221 Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

analysis

Dans toute la suite, $K$ désignera le corps $R$ ou $C$ .

Généralités

Définitions

Définition 1. Soient $n \in N^{*}$ , $E$ un espace de Banach et $Ω \subseteq R \times E^{n}$ un ouvert. Soit $F : Ω \times R^{n} \to E$ une fonction.

On appelle équation différentielle une équation de la forme $y^{(n)} = F (t, y, y^{'}, \dots, y^{(n - 1)}) (*)$ (ie. une équation portant sur les dérivées d’une fonction.)
Toute application $φ : I \to E$ (où $I$ est un intervalle de $R$ ) $n$ fois dérivable vérifiant :
1. $\forall t \in I, (t, φ (t), \dots, φ^{(n - 1)} (t)) \in Ω$ ;
2. $\forall t \in I, F (t, φ (t), \dots, φ^{(n - 1)} (t)) = φ^{(n)} (t)$ ;
est une solution de $(*)$ . On note $S_{*}$ l’ensemble des solutions de $(*)$ .
Une solution $φ : I \to E$ de $(*)$ est dite maximale s’il n’existe pas d’autre solution $ψ : J \to E$ (où $J$ est un intervalle de $R$ ) de $(*)$ telle que $I \subseteq J$ , $I \neq = J$ et $ψ = φ$ sir $I$ .
On appelle problème de Cauchy de $(*)$ en $(t_{0}, x_{0}, \dots, x_{n - 1})$ la recherche d’une solution $φ : I \to E$ de $(*)$ vérifiant $\forall t_{0} \in I, φ (t_{0}) = x_{0}, \dots, φ^{(n - 1)} (t_{0}) = x_{n - 1}$

p. 377

Définition 2. Toute équation différentielle sur $K^{n}$ d’ordre $p \geq 1$ du type $Y^{(p)} = A_{p - 1} (t) Y^{(p - 1)} + \dots + A_{0} (t) Y + B (t) (L)$ (où $A_{p - 1}, \dots, A_{0}$ sont des fonctions continues d’un intervalle $I$ de $R$ non réduit à un point dans $M_{n} (K)$ et $B : I \to K^{n}$ est une fonction continue) est appelée équation différentielle linéaire d’ordre $p$ .

Si de plus $B = 0$ , alors $(L)$ est qualifiée d’homogène.

Définition 3. Si $n \geq 2$ , on parle de système différentiel linéaire. Si $n = 1$ , on parle d’équation différentielle linéaire scalaire.

Remarque 4. L’équation $(L)$ précédente peut aussi s’écrire : $Y Y^{'} ⋮ ⋮ Y^{(p - 1)}^{'} = 0 ⋮ ⋮ 0 A_{0} (t) I_{n} ⋱ \dots \dots 0 ⋱ ⋱ \dots \dots \dots ⋱ ⋱ 0 \dots 0 ⋮ 0 I_{n} A_{p - 1} (t) Y Y^{'} ⋮ ⋮ Y^{(p - 1)} + 00 ⋮ ⋮ B (t)$ Ainsi, nous avons ramené l’équation différentielle linéaire $(L)$ d’ordre $p$ à une équation différentielle linéaire d’ordre $1$ . Donc, pour cette raison, on peut se limiter à l’étude des équations différentielles linéaires d’ordre $1$ .

Structure de l’ensemble des solutions

[DAN]
p. 520

theoreme-de-cauchy-lipschitz-lineaire

Théorème 5 (Cauchy-Lipschitz linéaire). Soient $A : I \to M_{n} (K)$ et $B : I \to K^{d}$ deux fonctions continues. Alors $\forall t_{0} \in I$ , le problème de Cauchy ${Y^{'} = A (t) Y + B (t) Y (t_{0}) = y_{0}$ admet une unique solution définie sur $I$ tout entier.

[GOU20]
p. 378

Remarque 6 (Version linéaire d’ordre $p$ ). Soient $A_{p - 1}, \dots, A_{0}$ des fonctions continues d’un intervalle $I$ de $R$ non réduit à un point dans $M_{n} (K)$ et $B : I \to K^{n}$ une fonction continue. Soient $X_{0}, \dots, X_{p - 1} \in K^{n}$ . Alors, $\forall t_{0} \in I$ , le problème de Cauchy ${Y^{(p)} = A_{p - 1} (t) Y^{(p - 1)} + \dots + A_{0} (t) Y + B (t) Y^{(k)} (t_{0}) = X_{k} \forall k \in [[1, p - 1]]$ admet une unique solution définie sur $I$ tout entier.

[ROM19-1]
p. 402

Exemple 7. Considérons l’équation $y^{'} - y = 0$ . Comme la fonction nulle est solution maximale, il s’agit de l’unique solution qui s’annule sur $R$ .

[GOU20]
p. 278

Corollaire 8. L’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire homogène d’ordre $p$ défini sur un intervalle $I$ est un sous-espace vectoriel de $C^{1} (I, K^{n})$ de dimension $n p$ .

Corollaire 9. Soit $(H)$ l’équation différentielle linéaire homogène associée à une équation différentielle linéaire $(L)$ et soit $V_{0} \in S_{L}$ . Alors $S_{L} = V_{0} + S_{H}$ , et $S_{L}$ est un espace affine de même dimension que $S_{H}$ .

Wronskien

Définition 10. Soient $V_{1}, \dots, V_{n}$ $n$ solutions d’une équation différentielle linéaire homogène $(H)$ définies sur un intervalle $I$ . On appelle wronskien de $V_{1}, \dots, V_{n}$ l’application $W_{(V_{1}, \dots, V_{n})} : I t \to \mapsto K det (V_{1} (t), \dots, V_{n} (t))$

Exemple 11. Soient $v_{1}, \dots, v_{p}$ $p$ solutions de $y^{(p)} = a_{p - 1} (t) y^{(p - 1)} + \dots + a_{0} (t) y$ définies sur un intervalle $I$ (où $\forall i, a_{i} : I \to K$ est continue). Alors $\forall t \in I, W_{(v_{1}, \dots, v_{p})} (t) = v_{1} (t) ⋮ v_{1}^{(p - 1)} (t) \dots \dots v_{p} (t) ⋮ v_{p}^{(p - 1)} (t)$

Exemple 12. Soient $u$ et $v$ deux solutions de $y^{''} = a (t) y^{'} + b (t) y$ définies sur un intervalle $I$ . Alors $\forall t \in I, W_{(u, v)} (t) = u (t) v^{'} (t) - u^{'} (t) v (t)$

Proposition 13. Le rang de $n$ solutions d’une équation différentielle linéaire homogène $V_{1} (t), \dots, V_{n} (t)$ est indépendant de $t$ .

Corollaire 14. Soient $V_{1}, \dots, V_{n}$ $n$ solutions d’une équation différentielle linéaire homogène $(H)$ . Alors $(V_{1}, \dots, V_{n})$ est une base de $S_{H}$ si et seulement si $\exists t_{0}$ tel que $W_{(V_{1}, \dots, V_{n})} (t_{0}) \neq = 0$ .

p. 388

Proposition 15. Soient $V_{1}, \dots, V_{n}$ $n$ solutions d’une équation différentielle linéaire homogène $(H)$ . Alors $W_{(V_{1}, \dots, V_{n})}$ est solution de l’équation différentielle linéaire homogène $Y^{'} = trace (A) Y$ et pour tout $t_{0}$ élément de $I$ , on a $\forall t \in I, W_{(V_{1}, \dots, V_{n})} (t) = W_{(V_{1}, \dots, V_{n})} (t_{0}) exp (\int_{t_{0}}^{t} trace (A (u)) d u)$ .

Résolution

Cas d’une équation différentielle linéaire scalaire

p. 379

Proposition 16. Les solutions d’une équation différentielle linéaire homogène scalaire $y^{'} = a (t) y$ sont proportionnelles à $t \mapsto e^{A (t)}$ où $A$ est une primitive de $a$ .

Corollaire 17 (Variation de la constante). Soient $(L) : y^{'} = a (t) y + b (t)$ une équation différentielle linéaire scalaire et $A$ une primitive de $a$ . Alors, $S_{L} = {t \mapsto λ (t) e^{A (t)} ∣ λ^{'} (t) = b (t) e^{- A (t)}}$

Exemple 18. L’ensemble des solutions de l’équation différentielle $(L) : y^{'} + y = sin (t)$ est $S_{L} = {t \mapsto \frac{sin ( t ) - cos ( t )}{2} + μ e^{- t} μ \in R}$

Exemple 19. À cause du principe de recollement des solutions, la seule solution définie sur $R$ de $(1 - t^{2}) y^{'} + t y = 0$ est la fonction nulle.

Cas d’un système différentiel linéaire

Proposition 20. Soient $V_{1}, \dots, V_{n}$ $n$ solutions linéairement indépendantes d’une équation différentielle linéaire homogène $(H) : Y^{'} = A (t) Y$ . Alors, $S_{H} = {i = 1 \sum n λ_{i} V_{i} ∣ λ_{i} \in K}$

Corollaire 21 (Variation de la constante). Soit $(L) : Y^{'} = A (t) Y + B (t)$ une équation différentielle linéaire. On note par $(H)$ le équation différentielle linéaire homogène associée. Alors, si $V_{1}, \dots, V_{n}$ sont $n$ solutions de $(H)$ , on a : $S_{L} = {i = 1 \sum n λ_{i} (t) V_{i} ∣ i = 1 \sum n λ_{i}^{'} (t) V_{i} (t) = B (t)}$

Exemple 22. Soit $(L) : y^{''} = a (t) y^{'} + b (t) y + c (t)$ . On note $u$ et $v$ deux solutions de l’équation différentielle linéaire homogène associée. Alors, $S_{L} = {t \mapsto λ (t) u (t) + μ (t) v (t) ∣ {λ^{'} u + μ^{'} v = 0 λ^{'} u^{'} + μ^{'} v^{'} = c}$

Exemple 23. On considère l’équation différentielle $(L) : y^{''} + y = tan (t)$ . Alors, $S_{L} = {t \mapsto α cos (t) + β sin (t) - cos (t) ln (tan (\frac{π}{4} + \frac{t}{2})) ∣ α, β \in R}$

Cas où les coefficients sont constants

Définition 24. Soit $A \in M_{n} (K)$ . On définit $e^{A} = exp (A) = k = 0 \sum + \infty \frac{A ^{k}}{k !}$ l’exponentielle de la matrice $A$ .

Proposition 25. Une équation différentielle linéaire homogène $(H) : Y^{'} = A Y$ (où $A \in M_{n} (R)$ est constante en $t$ ) a ses solutions maximales définies sur $R$ et le problème de Cauchy ${Y^{'} = A Y Y (0) = y_{0}$ a pour (unique) solution $t \mapsto e^{t A} y_{0}$ .

Remarque 26. En reprenant les notations précédentes, si $K = R$ , on peut réduire $A$ dans $C$ puis écrire les solutions de $(H)$ sous la forme $φ (t) + \overline{φ (t)}$ (où $φ$ est une solution complexe de $(H)$ ).

Corollaire 27. On considère une équation différentielle linéaire homogène $(H) : y^{(n)} + a_{n - 1} y^{(n - 1)} + \dots + a_{0} y = 0$ . On factorise $P_{H}$ , le polynôme caractéristique de l’équation dans $C$ , $P_{H} = X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{0} = i = 1 \prod k (X - r_{i})^{m_{i}}$ Alors, $S_{H} = {t \mapsto i = 1 \sum k e^{r_{i} t} P_{i} (t)}$ où les $P_{i}$ sont des polynômes de degré $< m_{i}$ .

Exemple 28. On considère l’équation différentielle $(H) : y^{''} + a y^{'} + b y = 0$ . Soient $r_{1}$ et $r_{2}$ les deux racines de $P_{H}$ dans $C$ .

Si $r_{1} \neq = r_{2}$ , $S_{H} = {t \mapsto λ e^{r_{1} t} + μ e^{r_{2} t} ∣ λ, μ \in C}$ .
Si $r_{1} = r_{2}$ , $S_{H} = {t \mapsto (λ t + μ) e^{r t} ∣ λ, μ \in K}$ .

Quelques autres techniques de résolution

Abaissement de l’ordre

Proposition 29. On considère une équation différentielle linéaire homogène $(H) : y^{(n)} = a_{n - 1} (t) y^{(n - 1)} + \dots + a_{0} (t) y$ . Soit $φ \in S_{H}$ , alors $f = g φ$ est solution de $(H)$ si et seulement si $k = 1 \sum n (k n) g^{k} φ^{(n - k)} = a_{n - 1} (t) k = 1 \sum n - 1 (k n - 1) g^{k} φ^{(n - 1 - k)} + \dots + a_{1} (t) (g^{'} φ)$ ie. $g^{'}$ est solution d’une équation différentielle d’ordre $n - 1$ .

Exemple 30. Soit $φ$ une solution de $(H) : y^{''} = a (t) y^{'} + b (t) y$ , alors $f = g φ$ est solution de $(H)$ si et seulement si $2 g^{'} φ^{'} + g^{''} φ = a (t) g^{'} φ$ .

Utilisation des séries entières

[ROM19-1]
p. 401

Proposition 31. Soient $a_{0}, \dots, a_{p - 1}$ et $b$ des fonctions à valeurs dans $K$ développables en série entière sur un intervalle ouvert $] - R, R [$ ( $R$ étant un réel strictement positif). Soient $y_{0}, \dots, y_{p - 1} \in C$ . On considère le problème de Cauchy : ${y^{(p)} = a_{0} (t) y + \dots + a_{p - 1} (t) y^{(p - 1)} + b (t) y^{(k)} (0) = y_{k} \forall k \in [[0, p - 1]] (*)$ Alors $(*)$ admet une unique solution développable en série entière sur $] - R, R [$ .

Exemple 32. La fonction $sin : R \to [1, 1]$ est l’unique solution du problème de Cauchy $⎩ ⎨ ⎧ y^{''} = y y (0) = 0 y^{'} (0) = 1$

p. 412

Application 33. La fonction $f_{α} : x \mapsto (1 + x)^{α}$ où $α \in R ∖ N$ est développable en série entière de rayon de convergence $1$ et $\forall x \in] - 1, 1 [, f_{α} (x) = 1 + n = 1 \sum + \infty \frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - n + 1 )}{n !} x^{n}$

Études qualitatives

[GOU20]
p. 397

Lemme 34 (Grönwall). Soient $φ, ψ, y : [a, b] \to R^{+}$ continues vérifiant $\forall t \in [a, b], y (t) \leq φ (t) \int_{a}^{t} ψ (s) y (s) d s$ . Alors, $\forall t \in I, y (t) \leq φ (t) + \int_{a}^{t} φ (s) ψ (s) exp (\int_{s}^{t} ψ (u) d u) d s$

Corollaire 35. Soient $φ, y : [a, b] \to R^{+}$ continues et vérifiant $\exists c \geq 0, \forall t \in [a, b], y (t) \leq c + \int_{a}^{t} φ (s) y (s) d s$ . Alors, $\forall t \in [a, b], y (t) \leq c exp (\int_{a}^{t} φ (s) d s)$

Application 36. Soit $q : R^{+} \to R_{*}^{+}$ croissante de classe $C^{1}$ . Alors les solutions de $y^{''} + q (t) y = 0$ sont bornées sur $R^{+}$ .

p. 387

Théorème 37 (Floquet). On considère l’équation $(H) : Y^{'} = A (t) Y$ où $A : R \to C$ est une fonction continue et $T$ -périodique. Alors, $(H)$ admet une solution $V$ non nulle telle que $\exists λ \in C, \forall t \in R, V (t + T) = λV (t)$

p. 406

Théorème 38 (Massera). Si l’équation $Y^{'} = A (t) Y + B (t)$ (où $A$ et $B$ sont $T$ -périodiques) admet une solution bornée sur $R$ , alors elle admet une solution $T$ -périodique.

Applications

Résolution d’équations différentielles non linéaires

p. 391

Application 39 (Équations de Bernoulli). Soit $(B) : y^{'} = a (t) y + b (t) y^{α}$ (où $α \in R ∖ {0, 1}$ ). On pose $z = y^{1 - α}$ et on a $(B) ⟺ \frac{1}{1 - α} z^{'} = a (t) z + b (t)$

Corollaire 40 (Équations de Ricatti). Soit $(R) : y^{'} = a (t) y^{2} + b (t) y + c (t)$ qui admet pour solution particulière $φ_{0}$ . On pose $y = φ_{0} + z$ et on a $(R) ⟺ (2 a (t) φ_{0} (t) + b (t)) z + a (t) z^{2}$ qui est une équation de Bernoulli.

Exemple 41. Les solutions maximales de l’équation $y^{'} + y + y^{2} + 1 = 0$ sont de la forme $t \mapsto e^{\frac{2 iπ}{3}} + \frac{3}{e ^{i (3 t + θ)} + i}$ , définies que des intervalles ouverts de longueur $\frac{2 π}{3}$ .

Stabilité

[I-P]
p. 302

Application 42 (Théorème de stabilité de Liapounov). Soit $f \in C^{1} (R^{n})$ telle que $f (0) = 0$ . On considère le problème de Cauchy ${y^{'} = f (y) y (0) = y_{0}$ Si toute valeur propre complexe de $d f_{0}$ est de partie réelle strictement négative, alors $\forall y_{0}$ suffisamment proche de $0$ , la solution maximale $y (t)$ est bien définie et converge vers $0$ en $+ \infty$ à une vitesse exponentielle.

Étude d’équations fonctionnelles et matricielles

[GOU20]
p. 384

Application 43. L’ensemble des fonctions $f : R_{*}^{+} \to R$ vérifiant $\forall t > 0, f^{'} (t) = f (\frac{1}{t})$ est l’ensemble des solutions de l’équation différentielle linéaire homogène $t^{2} y^{''} + y = 0$ .

[I-P]
p. 177

Lemme 44. Soit $∥.∥$ une norme d’algèbre sur $M_{n} (C)$ , et soit $A \in M_{n} (C)$ une matrice dont les valeurs propres sont de partie réelle strictement négative. Alors il existe une fonction polynômiale $P : R \to R$ et $λ > 0$ tels que $∥ e^{t A} ∥ \leq e^{- λ t} P (t)$ .

equation-de-sylvester

Application 45 (Équation de Sylvester). Soient $A$ et $B \in M_{n} (C)$ deux matrices dont les valeurs propres sont de partie réelle strictement négative. Alors pour tout $C \in M_{n} (C)$ , l’équation $A X + XB = C$ admet une unique solution $X$ dans $M_{n} (C)$ .