223 Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

analysis

Dans toute la suite, $K$ désignera le corps $R$ ou $C$ .

Convergence des suites numériques

Limite d’une suite

Définition 1. Soit $E$ un ensemble non vide. On appelle suite à valeurs dans $E$ toute application $u : D \to E$ où $D$ est une partie de $N$ . Lorsque $E$ est une partie de $R$ (resp. de $C$ ), on dit que $u$ est réelle (resp. complexe). Dans ces deux cas, on parle de suite numérique.

On fixe, pour tout le reste de la leçon, $(u_{n})$ une suite numérique à coefficients dans $K$ .

p. 12

Définition 2.

Si $K = R$ , on dit que $(u_{n})$ est majorée (resp. minorée) s’il existe $A \in R$ tel que $\forall n \in N$ , $u_{n} \leq A$ (resp. $A \leq u_{n}$ ).
On dit que $(u_{n})$ est bornée s’il existe $A \in R$ tel que $\forall n \in N$ , $∣ u_{n} ∣ \leq A$ (resp. $A \leq u_{n}$ ). Dans le cas où $K = R$ , cela revient à dire que $(u_{n})$ est majorée et minorée.
On dit que $(u_{n})$ admet $ℓ \in K$ pour limite (ou converge / tend vers $ℓ$ ) si, $\forall ϵ > 0, \exists N \in N tel que \forall n \geq N, ∣ u_{n} - ℓ ∣ < ϵ$ On le note $lim_{n \to + \infty} u_{n} = ℓ$ ou $u_{n} ⟶_{n \to + \infty} ℓ$ .
On dit que $(u_{n})$ est convergente si elle admet une limite. Sinon, on dit qu’elle est divergente.

Exemple 3. Si $(u_{n})$ est définie par $\forall n \geq 1, u_{n} = 1 + \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ alors $(u_{n})$ converge vers $1$ .

Théorème 4. On a unicité de la limite dans $K$ .

Proposition 5. Toute suite numérique convergente est bornée.

Contre-exemple 6. $((- 1)^{n})$ est bornée, non convergente.

Proposition 7. Soit $(v_{n})$ une suite numérique bornée. On suppose $lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ . Alors $lim_{n \to + \infty} u_{n} v_{n} = 0$ .

Proposition 8. On suppose $lim_{n \to + \infty} u_{n} = ℓ_{1} \in K$ . Soit $(v_{n})$ une suite numérique qui converge vers $ℓ_{2} \in K$ . Alors :

$lim_{n \to + \infty} u_{n} + v_{n} = ℓ_{1} + ℓ_{2}$ .
$lim_{n \to + \infty} λ u_{n} = λ ℓ_{1}$ pour tout $λ \in K$ .
$lim_{n \to + \infty} u_{n} v_{n} = ℓ_{1} ℓ_{2}$ .
Si $ℓ_{2} \neq = 0$ , on a $v_{n} \neq = 0$ à partir d’un certain rang et, $lim_{n \to + \infty} \frac{u _{n}}{v _{n}} = \frac{ℓ _{1}}{ℓ _{2}}$ .

p. 20

Définition 9. On suppose $K = R$ .

On dit que $(u_{n})$ tend vers $+ \infty$ si, $\forall A \in R, \exists N \in N tel que \forall n \geq N, u_{n} \geq A$
On dit que $(u_{n})$ tend vers $- \infty$ si $(- u_{n})$ tend vers $+ \infty$ .

On a les mêmes notations qu’à la Définition 2.

Proposition 10. On suppose $lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ .

$(u_{n})$ est minorée.
$(u_{n})$ est strictement positive à partir d’un certain rang et $lim_{n \to + \infty} \frac{1}{u _{n}} = 0$ .
Soit $(v_{n})$ une suite numérique.
- Si $(v_{n})$ est convergente ou $lim_{n \to + \infty} v_{n} = + \infty$ , on a $lim_{n \to + \infty} u_{n} + v_{n} = + \infty$ .
- Si $lim_{n \to + \infty} v_{n} = + \infty$ , on a $lim_{n \to + \infty} u_{n} v_{n} = + \infty$ .

p. 29

Exemple 11. Soit $λ \in R$ . Alors, $n \to + \infty lim λn = ⎩ ⎨ ⎧ + \infty - \infty 0 si λ > 0 si λ < 0 sinon$

Convergence de suites réelles

p. 20

Le résultat suivant justifie de se ramener au cas réel lors de l’étude de la convergence des suites numériques.

Proposition 12. Soient $(x_{n}), (y_{n})$ deux suites réelles et $x, y$ deux réels. Alors, $n \to + \infty lim x_{n} + i y_{n} = x + i y ⟺ {lim_{n \to + \infty} x_{n} lim_{n \to + \infty} y_{n} = x = y$

On se place pour le restant de la sous-section dans le cas où $K = R$ .

Théorème 13 (des gendarmes). Soient $(a_{n})$ et $(b_{n})$ deux suites réelles de même limite $ℓ \in R$ telles qu’à partir d’un certain rang, on ait $a_{n} \leq u_{n} \leq b_{n}$ . Alors, $u_{n} ⟶_{n \to + \infty} ℓ$ .

Définition 14. $(u_{n})$ est dite croissante (resp. décroissante) si pour tout entier $n$ , on a $u_{n + 1} \geq u_{n}$ (resp. $u_{n + 1} \leq u_{n}$ ). Elle est dite monotone si elle est croissante ou décroissante.

Théorème 15 (de la limite monotone). Si $(u_{n})$ est croissante et majorée ou décroissante et minorée, alors elle est convergente.

Théorème 16 (Suites adjacentes). Si deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes (ie. $(u_{n})$ est croissante, $(v_{n})$ est décroissante et la suite différence tend vers $0$ ), alors elles sont convergentes de même limite $ℓ$ qui vérifie $\forall n \in N, u_{n} \leq ℓ \leq v_{n}$

Exemple 17. Les suites $(1 - \frac{1}{n})$ et $(1 + \frac{1}{n ^{2}})$ sont adjacentes et convergent vers $1$ .

p. 36

Corollaire 18 (Segments emboîtés). Soient $(a_{n})$ et $(b_{n})$ deux suites réelles telles que $⎩ ⎨ ⎧ \forall n \in N, a_{n} \leq b_{n} \forall n \in N, [a_{n + 1}, b_{n + 1}] \subseteq [a_{n}, b_{n}] (b_{n} - a_{n}) ⟶ 0$ Alors, il existe un nombre réel unique $ℓ$ tel que $⋂_{n \geq 0} [a_{n}, b_{n}] = {ℓ}$ .

p. 97

Application 19 (Critère de Leibniz). Soit $(a_{n})$ une suite à termes positifs, décroissantes, tendant vers $0$ . Alors $\sum (- 1)^{n} a_{n} converge et \forall n \in N, ∣ R_{n} ∣ = k = n + 1 \sum + \infty (- 1)^{k} a_{k} \leq a_{n + 1}$ (voir Section Séries numériques.)

p. 25

Définition 20. Pour cette définition, on ne suppose pas au cas réel.

On dit que $(u_{n})$ est négligeable devant une suite réelle positive $(α_{n})$ et on note $u_{n} = o (α_{n})$ si, $\forall ϵ > 0, \exists N \in N, tel que \forall n \geq N, ∣ u_{n} ∣ \leq ϵ α_{n}$
On dit que $(u_{n})$ est équivalente à une suite numérique $(v_{n})$ et on note $u_{n} \sim v_{n}$ , si $(u_{n} - v_{n})$ est négligeable devant $(∣ u_{n} ∣)$ .

Proposition 21. En reprenant les notations précédentes,

On suppose $(α_{n})$ non nulle à partir d’un certain rang. $(u_{n})$ est négligeable devant $α_{n}$ si et seulement si $\frac{u _{n}}{α _{n}} ⟶_{n \to + \infty} 0$ .
On suppose $(v_{n})$ non nulle à partir d’un certain rang. $(u_{n})$ est équivalente à $v_{n}$ si et seulement si $\frac{u _{n}}{α _{n}} ⟶_{n \to + \infty} 1$ .
$\sim$ est une relation d’équivalence sur l’ensemble des suites de $K$ .

p. 353

Exemple 22 (Formule de Stirling). $n! \sim 2 nπ (\frac{n}{e})^{n}$

p. 28

Proposition 23. Deux suites convergentes équivalentes ont la même limite.

Suites de Cauchy

p. 34

Définition 24. On dit que $(u_{n})$ est de Cauchy si $\forall ϵ > 0, \exists N \in N tel que \forall p > q \geq N, ∣ u_{p} - u_{q} ∣ < ϵ$

Proposition 25.

Une suite convergente est de Cauchy.
Une suite de Cauchy est bornée.

Théorème 26. Toute suite de Cauchy de $K$ est convergente dans $K$ .

[HAU]
p. 312

Contre-exemple 27. La série $\sum \frac{1}{n}$ est une suite de Cauchy de $Q$ non convergente dans $Q$ .

Convergence au sens de Cesàro

[AMR11]
p. 53

Définition 28. À toute suite numérique $(u_{n})$ on y associe sa suite $(v_{n})$ des moyennes de Cesàro où $\forall n \in N, v_{n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n u_{k}$

Théorème 29. Si $(u_{n})$ converge vers $ℓ \in K$ , alors sa suite des moyennes de Cesàro converge vers $ℓ$ . On dit que $(u_{n})$ converge au sens de Cesàro.

Exemple 30.

Soit $(v_{n})$ une suite numérique dont aucun terme n’est nul, qui converge vers $ℓ \neq = 0$ . Alors, $\frac{1}{n} \frac{1}{\sum _{k = 1}^{n} \frac{1}{v _{k}}} ⟶_{n \to + \infty} \frac{1}{ℓ}$ converge vers $\frac{1}{ℓ}$ .
Soit $(w_{n})$ une suite numérique telle que $(w_{n + 1} - w_{n})$ converge vers $ℓ \in K$ . Alors, $\frac{w _{n}}{n} ⟶_{n \to + \infty} ℓ$

Remarque 31. La réciproque du Théorème 29 est fausse.

Exemple 32. $(- 1)^{n}$ converge au sens de Cesàro vers $0$ , mais pas au sens usuel.

Valeurs d’adhérence

Suites extraites

p. 14

Définition 33. On appelle sous-suite ou suite extraite de $(u_{n})$ , toute suite $(u_{φ (n)})$ où $φ : N \to N$ est strictement croissante (on dit que $φ$ est une extractrice).

Proposition 34. Si une suite converge vers $ℓ \in K$ , alors toute suite extraite converge vers $ℓ$ .

Définition 35. On appelle valeur d’adhérence d’une suite numérique, tout élément de $K$ limite d’une de ses sous-suites convergentes.

Remarque 36.

Toute suite numérique convergente ne possède que sa limite comme valeur d’adhérence.
Une suite possédant une unique valeur d’adhérence n’est pas nécessairement convergente.

Exemple 37. $((1 - (- 1)^{n}) n)$ ne possède que $0$ comme valeur d’adhérence, mais ne converge pas.

p. 36

Théorème 38 (Bolzano-Weierstrass). Toute suite numérique bornée possède au moins une sous-suite convergente.

[DAN]
p. 73

Proposition 39. Une suite numérique est convergente si et seulement si elle est bornée et n’a qu’une seule valeur d’adhérence.

[I-P]
p. 116

Application 40. Soit $(E, d)$ un espace métrique compact. Soit $(v_{n})$ une suite de $E$ telle que $d (v_{n}, v_{n - 1}) ⟶ 0$ . Alors l’ensemble $Γ$ des valeurs d’adhérence de $(v_{n})$ est connexe.

Corollaire 41 (Lemme de la grenouille). Soient $f : [0, 1] \to [0, 1]$ continue et $(x_{n})$ une suite de $[0, 1]$ telle que ${x_{0} \in [0, 1] x_{n + 1} = f (x_{n})$ Alors $(x_{n})$ converge si et seulement si $lim_{n \to + \infty} x_{n + 1} - x_{n} = 0$ .

Limites inférieure et supérieure

[AMR11]
p. 93

On se place dans le cas réel pour toute cette sous-section.

Lemme 42. Si $(u_{n})$ n’est pas bornée, on peut extraire une sous-suite qui tend vers $\pm \infty$ : $\pm \infty$ est une valeur d’adhérence de $(u_{n})$ dans $\overline{R}$ .

Définition 43. On appelle limite inférieure (resp. limite supérieure) de $(u_{n})$ , notée $lim sup_{n \to + \infty} u_{n}$ (resp. $lim inf_{n \to + \infty} u_{n}$ ) la plus grande (resp. plus petite) de ses valeurs d’adhérence.

[DAN]
p. 77

Proposition 44. $(u_{n})$ converge si et seulement si $lim inf_{n \to + \infty} u_{n} = lim sup_{n \to + \infty} u_{n}$ .

Suites particulières

Suites récurrentes

[GOU20]
p. 200

Définition 45. Soit $E \subseteq K$ . On dit que $(u_{n})$ est récurrente d’ordre $h \in N^{*}$ si on peut écrire $\forall n \geq h, u_{n + h} = f (u_{n - 1}, \dots, u_{n - h}) (*)$ où $f : E^{h} \to E$ et les premières valeurs $u_{0}, \dots, u_{h - 1} \in E$ étant donnés.

[AMR11]
p. 38

Théorème 46 (Caractérisation séquentielle de la continuité). En reprenant les notations précédentes, une fonction $g : E \to K$ est continue si et seulement si pour toute suite numérique convergente $(v_{n}) \in E^{N}$ dont on note $ℓ$ la limite, $g (v_{n}) ⟶_{n \to + \infty} ℓ$ .

Corollaire 47. Si une suite récurrente d’ordre $1$ (dont on note $f$ la fonction) converge vers $ℓ$ , alors $f (ℓ) = ℓ$ .

Exemple 48. La suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ et $\forall n \geq 1, u_{n + 1} = sin (u_{n})$ converge vers $0$ .

[ROU]
p. 152

methode-de-newton

Application 49 (Méthode de Newton). Soit $g : [c, d] \to R$ une fonction de classe $C^{2}$ strictement croissante sur $[c, d]$ . On considère la fonction $φ : [c, d] x \to \mapsto R x - \frac{g ( x )}{g ^{'} ( x )}$ (qui est bien définie car $g^{'} > 0$ ). Alors :

$\exists! a \in [c, d]$ tel que $g (a) = 0$ .
$\exists α > 0$ tel que $I = [a - α, a + α]$ est stable par $φ$ .
La suite $(x_{n})$ des itérés (définie par récurrence par $x_{n + 1} = φ (x_{n})$ pour tout $n \geq 0$ ) converge quadratiquement vers $a$ pour tout $x_{0} \in I$ .

Corollaire 50. En reprenant les hypothèses et notations du théorème précédent, et en supposant de plus $g$ strictement convexe sur $[c, d]$ , le résultat du théorème est vrai sur $I = [a, d]$ . De plus :

$(x_{n})$ est strictement décroissante (ou constante).
$x_{n + 1} - a \sim \frac{f ^{''} ( a )}{2 f ^{'} ( a )} (x_{n} - a)^{2}$ pour $x_{0} > a$ .

Exemple 51.

On fixe $y > 0$ . En itérant la fonction $F : x \mapsto \frac{1}{2} (x + \frac{y}{x})$ pour un nombre de départ compris entre $c$ et $d$ où $0 < c < d$ et $c^{2} < 0 < d^{2}$ , on peut obtenir une approximation du nombre $y$ .
En itérant la fonction $F : x \mapsto \frac{x ^{2} + 1}{2 x - 1}$ pour un nombre de départ supérieur à $2$ , on peut obtenir une approximation du nombre d’or $φ = \frac{1 + 5}{2}$ .

Séries numériques

[GOU20]
p. 208

Définition 52.

On appelle série de terme général $u_{n}$ la suite $(S_{n})$ définie par $\forall n \in N, S_{n} = u_{0} + \dots + u_{n}$ On note cette série $\sum u_{n}$ .
$u_{n}$ s’appelle le terme d’indice $n$ .
$S_{n}$ s’appelle la somme partielle d’indice $n$ .

Définition 53. En reprenant les notations précédentes, on dit que $\sum u_{n}$ converge si la suite $(S_{n})$ converge. Dans ce cas, la limite s’appelle la somme de la série, et on la note $\sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}$ .

[AMR11]
p. 81

Proposition 54. Si $\sum u_{n}$ converge, alors $lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ .

Contre-exemple 55. La réciproque est fausse, par exemple en considérant la suite $(u_{n})$ définie pour tout $n \in N$ par $u_{n} = ln (1 + \frac{1}{n})$ , on a $\sum_{k = 1}^{n} u_{k} = ln (n + 1) ⟶_{n \to + \infty} + \infty$ .

Proposition 56. Muni des opérations :

$\forall (u_{n}), (v_{n}) \in K^{N}, \sum u_{n} + \sum v_{n} = \sum (u_{n} + v_{n})$ ,
$\forall λ \in K, \forall (u_{n}) \in K^{N}, λ \sum u_{n} = \sum (λ u_{n})$ ,

l’ensemble des séries numériques est un espace vectoriel sur $K$ dont l’ensemble des séries convergentes est un sous-espace vectoriel.

[GOU20]
p. 214

Proposition 57 (Règle de d’Alembert). Soit $\sum u_{n}$ une série à termes strictement positifs telle que $n \to + \infty lim \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = λ \in [0, + \infty]$ Alors :

Si $λ < 1$ , $\sum u_{n}$ converge.
Si $λ > 1$ , $\sum u_{n}$ diverge.

[AMR11]
p. 94

Exemple 58. $\sum (1 - \frac{1}{n})^{n^{2}}$ converge.

p. 108

Exemple 59. $\sum_{k = 0}^{10} \frac{1}{n !}$ donne une valeur approchée de $e$ à moins de $3 \times 1 0^{- 8}$ près par défaut.

[GOU20]
p. 214

Proposition 60 (Règle de Cauchy). Soit $\sum u_{n}$ une série à termes strictement positifs telle que $n \to + \infty lim n u_{n} = λ \in [0, + \infty]$ Alors :

Si $λ < 1$ , $\sum u_{n}$ converge.
Si $λ > 1$ , $\sum u_{n}$ diverge.

[AMR11]
p. 112

Exemple 61. $\sum (\frac{4 n + 1}{3 n + 2})^{n}$ converge.

[I-P]
p. 380

Lemme 62. Soit $α > 1$ . Lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ , on a $k = n + 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{α}} \sim \frac{1}{α - 1} \frac{1}{n ^{α - 1}}$

developpement-asymptotique-de-la-serie-harmonique

Proposition 63 (Développement asymptotique de la série harmonique). On note $\forall n \in N^{*}, H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$ . Alors, quand $n$ tend vers $+ \infty$ , $H_{n} = ln (n) + γ + \frac{1}{2 n} - \frac{1}{12 n ^{2}} + o (\frac{1}{n ^{2}})$