223 Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

analysis

Dans toute la suite, désignera le corps ou .

Convergence des suites numériques

Limite d’une suite

Définition 1. Soit un ensemble non vide. On appelle suite à valeurs dans toute application est une partie de . Lorsque est une partie de (resp. de ), on dit que est réelle (resp. complexe). Dans ces deux cas, on parle de suite numérique.

On fixe, pour tout le reste de la leçon, une suite numérique à coefficients dans .

Définition 2.

  • Si , on dit que est majorée (resp. minorée) s’il existe tel que , (resp. ).

  • On dit que est bornée s’il existe tel que , (resp. ). Dans le cas où , cela revient à dire que est majorée et minorée.

  • On dit que admet pour limite (ou converge / tend vers ) si, On le note ou .

  • On dit que est convergente si elle admet une limite. Sinon, on dit qu’elle est divergente.

Exemple 3. Si est définie par alors converge vers .

Théorème 4. On a unicité de la limite dans .

Proposition 5. Toute suite numérique convergente est bornée.

Contre-exemple 6. est bornée, non convergente.

Proposition 7. Soit une suite numérique bornée. On suppose . Alors .

Proposition 8. On suppose . Soit une suite numérique qui converge vers . Alors :

  1. .

  2. pour tout .

  3. .

  4. Si , on a à partir d’un certain rang et, .

Définition 9. On suppose .

  • On dit que tend vers si,

  • On dit que tend vers si tend vers .

On a les mêmes notations qu’à la Définition 2.

Proposition 10. On suppose .

  1. est minorée.

  2. est strictement positive à partir d’un certain rang et .

  3. Soit une suite numérique.

    • Si est convergente ou , on a .

    • Si , on a .

Exemple 11. Soit . Alors,

Convergence de suites réelles

Le résultat suivant justifie de se ramener au cas réel lors de l’étude de la convergence des suites numériques.

Proposition 12. Soient deux suites réelles et deux réels. Alors,

On se place pour le restant de la sous-section dans le cas où .

Théorème 13 (des gendarmes). Soient et deux suites réelles de même limite telles qu’à partir d’un certain rang, on ait . Alors, .

Définition 14. est dite croissante (resp. décroissante) si pour tout entier , on a (resp. ). Elle est dite monotone si elle est croissante ou décroissante.

Théorème 15 (de la limite monotone). Si est croissante et majorée ou décroissante et minorée, alors elle est convergente.

Théorème 16 (Suites adjacentes). Si deux suites et sont adjacentes (ie. est croissante, est décroissante et la suite différence tend vers ), alors elles sont convergentes de même limite qui vérifie

Exemple 17. Les suites et sont adjacentes et convergent vers .

Corollaire 18 (Segments emboîtés). Soient et deux suites réelles telles que Alors, il existe un nombre réel unique tel que .

Application 19 (Critère de Leibniz). Soit une suite à termes positifs, décroissantes, tendant vers . Alors (voir 0.3.2.)

Définition 20. Pour cette définition, on ne suppose pas au cas réel.

  • On dit que est négligeable devant une suite réelle positive et on note si,

  • On dit que est équivalente à une suite numérique et on note , si est négligeable devant .

Proposition 21. En reprenant les notations précédentes,

  1. On suppose non nulle à partir d’un certain rang. est négligeable devant si et seulement si .

  2. On suppose non nulle à partir d’un certain rang. est équivalente à si et seulement si .

  3. est une relation d’équivalence sur l’ensemble des suites de .

Exemple 22 (Formule de Stirling).

Proposition 23. Deux suites convergentes équivalentes ont la même limite.

Suites de Cauchy

Définition 24. On dit que est de Cauchy si

Proposition 25.

  1. Une suite convergente est de Cauchy.

  2. Une suite de Cauchy est bornée.

Théorème 26. Toute suite de Cauchy de est convergente dans .

Contre-exemple 27. La série est une suite de Cauchy de non convergente dans .

Convergence au sens de Cesàro

Définition 28. À toute suite numérique on y associe sa suite des moyennes de Cesàro

Théorème 29. Si converge vers , alors sa suite des moyennes de Cesàro converge vers . On dit que converge au sens de Cesàro.

Exemple 30.

  • Soit une suite numérique dont aucun terme n’est nul, qui converge vers . Alors, converge vers .

  • Soit une suite numérique telle que converge vers . Alors,

Remarque 31. La réciproque du Théorème 29 est fausse.

Exemple 32. converge au sens de Cesàro vers , mais pas au sens usuel.

Valeurs d’adhérence

Suites extraites

Définition 33. On appelle sous-suite ou suite extraite de , toute suite est strictement croissante (on dit que est une extractrice).

Proposition 34. Si une suite converge vers , alors toute suite extraite converge vers .

Définition 35. On appelle valeur d’adhérence d’une suite numérique, tout élément de limite d’une de ses sous-suites convergentes.

Remarque 36.

  • Toute suite numérique convergente ne possède que sa limite comme valeur d’adhérence.

  • Une suite possédant une unique valeur d’adhérence n’est pas nécessairement convergente.

Exemple 37. ne possède que comme valeur d’adhérence, mais ne converge pas.

Théorème 38 (Bolzano-Weierstrass). Toute suite numérique bornée possède au moins une sous-suite convergente.

Proposition 39. Une suite numérique est convergente si et seulement si elle est bornée et n’a qu’une seule valeur d’adhérence.

Application 40. Soit un espace métrique compact. Soit une suite de telle que . Alors l’ensemble des valeurs d’adhérence de est connexe.

Corollaire 41 (Lemme de la grenouille). Soient continue et une suite de telle que Alors converge si et seulement si .

Limites inférieure et supérieure

On se place dans le cas réel pour toute cette sous-section.

Lemme 42. Si n’est pas bornée, on peut extraire une sous-suite qui tend vers : est une valeur d’adhérence de dans .

Définition 43. On appelle limite inférieure (resp. limite supérieure) de , notée (resp. ) la plus grande (resp. plus petite) de ses valeurs d’adhérence.

Proposition 44. converge si et seulement si .

Suites particulières

Suites récurrentes

Définition 45. Soit . On dit que est récurrente d’ordre si on peut écrire et les premières valeurs étant donnés.

Théorème 46 (Caractérisation séquentielle de la continuité). En reprenant les notations précédentes, une fonction est continue si et seulement si pour toute suite numérique convergente dont on note la limite, .

Corollaire 47. Si une suite récurrente d’ordre (dont on note la fonction) converge vers , alors .

Exemple 48. La suite définie par et converge vers .

Application 49 (Méthode de Newton). Soit une fonction de classe strictement croissante sur . On considère la fonction (qui est bien définie car ). Alors :

  1. tel que .

  2. tel que est stable par .

  3. La suite des itérés (définie par récurrence par pour tout ) converge quadratiquement vers pour tout .

Corollaire 50. En reprenant les hypothèses et notations du théorème précédent, et en supposant de plus strictement convexe sur , le résultat du théorème est vrai sur . De plus :

  1. est strictement décroissante (ou constante).

  2. pour .

Exemple 51.

  • On fixe . En itérant la fonction pour un nombre de départ compris entre et et , on peut obtenir une approximation du nombre .

  • En itérant la fonction pour un nombre de départ supérieur à , on peut obtenir une approximation du nombre d’or .

Séries numériques

Définition 52.

  • On appelle série de terme général la suite définie par On note cette série .

  • s’appelle le terme d’indice .

  • s’appelle la somme partielle d’indice .

Définition 53. En reprenant les notations précédentes, on dit que converge si la suite converge. Dans ce cas, la limite s’appelle la somme de la série, et on la note .

Proposition 54. Si converge, alors .

Contre-exemple 55. La réciproque est fausse, par exemple en considérant la suite définie pour tout par , on a .

Proposition 56. Muni des opérations :

  • ,

  • ,

l’ensemble des séries numériques est un espace vectoriel sur dont l’ensemble des séries convergentes est un sous-espace vectoriel.

Proposition 57 (Règle de d’Alembert). Soit une série à termes strictement positifs telle que Alors :

  1. Si , converge.

  2. Si , diverge.

Exemple 58. converge.

Exemple 59. donne une valeur approchée de à moins de près par défaut.

Proposition 60 (Règle de Cauchy). Soit une série à termes strictement positifs telle que Alors :

  1. Si , converge.

  2. Si , diverge.

Exemple 61. converge.

Lemme 62. Soit . Lorsque tend vers , on a

Proposition 63 (Développement asymptotique de la série harmonique). On note . Alors, quand tend vers ,