221 Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

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Dans toute la suite, désignera le corps ou .

Généralités

Définitions

Définition 1. Soient , un espace de Banach et un ouvert. Soit une fonction.

  • On appelle équation différentielle une équation de la forme (ie. une équation portant sur les dérivées d’une fonction.)

  • Toute application (où est un intervalle de ) fois dérivable vérifiant :

    1. ;

    2. ;

    est une solution de . On note l’ensemble des solutions de .

  • Une solution de est dite maximale s’il n’existe pas d’autre solution (où est un intervalle de ) de telle que , et sir .

  • On appelle problème de Cauchy de en la recherche d’une solution de vérifiant

Définition 2. Toute équation différentielle sur d’ordre du type (où sont des fonctions continues d’un intervalle de non réduit à un point dans et est une fonction continue) est appelée équation différentielle linéaire d’ordre .

Si de plus , alors est qualifiée d’homogène.

Définition 3. Si , on parle de système différentiel linéaire. Si , on parle d’équation différentielle linéaire scalaire.

Remarque 4. L’équation précédente peut aussi s’écrire : Ainsi, nous avons ramené l’équation différentielle linéaire d’ordre à une équation différentielle linéaire d’ordre . Donc, pour cette raison, on peut se limiter à l’étude des équations différentielles linéaires d’ordre .

Structure de l’ensemble des solutions

Théorème 5 (Cauchy-Lipschitz linéaire). Soient et deux fonctions continues. Alors , le problème de Cauchy admet une unique solution définie sur tout entier.

Remarque 6 (Version linéaire d’ordre ). Soient des fonctions continues d’un intervalle de non réduit à un point dans et une fonction continue. Soient . Alors, , le problème de Cauchy admet une unique solution définie sur tout entier.

Exemple 7. Considérons l’équation . Comme la fonction nulle est solution maximale, il s’agit de l’unique solution qui s’annule sur .

Corollaire 8. L’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire homogène d’ordre défini sur un intervalle est un sous-espace vectoriel de de dimension .

Corollaire 9. Soit l’équation différentielle linéaire homogène associée à une équation différentielle linéaire et soit . Alors , et est un espace affine de même dimension que .

Wronskien

Définition 10. Soient solutions d’une équation différentielle linéaire homogène définies sur un intervalle . On appelle wronskien de l’application

Exemple 11. Soient solutions de définies sur un intervalle (où est continue). Alors

Exemple 12. Soient et deux solutions de définies sur un intervalle . Alors

Proposition 13. Le rang de solutions d’une équation différentielle linéaire homogène est indépendant de .

Corollaire 14. Soient solutions d’une équation différentielle linéaire homogène . Alors est une base de si et seulement si tel que .

Proposition 15. Soient solutions d’une équation différentielle linéaire homogène . Alors est solution de l’équation différentielle linéaire homogène et pour tout élément de , on a .

Résolution

Cas d’une équation différentielle linéaire scalaire

Proposition 16. Les solutions d’une équation différentielle linéaire homogène scalaire sont proportionnelles à est une primitive de .

Corollaire 17 (Variation de la constante). Soient une équation différentielle linéaire scalaire et une primitive de . Alors,

Exemple 18. L’ensemble des solutions de l’équation différentielle est

Exemple 19. À cause du principe de recollement des solutions, la seule solution définie sur de est la fonction nulle.

Cas d’un système différentiel linéaire

Proposition 20. Soient solutions linéairement indépendantes d’une équation différentielle linéaire homogène . Alors,

Corollaire 21 (Variation de la constante). Soit une équation différentielle linéaire. On note par le équation différentielle linéaire homogène associée. Alors, si sont solutions de , on a :

Exemple 22. Soit . On note et deux solutions de l’équation différentielle linéaire homogène associée. Alors,

Exemple 23. On considère l’équation différentielle . Alors,

Cas où les coefficients sont constants

Définition 24. Soit . On définit l’exponentielle de la matrice .

Proposition 25. Une équation différentielle linéaire homogène (où est constante en ) a ses solutions maximales définies sur et le problème de Cauchy a pour (unique) solution .

Remarque 26. En reprenant les notations précédentes, si , on peut réduire dans puis écrire les solutions de sous la forme (où est une solution complexe de ).

Corollaire 27. On considère une équation différentielle linéaire homogène . On factorise , le polynôme caractéristique de l’équation dans , Alors, où les sont des polynômes de degré .

Exemple 28. On considère l’équation différentielle . Soient et les deux racines de dans .

  • Si , .

  • Si , .

Quelques autres techniques de résolution

Abaissement de l’ordre

Proposition 29. On considère une équation différentielle linéaire homogène . Soit , alors est solution de si et seulement si ie. est solution d’une équation différentielle d’ordre .

Exemple 30. Soit une solution de , alors est solution de si et seulement si .

Utilisation des séries entières

Proposition 31. Soient et des fonctions à valeurs dans développables en série entière sur un intervalle ouvert ( étant un réel strictement positif). Soient . On considère le problème de Cauchy : Alors admet une unique solution développable en série entière sur .

Exemple 32. La fonction est l’unique solution du problème de Cauchy

Application 33. La fonction est développable en série entière de rayon de convergence et

Études qualitatives

Lemme 34 (Gronwall). Soient continues vérifiant . Alors,

Corollaire 35. Soient continues et vérifiant . Alors,

Application 36. Soit croissante de classe . Alors les solutions de sont bornées sur .

Théorème 37 (Floquet). On considère l’équation est une fonction continue et -périodique. Alors, admet une solution non nulle telle que

Théorème 38 (Massera). Si l’équation (où et sont -périodiques) admet une solution bornée sur , alors elle admet une solution -périodique.

Applications

Résolution d’équations différentielles non linéaires

Application 39 (Équations de Bernoulli). Soit (où ). On pose et on a

Corollaire 40 (Équations de Ricatti). Soit qui admet pour solution particulière . On pose et on a qui est une équation de Bernoulli.

Exemple 41. Les solutions maximales de l’équation sont de la forme , définies que des intervalles ouverts de longueur .

Stabilité

Application 42 (Théorème de stabilité de Liapounov). Soit telle que . On considère le problème de Cauchy Si toute valeur propre complexe de est de partie réelle strictement négative, alors suffisamment proche de , la solution maximale est bien définie et converge vers en à une vitesse exponentielle.

Étude d’équations fonctionnelles et matricielles

Application 43. L’ensemble des fonctions vérifiant est l’ensemble des solutions de l’équation différentielle linéaire homogène .

Lemme 44. Soit une norme d’algèbre sur , et soit une matrice dont les valeurs propres sont de partie réelle strictement négative. Alors il existe une fonction polynômiale et tels que .

Application 45 (Équation de Sylvester). Soient et deux matrices dont les valeurs propres sont de partie réelle strictement négative. Alors pour tout , l’équation admet une unique solution dans .