224 Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.
Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.
analysis
Comparaison de suites et de fonctions
Soit un espace vectoriel normé sur .
Relations de comparaison
Définition 1. Soit un espace métrique. On considère deux applications où . Soit un point d’accumulation de .
On dit que est dominée par au voisinage de , si On note alors quand .
On dit que est négligeable devant au voisinage de , si On note alors quand .
On dit que et sont équivalentes au voisinage de si quand et on écrit alors quand .
Remarque 2. Dans la pratique, on utilisera souvent cette notation pour des fonction de dans au voisinage d’un point de ou de l’infini, ou pour des suites réelles ou complexes quand .
Exemple 3. Soit . Soit .
si et seulement si est une application bornée au voisinage de .
si et seulement si admet pour limite en .
en signifie que admet pour limite en .
Proposition 4. On considère deux applications où . Soit . On suppose qu’il existe un voisinage de tel que ne s’annule pas. Alors, quand :
si et seulement si .
si et seulement si .
Proposition 5. La relation est une relation d’équivalence, compatible avec le produit et la puissance. Si deux fonctions et équivalentes au voisinage d’un point admettent des limites et en ce point, alors .
Contre-exemple 6.
n’est pas compatible avec l’addition. Par exemple, quand ,
n’est pas compatible avec la composition. Par exemple, quand ,
Développement limité
Dans cette partie, désigne un intervalle de non réduit à un point. Soit une application.
On suppose .
Définition 7. On dit que admet un développement limité à l’ordre s’il existe tels que, au voisinage de ,
Remarque 8. On pourrait de même définir les développements limités au voisinage d’un point .
Proposition 9.
Un développement limité, s’il existe, est unique.
Si admet un développement limité en à l’ordre , est dérivable en et sa dérivée en vaut .
Si est paire (resp. impaire), les coefficients du développement limité d’indice impair (resp. pair) sont nuls.
Si est fois dérivable en , admet un développement limité en : .
Si est dérivable sur et admet un développement limité en : ; alors, admet un développement limité en donné par .
Les règles de somme, produit, quotient et composition obéissent aux mêmes règles que pour les polynômes (sous réserve de bonne définition).
Théorème 10 (Formule de Taylor-Young). On suppose de classe sur telle que existe pour . Alors, quand , on a
Proposition 11. Si est fois dérivable en , alors admet un développement limité à l’ordre en :
Exemple 12. En , on a les développements limités usuels suivants.
.
.
.
.
.
Pour tout , .
Application 13.
Développement asymptotique
Définition 14. Soient un espace métrique et . On appelle échelle de comparaison un ensemble de fonctions définies au voisinage de dans , sauf éventuellement en , et vérifiant la propriété suivante : si , alors ou bien ou bien .
Exemple 15. Au voisinage de pour les fonctions de la variable réelle, les fonctions du type pour forment une échelle de comparaison.
Définition 16. Soit un espace métrique. On considère deux applications où . Soient un point d’accumulation de et . On appelle développement asymptotique à termes de par rapport à une échelle de comparaison au voisinage de toute expression de la forme vérifiant
sont des constantes multiplicatives.
avec pour tout , .
quand .
est appelée partie principale de au point .
Remarque 17. En reprenant les notations précédentes :
quand .
Un tel développement, s’il existe, est unique.
Exemples de développements asymptotiques de suites
Séries numériques
Proposition 18 (Comparaison série - intégrale). Soit une fonction positive, continue par morceaux et décroissante sur . Alors la suite définie par est convergente. En particulier, la série et l’intégrale sont de même nature.
Lemme 19. Soit . Lorsque tend vers , on a
developpement-asymptotique-de-la-serie-harmonique
Proposition 20 (Développement asymptotique de la série harmonique). On note . Alors, quand tend vers ,
Application 21 (Série de Bertrand). La série de Bertrand converge si et seulement si ou si et .
Suites récurrentes
Définition 22. À toute suite numérique on y associe sa suite des moyennes de Cesàro où
Théorème 23. Si converge vers , alors sa suite des moyennes de Cesàro converge vers . On dit que converge au sens de Cesàro.
Proposition 24. Soit une application continue définie au voisinage de admettant un développement asymptotique en de la forme , où et . Alors pour assez petit, la suite définie par pour vérifie
Exemple 25. Si et est définie par et , on a l’équivalent en :
Proposition 26. En reprenant les notations précédentes, on a, pour ,
Exemple 27. On définit par et , on a l’équivalent en :
methode-de-newton
Théorème 28 (Méthode de Newton). Soit une fonction de classe strictement croissante sur . On considère la fonction (qui est bien définie car ). Alors :
tel que .
tel que est stable par .
La suite des itérés (définie par récurrence par pour tout ) converge quadratiquement vers pour tout .
Corollaire 29. En reprenant les hypothèses et notations du théorème précédent, et en supposant de plus strictement convexe sur , le résultat du théorème est vrai sur . De plus :
est strictement décroissante (ou constante).
pour .
Exemple 30.
On fixe . En itérant la fonction pour un nombre de départ compris entre et où et , on peut obtenir une approximation du nombre .
En itérant la fonction pour un nombre de départ supérieur à , on peut obtenir une approximation du nombre d’or .
Suites définies implicitement
Exemple 31. Soit . Soit la plus grande racine réelle de . Alors,
Exemple 32. Soit une suite de réels vérifiant . Alors,
Exemple 33. Soit . On note l’unique racine réelle de . Alors,
Exemples de développements asymptotiques de fonctions
Fonctions définies par la somme d’une série
Théorème 34 (Central limite). Soit une suite de variables aléatoires réelles indépendantes de même loi admettant un moment d’ordre . On note l’espérance et la variance commune à ces variables. On pose . Alors,
Application 35 (Théorème de Moivre-Laplace). On suppose que est une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi . Alors,
Lemme 36. Soient et deux variables aléatoires indépendantes telles que et . Alors .
Application 37 (Formule de Stirling).
Proposition 38. Soit une fonction continue par morceaux et décroissante, telle que l’intégrale converge et est non nulle. Alors, converge et,
Exemple 39. où .
Fonctions définies par une intégrale
Théorème 40. Soient un intervalle semi-ouvert de (avec ), un espace de Banach sur , et deux applications continues par morceaux sur .
Si diverge, alors quand ,
Si , alors .
Si , alors .
Si , alors .
Si converge, alors quand ,
Si , alors .
Si , alors .
Si , alors .
Exemple 41. Lorsque : pour tout .
Application 42. Soient et une application de classe . On suppose que ne s’annule pas au voisinage de et que lorsque , on a pour . Alors,
Si , diverge et quand .
Si , converge et quand .
Exemple 43. Lorsque :
Proposition 44. La fonction définie pour tout par vérifie :
, .
.
est log-convexe sur .
De plus, (que l’on peut étendre à entier).
Théorème 45 (Formule de Stirling généralisée).