h_{i} \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (x))^{(j)} + \frac{1}{p !} (i = 1 \sum n h_{i} \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (x + θ h))^{(p)}$

Exemple 11. Pour $f : R^{2} \to R$ de classe $C^{2}$ , pour $(h, k) \in R^{2}$ , il existe $θ \in] 0, 1 [$ tel que $f (h, k) = f (0, 0) + h \frac{\partial f}{\partial x} (0, 0) + k \frac{\partial f}{\partial y} (0, 0) + \frac{1}{2} (h^{2} \frac{\partial ^{2} f}{\partial ^{2} x} f (θ h, θ k) + hk \frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} f (θ h, θ k) + k^{2} \frac{\partial ^{2} f}{\partial ^{2} y} f (θ h, θ k)) + o (∥ (h, k) ∥^{2})$

Théorème 12 (Formule de Taylor avec reste intégral). Soient $f : U \to R^{p}$ de classe $C^{k}$ sur $U$ , $x \in R^{n}$ , $h = (h_{1}, \dots, h_{n}) \in R^{n}$ tels que $[x, x + h] \subseteq U$ . Alors, $f (x + h) = j = 0 \sum k - 1 \frac{1}{i !} (i = 1 \sum n h_{i} \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (x))^{(j)} + \int_{0}^{1} \frac{( 1 - t ) ^{k - 1}}{( k - 1 )!} (i = 1 \sum n h_{i} \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (x + t h))^{(k)} d t$

Théorème 13 (Formule de Taylor-Young). Soient $f : U \to R^{p}$ de classe $C^{k}$ sur $U$ , $x \in R^{n}$ , $h = (h_{1}, \dots, h_{n}) \in R^{n}$ tels que $[x, x + h] \subseteq U$ . Alors, $f (x + h) = j = 0 \sum k \frac{1}{i !} (i = 1 \sum n h_{i} \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (x))^{(j)} + o (∥ h ∥^{k})$

Application 14 (Lemme d’Hadamard). Soit $f : R^{n} \to R$ de classe $C^{\infty}$ . On suppose $f$ différentiable en $0$ avec $d f_{0} = 0$ et $f (0) = 0$ . Alors, $f (x_{1}, \dots, x_{n}) = i, j = 1 \sum n x_{i} x_{j} h_{i, j} (x_{1}, \dots, x_{n})$ où $\forall i, j \in [[1, n]]$ , $h_{i, j} : R^{n} \to R$ est $C^{\infty}$ .

Applications en analyse réelle

Dans cette partie, $I$ désigne un intervalle de $R$ non réduit à un point et $E$ un espace de Banach sur $R$ . Soit $f : I \to E$ une application.

Étude asymptotique de fonctions

p. 89

On suppose $0 \in I$ .

Définition 15. On dit que $f$ admet un développement limité à l’ordre $n \in N^{*}$ s’il existe $a_{0}, \dots, a_{n} \in E$ tels que, au voisinage de $0$ , $f (x) = k = 0 \sum n a_{k} x^{k} + o (x^{n})$

Remarque 16. On pourrait de même définir les développements limités au voisinage d’un point $a \in \overline{I}$ .

Proposition 17.

Un développement limité, s’il existe, est unique.
Si $f$ admet un développement limité en $0$ à l’ordre $n \geq 1$ , $f$ est dérivable en $0$ et sa dérivée en $0$ vaut $a_{1}$ .
Si $f$ est paire (resp. impaire), les coefficients du développement limité d’indice impair (resp. pair) sont nuls.
Si $f$ est $n$ fois dérivable en $0$ , $f^{'}$ admet un développement limité en $0$ : $f^{'} (x) = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} x^{k - 1} + o (x^{n - 1})$ .
Si $f$ est dérivable sur $I$ et $f^{'}$ admet un développement limité en $0$ : $f^{'} (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k} + o (x^{n})$ ; alors, $f$ admet un développement limité en $0$ donné par $f (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{a _{k}}{( k + 1 )!} x^{k + 1} + o (x^{k + 1})$ .
Les règles de somme, produit, quotient et composition obéissent aux mêmes règles que pour les polynômes (sous réserve de bonne définition).

On déduit du Théorème 6 le résultat suivant.

Proposition 18. Si $f$ est $n$ fois dérivable en $0$ , alors $f$ admet un développement limité à l’ordre $n$ en $0$ : $f (x) = k = 0 \sum n + 1 \frac{f ^{(k)} ( 0 )}{k !} x^{k} + o (x^{n + 1})$

Exemple 19. En $0$ , on a les développements limités usuels suivants.

$e^{x} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{x ^{k}}{k !} + o (x^{n})$ .
$sin (x) = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} \frac{x ^{2 k + 1}}{( 2 k + 1 )!} + o (x^{2 n + 2})$ .
$cos (x) = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} \frac{x ^{2 k}}{( 2 k )!} + o (x^{2 n + 1})$ .
$sinh (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{x ^{2 k + 1}}{( 2 k + 1 )!} + o (x^{2 n + 2})$ .
$cosh (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{x ^{2 k}}{( 2 k )!} + o (x^{2 n + 1})$ .
Pour tout $α \in R$ , $(1 + x)^{α} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - k + 1 )}{k !} + o (x^{n})$ .

Application 20. $x \to 0 lim \frac{tan ( x ) - x}{sin ( x ) - x} = - 2$

[I-P]
p. 380

Application 21 (Développement asymptotique de la série harmonique). On note $\forall n \in N^{*}, H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$ . Alors, quand $n$ tend vers $+ \infty$ , $H_{n} = ln (n) + γ + \frac{1}{2 n} - \frac{1}{12 n ^{2}} + o (\frac{1}{n ^{2}})$

Développements en série entière

[BMP]
p. 46

Définition 22. Soient $U \subseteq C$ un ouvert et $f : U \to C$ . On dit que $f$ est développable en série entière en $a \in U$ s’il existe $r > 0$ et $(a_{n}) \in C^{N}$ tels que $D (a, r) \subseteq U$ et $\forall z \in D (a, r), f (z) = n = 0 \sum + \infty a_{n} (z - a)^{n}$

[GOU20]
p. 251

Exemple 23. Soit $z_{0} \in C$ . Alors, $\forall z \in D (0, ∣ z_{0} ∣), \frac{1}{z - z _{0}} = - \frac{1}{z _{0} \sum _{n = 0}^{+ \infty}} (\frac{z}{z _{0}})^{n}$

Nous nous limiterons ici aux fonctions réelles.

Proposition 24. Soit $I \subseteq R$ un intervalle contenant un voisinage de $0$ . Une fonction $f : I \to R$ de classe $C^{\infty}$ est développable en série entière si et seulement s’il existe $α > 0$ tel que la suite de fonctions $(R_{n})$ définie par $R_{n} (x) = f (x) - k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( 0 )}{k !} x^{k}$ tende simplement vers $0$ sur $] - α, α [$ . La série entière $\sum \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} z^{n}$ a alors un rayon de convergence supérieur ou égal à $α$ et $f$ est égale à la somme de cette série entière sur $] - α, α [$ .

Remarque 25. Dans la pratique, pour montrer que le $(R_{n})$ précédent tend simplement vers $0$ , on peut l’exprimer comme un reste de Taylor (Lagrange ou intégral).

Exemple 26. On a les développements en série entière usuels suivants.

Pour tout $x \in R$ , $e^{x} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{x ^{k}}{k !}$ .
Pour tout $x \in R$ , $sin (x) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} (- 1)^{k} \frac{x ^{2 k + 1}}{( 2 k + 1 )!}$ .
Pour tout $x \in R$ , $cos (x) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} (- 1)^{k} \frac{x ^{2 k}}{( 2 k )!}$ .
Pour tout $x \in R$ , $sinh (x) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{x ^{2 k + 1}}{( 2 k + 1 )!}$ .
Pour tout $x \in R$ , $cosh (x) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{x ^{2 k}}{( 2 k )!}$ .
Pour tout $α \in R$ , Pour tout $x \in] - 1, 1 [$ , $(1 + x)^{α} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - k + 1 )}{k !}$ .

Contre-exemple 27. La fonction $f : x \mapsto {e^{- \frac{1}{x}} si x > 0 0 sinon$ est $C^{\infty}$ , vérifie $f^{(n)} (0) = 0$ pour tout entier $n$ , mais ne coïncide pas avec la somme de $\sum \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} z^{n}$ sur $] - α, α [$ pour tout $α > 0$ .

Contre-exemple 28. On considère fonction définie sur $R^{+}$ par $g : x \mapsto \int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{- t}}{1 + x t} d t$ Alors $g$ est $C^{\infty}$ , vérifie $g^{(n)} (0) = 0$ pour tout entier $n$ , et $\sum \frac{g ^{(n)} ( 0 )}{n !} z^{n}$ a un rayon de convergence nul.

[ROM18]
p. 302

Théorème 29 (Bernstein). Soient $a > 0$ et $f :] - a, a [\to R$ de classe $C^{\infty}$ . On suppose les dérivées de $f$ positives sur $] - a, a [$ . Alors $f$ est développable en série entière sur $] - a, a [$ .

Méthode de Newton

[ROU]
p. 152

methode-de-newton

Théorème 30 (Méthode de Newton). Soit $f : [c, d] \to R$ une fonction de classe $C^{2}$ strictement croissante sur $[c, d]$ . On considère la fonction $φ : [c, d] x \to \mapsto R x - \frac{f ( x )}{f ^{'} ( x )}$ (qui est bien définie car $f^{'} > 0$ ). Alors :

$\exists! a \in [c, d]$ tel que $f (a) = 0$ .
$\exists α > 0$ tel que $I = [a - α, a + α]$ est stable par $φ$ .
La suite $(x_{n})$ des itérés (définie par récurrence par $x_{n + 1} = φ (x_{n})$ pour tout $n \geq 0$ ) converge quadratiquement vers $a$ pour tout $x_{0} \in I$ .

Corollaire 31. En reprenant les hypothèses et notations du théorème précédent, et en supposant de plus $f$ strictement convexe sur $[c, d]$ , le résultat du théorème est vrai sur $I = [a, d]$ . De plus :

$(x_{n})$ est strictement décroissante (ou constante).
$x_{n + 1} - a \sim \frac{f ^{''} ( a )}{2 f ^{'} ( a )} (x_{n} - a)^{2}$ pour $x_{0} > a$ .

Exemple 32.

On fixe $y > 0$ . En itérant la fonction $F : x \mapsto \frac{1}{2} (x + \frac{y}{x})$ pour un nombre de départ compris entre $c$ et $d$ où $0 < c < d$ et $c^{2} < 0 < d^{2}$ , on peut obtenir une approximation du nombre $y$ .
En itérant la fonction $F : x \mapsto \frac{x ^{2} + 1}{2 x - 1}$ pour un nombre de départ supérieur à $2$ , on peut obtenir une approximation du nombre d’or $φ = \frac{1 + 5}{2}$ .

Majoration d’une erreur d’approximation

[DEM]
p. 21

Soit $f$ une fonction réelle continue sur un intervalle $[a, b]$ . On se donne $n + 1$ points $x_{0}, \dots, x_{n} \in [a, b]$ distincts deux-à-deux.

Définition 33. Pour $i \in [[0, n]]$ , on définit le $i$ -ième polynôme de Lagrange associé à $x_{1}, \dots, x_{n}$ par $ℓ_{i} : x \mapsto j = 0 j \neq = i \prod n \frac{x - x _{j}}{x _{i} - x _{j}}$

Théorème 34. Il existe une unique fonction polynômiale $p_{n}$ de degré $n$ telle que $\forall i \in [[0, n]], p_{n} (x_{i}) = f (x_{i})$ : $p_{n} = i = 0 \sum n f (x_{i}) ℓ_{i}$

Théorème 35. On note $π_{n + 1} : x \mapsto \prod_{j = 0}^{n} (x - x_{j})$ et on suppose $f$ $n + 1$ fois dérivable $[a, b]$ . Alors, pour tout $x \in [a, b]$ , il existe un réel $ξ_{x} \in] min (x, x_{i}), max (x, x_{i}) [$ tel que $f (x) - p_{n} (x) = \frac{π _{n + 1} ( x )}{( n + 1 )!} f^{(n + 1)} (ξ_{x})$

Corollaire 36. $∥ f - p_{n} ∥_{\infty} \leq \frac{1}{( n + 1 )!} ∥ π_{n + 1} ∥_{\infty} ∥ f^{(n + 1)} ∥_{\infty}$

[DAN]
p. 506

Application 37 (Calculs approchés d’intégrales). On note $I (f) = \int_{a}^{b} f (t) d t$ . L’objectif est d’approximer $I (f)$ par une expression $P (f)$ et de majorer l’erreur d’approximation $E (f) = ∣ I (f) - P (f) ∣$ .

Méthode des rectangles. On suppose $f$ continue. Avec $P (f) = (b - a) f (a)$ , on a $E (f) \leq \frac{( b - a ) ^{2}}{2} ∥ f^{'} ∥_{\infty}$ .
Méthode du point milieu. On suppose $f$ de classe $C^{2}$ . Avec $P (f) = (b - a) f (\frac{a + b}{2})$ , on a $E (f) \leq \frac{( b - a ) ^{3}}{24} ∥ f^{''} ∥_{\infty}$ .
Méthode des trapèzes. On suppose $f$ de classe $C^{2}$ . Avec $P (f) = \frac{b - a}{2} (f (a) + f (b))$ , on a $E (f) \leq \frac{( b - a ) ^{3}}{12} ∥ f^{''} ∥_{\infty}$ .
Méthode de Simpson. On suppose $f$ de classe $C^{4}$ . Avec $P (f) = \frac{b - a}{6} (f (a) + f (b) + 4 f (\frac{a + b}{2}))$ , on a $E (f) \leq \frac{( b - a ) ^{3}}{2880} ∥ f^{(4)} ∥_{\infty}$ .

Application aux fonctions de plusieurs variables

Soit $U \subseteq R^{n}$ un ouvert.

Homéomorphismes

[ROU]
p. 209

Lemme 38. Soit $A_{0} \in S_{n} (R)$ inversible. Alors il existe un voisinage $V$ de $A_{0}$ dans $S_{n} (R)$ et une application $ψ : V \to GL_{n} (R)$ de classe $C^{1}$ telle que $\forall A \in V, A = (^{t} ψ (A) A_{0} ψ (A)$

p. 354

lemme-de-morse

Lemme 39 (Morse). Soit $f : U \to R$ une fonction de classe $C^{3}$ (où $U$ désigne un ouvert de $R^{n}$ contenant l’origine). On suppose :

$d f_{0} = 0$ .
La matrice symétrique $H (f)_{0}$ est inversible.
La signature de $H (f)_{0}$ est $(p, n - p)$ .

Alors il existe un difféomorphisme $ϕ = (ϕ_{1}, \dots, ϕ_{n})$ de classe $C^{1}$ entre deux voisinage de l’origine de $R^{n}$ $V \subseteq U$ et $W$ tel que $φ (0) = 0$ et $\forall x \in U, f (x) - f (0) = k = 1 \sum p ϕ_{k}^{2} (x) - k = p + 1 \sum n ϕ_{k}^{2} (x)$

p. 334

Exemple 40. On considère $f : (x, y) \mapsto x^{2} - y^{2} + \frac{y ^{4}}{4}$ . La courbe d’équation $f (x, y) = 0$ est (au changement près du nom des coordonnées) une projection de l’intersection d’un cylindre et d’une sphère tangents. On a $f = u^{2} - v^{2}$ avec $u : (x, y) \mapsto x$ et $v : (x, y) \mapsto y 1 - \frac{y ^{2}}{4}$ .

Conditions d’extrema

Soit $f : U \to R$ de classe $C^{2}$ sur $U$ .

[GOU20]
p. 336

Théorème 41. On suppose $d f_{a} = 0$ ( $a$ est un point critique de $f$ ). Alors :

Si $f$ admet un minimum (resp. maximum) relatif en $a$ , $Hess (f)_{a}$ est positive (resp. négative).
Si $Hess (f)_{a}$ définit une forme quadratique définie positive (resp. définie négative), $f$ admet un minimum (resp. maximum) relatif en $a$ .

Exemple 42. On suppose $d f_{a} = 0$ . On pose $(r, s, t) = (\frac{\partial ^{2}}{\partial x _{i} \partial x _{j}} f)_{i + j = 2}$ . Alors :

Si $r t - s^{2} > 0$ et $r > 0$ (resp. $r < 0$ ), $f$ admet une minimum (resp. maximum) relatif en $a$ .
Si $r t - s^{2} < 0$ , $f$ n’a pas d’extremum en $a$ .
Si $r t - s^{2} = 0$ , on ne peut rien conclure.

Exemple 43. La fonction $(x, y) \mapsto x^{4} + y^{2} - 2 (x - y)^{2}$ a trois points critiques qui sont des minimum locaux : $(0, 0)$ , $(2, - 2)$ et $(- 2, 2)$ .

Contre-exemple 44. $x \mapsto x^{3}$ a sa hessienne positive en $0$ , mais n’a pas d’extremum en $0$ .

Application en probabilités

[Z-Q]
p. 544

Théorème 45 (Lévy). Soient $(X_{n})$ une suite de variables aléatoires réelles et $X$ une variable aléatoire réelle. Alors : $X_{n} ⟶ (d) X ⟺ ϕ_{X_{n}} converge simplement vers ϕ_{X}$ où $ϕ_{Y}$ désigne la fonction caractéristique d’une variable aléatoire réelle $Y$ .

[G-K]
p. 307

Théorème 46 (Central limite). Soit $(X_{n})$ une suite de variables aléatoires réelles indépendantes de même loi admettant un moment d’ordre $2$ . On note $m$ l’espérance et $σ^{2}$ la variance commune à ces variables. On pose $S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n} - nm$ . Alors, $(\frac{S _{n}}{n}) ⟶ (d) N (0, σ^{2})$

Application 47 (Théorème de Moivre-Laplace). On suppose que $(X_{n})$ est une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi $B (p)$ . Alors, $\frac{\sum _{k = 1}^{n} X _{k} - n p}{n} ⟶ (d) N (0, p (1 - p))$