228 Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

analysis

Soient $I$ un intervalle de $R$ non réduit à un point et $f : I \to R$ une fonction.

Continuité et dérivabilité

Continuité

[ROM19-1]
p. 163

Définition 1

$f$ est continue au point $a \in I$ si $\forall ϵ > 0, \exists η > 0, \forall x \in I, ∣ x - a ∣ < η ⟹ ∣ f (x) - f (a) ∣ < ϵ$
$f$ est continue sur $I$ si $f$ est continue en tout point de $I$ .

Exemple 2

Pour tout entier $n$ , $x \mapsto x^{n}$ est continue sur $R$ .

Théorème 3

Caractérisations séquentielle et topologique de la continuité

$f$ est continue en $a \in I$ si et seulement si toute suite de points de $I$ qui converge vers $a$ est transformée par $f$ en une suite convergente vers $f (a)$ .
$f$ est continue sur $I$ si et seulement si l’image réciproque par $f$ de tout ouvert (resp. fermé) de $R$ est un ouvert (resp. fermé) de $I$ .

Exemple 4

La fonction $x \mapsto cos (\frac{1}{x})$ définie sur $R_{*}$ n’admet pas de prolongement continu en $0$ .

Proposition 5

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions définies sur $I$ à valeurs réelles et continues en $a \in I$ , alors $∣ f ∣$ , $f + g$ , $f g$ , $min (f, g)$ et $max (f, g)$ sont continues en $a$ .

Uniforme continuité

[GOU20]
p. 12

Définition 6

$f$ est uniformément continue sur $I$ si $\forall ϵ > 0, \exists η > 0, \forall x, y \in I, ∣ x - y ∣ < η ⟹ ∣ f (x) - f (y) < ϵ$

Remarque 7

En particulier, une fonction uniformément continue sur un intervalle est continue sur ce même intervalle.

Exemple 8

Une fonction lipschitzienne sur $I$ est uniformément continue sur $I$ .

Contre-exemple 9

La fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ définie sur $] 0, 1]$ est continue mais n’est pas uniformément continue.

p. 18

Proposition 10

On se place dans le cas où $I = R^{+}$ et on suppose $f$ uniformément continue sur $R^{+}$ . Alors, $\exists α, β \in R_{*}^{+} tels que \forall x \in R^{+}, ∣ f (x) ∣ \leq α x + β$

p. 24

Théorème 11

Prolongement des applications uniformément continuesSoit $J \subseteq I$ dense dans $I$ et soit $g : J \to R$ uniformément continue sur $J$ . Alors, $\exists! h : I \to R uniform \overset{e}{ˊ} ment continue et telle que h_{∣ J} = g$

Dérivabilité

p. 71

Définition 12

On dit que $f$ est dérivable en $a \in I$ si $t \to a t \neq = a lim \frac{f ( t ) - f ( a )}{t - a}$ existe. Lorsque cette limite existe, elle est notée $f^{'} (a)$ .

Remarque 13

De même, $f$ est dérivable à gauche (resp. à droite) en $a \in I$ si $lim_{t \to a t < a t \in I} \frac{f ( t ) - f ( a )}{t - a}$ existe (resp. $lim_{t \to a t > a t \in I} \frac{f ( t ) - f ( a )}{t - a}$ existe). On la note alors $f_{g}^{'} (a)$ (resp. $f_{d}^{'} (a)$ ).
Pour $a \in \overset{˚}{I}$ , $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si $f$ est dérivable à gauche et à droite en $a$ , avec $f_{g}^{'} (a) = f_{d}^{'} (a)$ .
$f$ est dérivable en $a \in I$ si et seulement si, quand $x$ tend vers $a$ , $\exists ℓ \in R, f (x) = f (a) + (x - a) ℓ + o (x - a)$

Proposition 14

Si $f$ est dérivable en $a \in I$ , alors $f$ est continue en $a$ .

p. 86

Contre-exemple 15

On note $Δ$ la fonction définie sur $R$ $1$ -périodique et telle que la restriction à $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ vérifie $Δ (x) = ∣ x ∣$ . Alors, $f : x \mapsto p = 0 \sum + \infty \frac{1}{2 ^{p}} Δ (2^{p} x)$ est bien définie, continue sur $R$ , mais dérivable en aucun point de $R$ .

p. 72

Remarque 16

La fonction dérivée $f^{'} : x \mapsto f^{'} (x)$ n’est pas forcément continue là où elle est définie.

Exemple 17

La fonction $x \mapsto {x^{2} sin (\frac{1}{x}) si x \neq = 0 0 sinon$ définie sur $R$ est dérivable, de dérivée $x \mapsto {2 x sin (\frac{1}{x}) - cos (\frac{1}{x}) si x \neq = 0 0 sinon$ définie sur $R$ mais non continue en $0$ .

Proposition 18

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions définies sur $I$ à valeurs réelles et dérivables en $a \in I$ . Alors :

$\forall λ, μ \in R, λ f + μg$ est dérivable en $a$ et $(λ f + μg)^{'} (a) = λ f^{'} (a) + μ g^{'} (a)$ .
$f g$ est dérivable en $a$ et $(f g)^{'} (a) = f^{'} (a) g (a) + f (a) g^{'} (a)$ .
Si $g (a) \neq = 0$ , alors $\frac{f}{g}$ est dérivable en $a$ et $(\frac{f}{g})^{'} (a) = \frac{f ^{'} ( a ) g ( a ) - f ( a ) g ^{'} ( a )}{g ( a ) ^{2}}$ .

Définition 19

On dit que $f$ est de classe $C^{n}$ sur $I$ si $\forall k \in [[0, n]]$ , $f^{(k)}$ (la dérivée $k$ -ième de $f$ ) existe et continue.

Proposition 20

Formule de LeibnizSoit $a \in I$ . Si $f$ et $g$ sont deux fonctions définies sur $I$ à valeurs réelles et qui admettent une dérivée $n$ -ième en $a$ , $(f g)^{(n)} (a) = k = 0 \sum n (k n) f^{(k)} (a) g^{(n - k)} (a)$

Proposition 21

Soit $J$ un intervalle de $R$ . Si $g : I \to J$ est dérivable en $a$ et si $f : J \to R$ est dérivable en $g (a)$ , alors $f \circ g$ est dérivable en $a$ et $(f \circ g)^{'} (a) = g^{'} (a) f^{'} (g (a))$

Corollaire 22

Soient $J$ un intervalle de $R$ et $h : I \to J$ une bijection continue sur $I$ et dérivable en $a \in I$ . Alors, $h^{- 1}$ est dérivable en $b = h (a)$ si et seulement si $h^{'} (a) \neq = 0$ , et on a $(h^{- 1})^{'} (b) = \frac{1}{h ^{'} ( a )} = \frac{1}{h ^{'} ( h ^{- 1} ( b ))}$

Corollaire 23

La composée de deux applications de classe $C^{n}$ est de classe $C^{n}$ .

Fonctions particulières qui sont dérivables ou continues

Fonctions convexes

[ROM19-1]
p. 225

Définition 24

$f$ est convexe si $\forall x, y \in I, \forall t \in [0, 1], f ((1 - t) x + t y) \leq (1 - t) f (x) + t f (y)$

Exemple 25

$x \mapsto ∣ x ∣$ est convexe sur $R$ .
$exp$ est convexe sur $R$ .

[GOU20]
p. 96

Proposition 26

Si $f$ est convexe, elle possède en tout point de $\overset{˚}{I}$ une dérivée à droite et une dérivée à gauche. Elle est donc continue sur $\overset{˚}{I}$ . De plus les applications dérivées à gauche $f_{g}^{'}$ et à droite $f_{d}^{'}$ sont croissantes avec $f_{g}^{'} (x) \leq f_{d}^{'} (x)$ pour tout $x \in \overset{˚}{I}$ .

Proposition 27

On suppose $f$ deux fois dérivable. Alors, $f$ est convexe si et seulement si $f^{''} (x) \geq 0$ pour tout $x \in I$ .

[ROU]
p. 152

methode-de-newton

Application 28

Méthode de NewtonSoit $g : [c, d] \to R$ une fonction de classe $C^{2}$ strictement croissante sur $[c, d]$ . On considère la fonction $φ : [c, d] x \to \mapsto R x - \frac{g ( x )}{g ^{'} ( x )}$ (qui est bien définie car $g^{'} > 0$ ). Alors :

$\exists! a \in [c, d]$ tel que $g (a) = 0$ .
$\exists α > 0$ tel que $I = [a - α, a + α]$ est stable par $φ$ .
La suite $(x_{n})$ des itérés (définie par récurrence par $x_{n + 1} = φ (x_{n})$ pour tout $n \geq 0$ ) converge quadratiquement vers $a$ pour tout $x_{0} \in I$ .

Corollaire 29

En reprenant les hypothèses et notations du théorème précédent, et en supposant de plus $g$ strictement convexe sur $[c, d]$ , le résultat du théorème est vrai sur $I = [a, d]$ . De plus :

$(x_{n})$ est strictement décroissante (ou constante).
$x_{n + 1} - a \sim \frac{f ^{''} ( a )}{2 f ^{'} ( a )} (x_{n} - a)^{2}$ pour $x_{0} > a$ .

Exemple 30

On fixe $y > 0$ . En itérant la fonction $F : x \mapsto \frac{1}{2} (x + \frac{y}{x})$ pour un nombre de départ compris entre $c$ et $d$ où $0 < c < d$ et $c^{2} < 0 < d^{2}$ , on peut obtenir une approximation du nombre $y$ .
En itérant la fonction $F : x \mapsto \frac{x ^{2} + 1}{2 x - 1}$ pour un nombre de départ supérieur à $2$ , on peut obtenir une approximation du nombre d’or $φ = \frac{1 + 5}{2}$ .

Fonction monotones

[R-R]
p. 31

Définition 31

On dit que $f$ est croissante si $\forall x, y \in I, x \leq y ⟹ f (x) \leq f (y)$ .
On dit que $f$ est décroissante si $\forall x, y \in I, x \leq y ⟹ f (x) \geq f (y)$ .
On dit que $f$ est monotone si $f$ est croissante ou décroissante.

[ROM19-1]
p. 163

Définition 32

Si $a \in \overset{˚}{I}$ , et si $f$ est discontinue en $a$ avec des limites à gauche et à droite en ce point, on dit que $f$ a une discontinuité de première espèce en $a$ .

Proposition 33

Une fonction monotone de $I$ dans $R$ ne peut avoir que des discontinuités de première espèce.

Théorème 34

On suppose que $I$ est un intervalle ouvert. Si $f$ est une fonction monotone, alors l’ensemble des points de discontinuités de $f$ est dénombrable.

Exemple 35

La fonction $f$ définie sur $[0, 1]$ par $f (0) = 0$ et $f (x) = \frac{1}{⌊ \frac{1}{x} ⌋}$ est croissante avec une infinité de points de discontinuité.

p. 175

Proposition 36

Si $f$ est une fonction monotone telle que $f (I)$ est un intervalle, elle est alors continue sur $I$ .

Théorème 37

Théorème de la bijection monotoneSi $f$ est une application continue et strictement monotone sur $I$ , alors :

$f (I)$ est un intervalle.
$f^{- 1}$ est continue.
$f^{- 1}$ est strictement monotone de même sens de variation que $f$ .

Exemple 38

La fonction $exp : x \mapsto e^{x}$ est une bijection de $R$ dans $R_{*}^{+}$ qui admet donc une bijection réciproque $ln$ qui est strictement croissante.

[D-L]
p. 405

Théorème 39

Théorème de LebesgueUne application monotone est dérivable presque partout.

Propriétés importantes

Théorème des valeurs intermédiaires

[GOU20]
p. 41

Théorème 40

Des valeurs intermédiairesOn suppose $f$ continue sur $I$ . Alors $f (I)$ est un intervalle.

Remarque 41

Une autre manière d’écrire ce résultat est la suivante. Si $f (a) \leq f (b)$ (resp. $f (a) \geq f (b)$ ) avec $a < b$ , alors pour tout $f (a) \leq γ \leq f (b)$ (resp. $f (b) \leq γ \leq f (a)$ ), il existe $c \in [a, b]$ tel que $f (c) = γ$ .

Corollaire 42

L’image d’un segment de $R$ par $f$ est un segment de $R$ .

Théorème de Rolle

Dans cette partie, $I$ désigne un segment $[a, b]$ de $R$ non réduit à un point.

Théorème 43

Théorème de RolleOn suppose $f$ continue sur $[a, b]$ , dérivable sur $] a, b [$ et telle que $f (a) = f (b)$ . Alors, $\exists c \in] a, b [tel que f^{'} (c) = 0$

Théorème 44

Des accroissements finisOn suppose $f$ continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $] a, b [$ . Alors, $\exists c \in] a, b [tel que f^{'} (c) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$

Corollaire 45

On suppose $f$ continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $] a, b [$ . Alors, $f$ est croissante si et seulement si $f^{'} (x) \geq 0$ pour tout $x \in] a, b [$ . De plus, $f$ est constante si et seulement si $f^{'}$ est identiquement nulle sur $] a, b [$ .

Corollaire 46

On suppose $f$ continue sur $[a, b [$ et dérivable sur $] a, b [$ et telle que $ℓ = lim_{t \to a t > a} f^{'} (t)$ existe. Alors, $f$ est dérivable en $a$ et $f^{'} (a) = ℓ$ .

p. 80

Théorème 47

Théorème de DarbouxOn suppose $f$ dérivable sur $I$ . Alors $f^{'} (I)$ est un intervalle.

Formules de Taylor

p. 75

Dans cette partie, $I$ désigne encore un segment $[a, b]$ de $R$ non réduit à un point.

Théorème 48

Formule de Taylor-LagrangeOn suppose $f$ de classe $C^{n}$ sur $[a, b]$ telle que $f^{(n + 1)}$ existe sur $] a, b [$ . Alors, $\exists c \in] a, b [tel que f (b) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (b - a)^{k} + \frac{f ^{(n + 1)} ( c )}{( n + 1 )!} (b - a)^{n + 1}$

Application 49

$\forall x \in R^{+}, x - \frac{x ^{2}}{2} \leq ln (1 + x) \leq x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3}$ .
$\forall x \in R^{+}, x - \frac{x ^{3}}{6} \leq sin (x) \leq x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120}$ .
$\forall x \in R, 1 - \frac{x ^{2}}{2} \leq cos (x) \leq 1 - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{4}}{24}$ .

Continuité sur un compact

p. 31

Théorème 50

des bornesUne fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes.

Théorème 51

Théorème de HeineUne fonction continue sur un compact y est uniformément continue.

p. 242

Théorème 52

Théorème de BernsteinOn suppose $I = [0, 1]$ et $f$ continue sur $[0, 1]$ . On note $B_{n} (f) : x \mapsto k = 0 \sum n f (\frac{k}{n}) (k n) x^{k} (1 - x)^{n - k}$ Alors, $∥ B_{n} (f) - f ∥_{\infty} ⟶_{n \to + \infty} 0$

p. 304

theoreme-de-weierstrass-par-la-convolution

Théorème 53

Théorème de WeierstrassToute fonction continue sur un compact est limite uniforme de fonctions polynomiales.

Régularité des fonctions limites

Suites et séries de fonctions

p. 233

Proposition 54

Si une suite de fonctions est continue en un point $a$ et converge uniformément vers une fonction limite, alors celle-ci est continue en $a$ .

Contre-exemple 55

La suite de fonctions $(g_{n})$ définie pour tout $n \in N$ et pour tout $x \in [0, 1]$ par $g_{n} (x) = x^{n}$ converge vers une fonction non continue.

Proposition 56

On suppose que $I$ est un segment $[a, b]$ de $R$ non réduit à un point. Soit $(f_{n})$ une suite de fonctions de $I$ dans $R$ . On suppose que :

Il existe $x_{0} \in [a, b]$ tel que $(f_{n} (x_{0}))$ converge.
La suite $(f_{n}^{'})$ converge uniformément sur $[a, b]$ vers une fonction $g$ .

Alors $(f_{n})$ converge uniformément vers une fonction $f$ de classe $C^{1}$ sur $[a, b]$ et telle que $f^{'} = g$ .

p. 302

Exemple 57

La fonction $ζ : s \mapsto \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n ^{s}}$ est $C^{\infty}$ sur $] 1, + \infty [$ .

Fonctions définies par une intégrale

[Z-Q]
p. 312

Soient $(X, A, μ)$ un espace mesuré et $g : E \times X \to C$ où $(E, d)$ est un espace métrique. On pose $G : t \mapsto \int_{X} g (t, x) d μ (x)$ .

Théorème 58

Continuité sous le signe intégralOn suppose :

$\forall t \in E$ , $x \mapsto g (t, x)$ est mesurable.
pp. en $x \in X$ , $t \mapsto g (t, x)$ est continue en $t_{0} \in E$ .
$\exists h \in L_{1} (X)$ positive telle que $∣ g (t, x) ∣ \leq h (x) \forall t \in E, pp. en x \in X$

Alors $G$ est continue en $t_{0}$ .

Théorème 59

Dérivation sous le signe intégralOn suppose :

$\forall t \in I$ , $x \mapsto g (t, x) \in L_{1} (X)$ .
pp. en $x \in X$ , $t \mapsto g (t, x)$ est dérivable sur $I$ . On notera $\frac{\partial g}{\partial t}$ cette dérivée définie presque partout.
$\forall K \subseteq I$ compact, $\exists h_{K} \in L_{1} (X)$ positive telle que $\frac{\partial g}{\partial t} (x, t) \leq h_{K} (x) \forall t \in I, pp. en x$

Alors $\forall t \in I$ , $x \mapsto \frac{\partial g}{\partial t} (x, t) \in L_{1} (X)$ et $G$ est dérivable sur $I$ avec $\forall t \in I, G^{'} (t) = \int_{X} \frac{\partial g}{\partial t} (x, t) d μ (x)$

[G-K]
p. 107

Application 60

Intégrale de DirichletOn pose $\forall x \geq 0$ , $F (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sin ( t )}{t} e^{- x t} d t$ alors :

$F$ est bien définie et est continue sur $R^{+}$ .
$F$ est dérivable sur $R_{*}^{+}$ et $\forall x \in R_{*}^{+}$ , $F^{'} (x) = - \frac{1}{1 + x ^{2}}$ .
$F (0) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{s i n ( t )}{t} d t = \frac{π}{2}$ .

Annexes

[GOU20]
p. 73

Valeur de $f (x)$	Valeur de $f^{'} (x)$
$x^{r}$ ( $r \in R$ )	$r x^{r - 1}$
$ln (x)$	$\frac{1}{x}$
$sin (x)$	$cos (x)$
$cos (x)$	$- sin (x)$
$tan (x)$	$\frac{1}{c o s ( x ) ^{2}}$
$e^{x}$	$e^{x}$
$arctan (x)$	$\frac{1}{1 + x ^{2}}$
$arcsin (x)$	$\frac{1}{1 - x ^{2}}$
$arccos (x)$	$- \frac{1}{1 - x ^{2}}$

Dérivées de fonctions usuelles.