224 Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

analysis

Comparaison de suites et de fonctions

Soit $E$ un espace vectoriel normé sur $R$ .

Relations de comparaison

Définition 1. Soit $X$ un espace métrique. On considère deux applications $f, g : D \to E$ où $D \subseteq X$ . Soit $x_{0}$ un point d’accumulation de $D$ .

On dit que $f$ est dominée par $g$ au voisinage de $x_{0}$ , si $\exists C > 0, \exists V voisinage de x_{0} tels que \forall x \in V \cap D, ∥ f (x) ∥ \leq C ∥ g (x) ∥$ On note alors $f (x) = O (g (x))$ quand $x \to x_{0}$ .
On dit que $f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $x_{0}$ , si $\forall ϵ > 0, \exists V voisinage de x_{0} tels que \forall x \in V \cap D, ∥ f (x) ∥ \leq ϵ ∥ g (x) ∥$ On note alors $f (x) = o (g (x))$ quand $x \to x_{0}$ .
On dit que $f$ et $g$ sont équivalentes au voisinage de $x_{0}$ si $f (x) - g (x) = o (g (x))$ quand $x \to x_{0}$ et on écrit alors $f (x) \sim g (x)$ quand $x \to x_{0}$ .

Remarque 2. Dans la pratique, on utilisera souvent cette notation pour des fonction de $R$ dans $C$ au voisinage d’un point de $R$ ou de l’infini, ou pour des suites réelles ou complexes $(u_{n})$ quand $n \to + \infty$ .

[DAN]
p. 132

Exemple 3. Soit $f : R \to R$ . Soit $x_{0} \in \overline{R}$ .

$f = O (1)$ si et seulement si $f$ est une application bornée au voisinage de $x_{0}$ .
$f = o (1)$ si et seulement si $f$ admet $0$ pour limite en $x_{0}$ .
$f = o (\frac{1}{x})$ en $+ \infty$ signifie que $x \mapsto x f (x)$ admet pour limite $0$ en $+ \infty$ .

Proposition 4. On considère deux applications $f, g : D \to R$ où $D \subseteq R$ . Soit $x_{0} \in \overline{R}$ . On suppose qu’il existe un voisinage $V_{0}$ de $x_{0}$ tel que $g$ ne s’annule pas. Alors, quand $x \to x_{0}$ :

$f (x) = o (g (x))$ si et seulement si $\frac{f ( x )}{g ( x )} ⟶_{x \to x_{0}} 0$ .
$f (x) \sim g (x)$ si et seulement si $\frac{f ( x )}{g ( x )} ⟶_{x \to x_{0}} 1$ .

Proposition 5. La relation $\sim$ est une relation d’équivalence, compatible avec le produit et la puissance. Si deux fonctions $f_{1}$ et $f_{2}$ équivalentes au voisinage d’un point admettent des limites $ℓ_{1}$ et $ℓ_{2}$ en ce point, alors $ℓ_{1} = ℓ_{2}$ .

Contre-exemple 6.

$\sim$ n’est pas compatible avec l’addition. Par exemple, quand $x \to + \infty$ , $x + x \sim x, - x \sim - x + ln (x) mais x ≁ ln (x)$
$\sim$ n’est pas compatible avec la composition. Par exemple, quand $x \to + \infty$ , $x \sim x + 1 mais e^{x} ≁ e^{x + 1}$

Développement limité

Dans cette partie, $I$ désigne un intervalle de $R$ non réduit à un point. Soit $f : I \to E$ une application.

[GOU20]
p. 89

On suppose $0 \in I$ .

Définition 7. On dit que $f$ admet un développement limité à l’ordre $n \in N^{*}$ s’il existe $a_{0}, \dots, a_{n} \in E$ tels que, au voisinage de $0$ , $f (x) = k = 0 \sum n a_{k} x^{k} + o (x^{n})$

Remarque 8. On pourrait de même définir les développements limités au voisinage d’un point $a \in \overline{I}$ .

Proposition 9.

Un développement limité, s’il existe, est unique.
Si $f$ admet un développement limité en $0$ à l’ordre $n \geq 1$ , $f$ est dérivable en $0$ et sa dérivée en $0$ vaut $a_{1}$ .
Si $f$ est paire (resp. impaire), les coefficients du développement limité d’indice impair (resp. pair) sont nuls.
Si $f$ est $n$ fois dérivable en $0$ , $f^{'}$ admet un développement limité en $0$ : $f^{'} (x) = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} x^{k - 1} + o (x^{n - 1})$ .
Si $f$ est dérivable sur $I$ et $f^{'}$ admet un développement limité en $0$ : $f^{'} (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k} + o (x^{n})$ ; alors, $f$ admet un développement limité en $0$ donné par $f (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{a _{k}}{( k + 1 )!} x^{k + 1} + o (x^{k + 1})$ .
Les règles de somme, produit, quotient et composition obéissent aux mêmes règles que pour les polynômes (sous réserve de bonne définition).

Théorème 10 (Formule de Taylor-Young). On suppose $f$ de classe $C^{n}$ sur $I$ telle que $f^{(n + 1)} (x)$ existe pour $x \in I$ . Alors, quand $h ⟶ 0$ , on a $f (x + h) = k = 0 \sum n + 1 \frac{f ^{(k)} ( x )}{k !} h^{k} + o (h^{n + 1})$

Proposition 11. Si $f$ est $n$ fois dérivable en $0$ , alors $f$ admet un développement limité à l’ordre $n$ en $0$ : $f (x) = k = 0 \sum n + 1 \frac{f ^{(k)} ( 0 )}{k !} x^{k} + o (x^{n + 1})$

Exemple 12. En $0$ , on a les développements limités usuels suivants.

$e^{x} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{x ^{k}}{k !} + o (x^{n})$ .
$sin (x) = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} \frac{x ^{2 k + 1}}{( 2 k + 1 )!} + o (x^{2 n + 2})$ .
$cos (x) = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} \frac{x ^{2 k}}{( 2 k )!} + o (x^{2 n + 1})$ .
$sinh (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{x ^{2 k + 1}}{( 2 k + 1 )!} + o (x^{2 n + 2})$ .
$cosh (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{x ^{2 k}}{( 2 k )!} + o (x^{2 n + 1})$ .
Pour tout $α \in R$ , $(1 + x)^{α} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - k + 1 )}{k !} + o (x^{n})$ .

Application 13. $x \to 0 lim \frac{tan ( x ) - x}{sin ( x ) - x} = - 2$

Développement asymptotique

Définition 14. Soient $X$ un espace métrique et $x_{0} \in X$ . On appelle échelle de comparaison un ensemble $E$ de fonctions définies au voisinage de $x_{0}$ dans $X$ , sauf éventuellement en $x_{0}$ , et vérifiant la propriété suivante : si $f, g \in E$ , alors $f = g$ ou bien $f = o (g)$ ou bien $g = o (f)$ .

Exemple 15. Au voisinage de $+ \infty$ pour les fonctions de la variable réelle, les fonctions du type $x \mapsto x^{α}$ pour $α \in R$ forment une échelle de comparaison.

Définition 16. Soit $X$ un espace métrique. On considère deux applications $f, g : D \to E$ où $D \subseteq X$ . Soient $x_{0}$ un point d’accumulation de $D$ et $k \in N^{*}$ . On appelle développement asymptotique à $k$ termes de $f$ par rapport à une échelle de comparaison $E$ au voisinage de $x_{0}$ toute expression de la forme $i = 1 \sum k c_{i} f_{i}$ vérifiant

$c_{1}, \dots, c_{k} \in E$ sont des constantes multiplicatives.
$f_{1}, \dots, f_{k} \in E$ avec pour tout $i \in [[1, k]]$ , $f_{i + 1} (x) = o (f_{i} (x))$ .
$f (x) = \sum_{i = 1}^{k} c_{i} f_{i} + o (f_{k} (x))$ quand $x \to x_{0}$ .

$c_{1} f_{1}$ est appelée partie principale de $f$ au point $x_{0}$ .

Remarque 17. En reprenant les notations précédentes :

$f (x) \sim c_{1} f_{1} (x)$ quand $x \to x_{0}$ .
Un tel développement, s’il existe, est unique.

Exemples de développements asymptotiques de suites

Séries numériques

p. 212

Proposition 18 (Comparaison série - intégrale). Soit $f : R^{+} \to R^{+}$ une fonction positive, continue par morceaux et décroissante sur $R^{+}$ . Alors la suite $(U_{n})$ définie par $\forall n \in N, k = 0 \sum n f (k) - \int_{0}^{n} f (t) d t$ est convergente. En particulier, la série $\sum f (n)$ et l’intégrale $\int_{0}^{+ \infty} f (t) d t$ sont de même nature.

[I-P]
p. 380

Lemme 19. Soit $α > 1$ . Lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ , on a $k = n + 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{α}} \sim \frac{1}{α - 1} \frac{1}{n ^{α - 1}}$

developpement-asymptotique-de-la-serie-harmonique

Proposition 20 (Développement asymptotique de la série harmonique). On note $\forall n \in N^{*}, H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$ . Alors, quand $n$ tend vers $+ \infty$ , $H_{n} = ln (n) + γ + \frac{1}{2 n} - \frac{1}{12 n ^{2}} + o (\frac{1}{n ^{2}})$

[GOU20]
p. 212

Application 21 (Série de Bertrand). La série de Bertrand $\sum \frac{1}{n ^{α} l n ( n ) ^{β}}$ converge si et seulement si $α > 1$ ou si $α = 1$ et $β > 1$ .

Suites récurrentes

[AMR11]
p. 53

Définition 22. À toute suite numérique $(u_{n})$ on y associe sa suite $(v_{n})$ des moyennes de Cesàro où $\forall n \in N, v_{n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n u_{k}$

Théorème 23. Si $(u_{n})$ converge vers $ℓ \in K$ , alors sa suite des moyennes de Cesàro converge vers $ℓ$ . On dit que $(u_{n})$ converge au sens de Cesàro.

[FGN3]
p. 142

Proposition 24. Soit $f$ une application continue définie au voisinage de $0^{+}$ admettant un développement asymptotique en $0$ de la forme $f (x) = x - a x^{α} + o (x^{α})$ , où $a > 0$ et $α > 1$ . Alors pour $u_{0} > 0$ assez petit, la suite $(u_{n})$ définie par $u_{n + 1} = f (u_{n})$ pour $n \in N$ vérifie $u_{n} \sim \frac{1}{( na ( α - 1 ) ) ^{\frac{1}{α - 1}}}$

Exemple 25. Si $f = sin$ et $(u_{n})$ est définie par $u_{0} \in [0, 2 π]$ et $\forall n \in N, u_{n + 1} = f (u_{n})$ , on a l’équivalent en $+ \infty$ : $u_{n} \sim \frac{3}{n}$

[GOU20]
p. 228

Proposition 26. En reprenant les notations précédentes, on a, pour $u_{0} \in] 0, \frac{π}{2}]$ , $u_{n} = \frac{3}{n} - \frac{3 3}{10} \frac{ln ( n )}{n n} + o (\frac{ln ( n )}{n n})$

[FGN3]
p. 148

Exemple 27. On définit $(u_{n})$ par $u_{0} \in R$ et $\forall n \in N, u_{n + 1} = u_{n} + e^{- u_{n}}$ , on a l’équivalent en $+ \infty$ : $u_{n} = n + \frac{ln ( n )}{2 n} + o (\frac{ln ( n )}{n})$

[ROU]
p. 152

methode-de-newton

Théorème 28 (Méthode de Newton). Soit $f : [c, d] \to R$ une fonction de classe $C^{2}$ strictement croissante sur $[c, d]$ . On considère la fonction $φ : [c, d] x \to \mapsto R x - \frac{f ( x )}{f ^{'} ( x )}$ (qui est bien définie car $f^{'} > 0$ ). Alors :

$\exists! a \in [c, d]$ tel que $f (a) = 0$ .
$\exists α > 0$ tel que $I = [a - α, a + α]$ est stable par $φ$ .
La suite $(x_{n})$ des itérés (définie par récurrence par $x_{n + 1} = φ (x_{n})$ pour tout $n \geq 0$ ) converge quadratiquement vers $a$ pour tout $x_{0} \in I$ .

Corollaire 29. En reprenant les hypothèses et notations du théorème précédent, et en supposant de plus $f$ strictement convexe sur $[c, d]$ , le résultat du théorème est vrai sur $I = [a, d]$ . De plus :

$(x_{n})$ est strictement décroissante (ou constante).
$x_{n + 1} - a \sim \frac{f ^{''} ( a )}{2 f ^{'} ( a )} (x_{n} - a)^{2}$ pour $x_{0} > a$ .

Exemple 30.

On fixe $y > 0$ . En itérant la fonction $F : x \mapsto \frac{1}{2} (x + \frac{y}{x})$ pour un nombre de départ compris entre $c$ et $d$ où $0 < c < d$ et $c^{2} < 0 < d^{2}$ , on peut obtenir une approximation du nombre $y$ .
En itérant la fonction $F : x \mapsto \frac{x ^{2} + 1}{2 x - 1}$ pour un nombre de départ supérieur à $2$ , on peut obtenir une approximation du nombre d’or $φ = \frac{1 + 5}{2}$ .

Suites définies implicitement

[FGN3]
p. 181

Exemple 31. Soit $n \in N$ . Soit $a_{n}$ la plus grande racine réelle de $X^{2 n} - 2 n X + 1$ . Alors, $a_{n} = 1 + \frac{ln ( 2 n )}{2 n} + o (\frac{ln ( n )}{n})$

Exemple 32. Soit $(u_{n})$ une suite de réels vérifiant $\forall n \in N, u_{n}^{5} + n u_{n} - 1 = 0$ . Alors, $u_{n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n ^{6}} + o (\frac{1}{n ^{6}})$

Exemple 33. Soit $c > 0$ . On note $x_{n}$ l’unique racine réelle de $x \mapsto x sin (x) - c cos (x)$ . Alors, $x_{n} - nπ \sim \frac{c}{nπ}$

Exemples de développements asymptotiques de fonctions

Fonctions définies par la somme d’une série

[G-K]
p. 307

Théorème 34 (Central limite). Soit $(X_{n})$ une suite de variables aléatoires réelles indépendantes de même loi admettant un moment d’ordre $2$ . On note $m$ l’espérance et $σ^{2}$ la variance commune à ces variables. On pose $S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n} - nm$ . Alors, $(\frac{S _{n}}{n}) ⟶ (d) N (0, σ^{2})$

Application 35 (Théorème de Moivre-Laplace). On suppose que $(X_{n})$ est une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi $B (p)$ . Alors, $\frac{\sum _{k = 1}^{n} X _{k} - n p}{n} ⟶ (d) N (0, p (1 - p))$

p. 180

Lemme 36. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes telles que $X \sim Γ (a, γ)$ et $Y \sim Γ (b, γ)$ . Alors $Z = X + Y \sim Γ (a + b, γ)$ .

p. 556

Application 37 (Formule de Stirling). $n! \sim 2 nπ (\frac{n}{e})^{n}$

[GOU20]
p. 159

Proposition 38. Soit $f : R^{+} \to R$ une fonction continue par morceaux et décroissante, telle que l’intégrale $\int_{0}^{+ \infty} f (t) d t$ converge et est non nulle. Alors, $\sum_{n = 1}^{+ \infty} f (n t)$ converge et, $n = 1 \sum + \infty f (n t) \sim \frac{1}{t} n = 0 \sum + \infty f (t) d t$

Exemple 39. $n = 1 \sum + \infty x^{n^{2}} \sim \frac{c}{- ln ( x )} \sim \frac{c}{1 - x}$ où $c = \int_{0}^{+ \infty} e^{- u^{2}} d u = \frac{π}{2}$ .

Fonctions définies par une intégrale

p. 163

Théorème 40. Soient $[a, b [$ un intervalle semi-ouvert de $R$ (avec $- \infty < a < b \leq + \infty$ ), $E$ un espace de Banach sur $R$ , $f : [a, b [\to E$ et $g : [a, b [\to R_{*}^{+}$ deux applications continues par morceaux sur $[a, b [$ .

Si $\int_{a}^{b} g (t) d t$ diverge, alors quand $x \to b^{-}$ ,
- Si $f (t) = O (g (t))$ , alors $\int_{a}^{x} f (t) d t = O (\int_{a}^{x} g (t) d t)$ .
- Si $f (t) = o (g (t))$ , alors $\int_{a}^{x} f (t) d t = o (\int_{a}^{x} g (t) d t)$ .
- Si $f (t) \sim g (t)$ , alors $\int_{a}^{x} f (t) d t \sim \int_{a}^{x} g (t) d t$ .
Si $\int_{a}^{b} g (t) d t$ converge, alors quand $x \to b^{-}$ ,
- Si $f (t) = O (g (t))$ , alors $\int_{x}^{b} f (t) d t = O (\int_{x}^{b} g (t) d t)$ .
- Si $f (t) = o (g (t))$ , alors $\int_{x}^{b} f (t) d t = o (\int_{x}^{b} g (t) d t)$ .
- Si $f (t) \sim g (t)$ , alors $\int_{x}^{b} f (t) d t \sim \int_{x}^{b} g (t) d t$ .

Exemple 41. Lorsque $x \to + \infty$ : $ln x = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t = o (\int_{1}^{x} t^{α - 1} d t) = o (x^{α})$ pour tout $α > 0$ .

Application 42. Soient $a \in R$ et $g : [a, + \infty [\to R$ une application de classe $C^{1}$ . On suppose que $g$ ne s’annule pas au voisinage de $+ \infty$ et que lorsque $x \to + \infty$ , on a $\frac{g ^{'} ( x )}{g ( x )} \sim \frac{μ}{x}$ pour $μ \in / {- 1, 0}$ . Alors,

Si $μ > - 1$ , $\int_{a}^{+ \infty} g (t) d t$ diverge et $\int_{a}^{x} g (t) d t \sim \frac{xg ( x )}{μ + 1}$ quand $x \to + \infty$ .
Si $μ < - 1$ , $\int_{a}^{+ \infty} g (t) d t$ converge et $\int_{x}^{+ \infty} g (t) d t \sim - \frac{xg ( x )}{μ + 1}$ quand $x \to + \infty$ .

p. 173

Exemple 43. Lorsque $x \to + \infty$ : $\int_{2}^{x} \frac{d t}{ln ( t )} = i = 1 \sum k \frac{x}{ln ( x ) ^{i}} (i - 1)! + o (\frac{x}{ln ( x ) ^{k}})$

[ROM21]
p. 364

Proposition 44. La fonction $Γ$ définie pour tout $x > 0$ par $Γ (x) = \int_{0}^{+ \infty} t^{x - 1} e^{- t} d t$ vérifie :

$\forall x \in R_{*}^{+}$ , $Γ (x + 1) = x Γ (x)$ .
$Γ (1) = 1$ .
$Γ$ est log-convexe sur $R_{*}^{+}$ .

De plus, $\forall x \in] 0, 1], Γ (x) = n \to + \infty lim \frac{n ^{x} n !}{( x + n ) \dots ( x + 1 ) x}$ (que l’on peut étendre à $R_{*}^{+}$ entier).

[GOU20]
p. 166

Théorème 45 (Formule de Stirling généralisée). $Γ (x) \sim 2 π x (\frac{x}{e})^{x}$