228 Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

analysis

Soient un intervalle de non réduit à un point et une fonction.

Continuité et dérivabilité

Continuité

Définition 1.

  • est continue au point si

  • est continue sur si est continue en tout point de .

Exemple 2. Pour tout entier , est continue sur .

Théorème 3 (Caractérisations séquentielle et topologique de la continuité).

  1. est continue en si et seulement si toute suite de points de qui converge vers est transformée par en une suite convergente vers .

  2. est continue en si et seulement si l’image réciproque par de tout ouvert (resp. fermé) de est un ouvert (resp. fermé) de .

Exemple 4. La fonction définie sur n’est pas continue en .

Proposition 5. Si et sont deux fonctions définies sur à valeurs réelles et continues en , alors , , , et sont continues en .

Uniforme continuité

Définition 6. est uniformément continue sur si

Remarque 7. En particulier, une fonction uniformément continue sur un intervalle est continue sur ce même intervalle.

Exemple 8. Une fonction lipschitzienne sur est uniformément continue sur .

Contre-exemple 9. La fonction définie sur est continue mais n’est pas uniformément continue.

Proposition 10. On se place dans le cas où et on suppose uniformément continue sur . Alors,

Théorème 11 (Prolongement des applications uniformément continues). Soit dense dans et soit uniformément continue sur . Alors,

Dérivabilité

Définition 12. On dit que est dérivable en si existe. Lorsque cette limite existe, elle est notée .

Remarque 13.

  • De même, est dérivable à gauche (resp. à droite) en si existe (resp. existe). On la note alors (resp. ).

  • est dérivable en si et seulement si est dérivable à gauche, à droite et .

  • est dérivable en si et seulement si, quand tend vers ,

Proposition 14. Si est dérivable en , alors est continue en .

Contre-exemple 15. On note la fonction définie sur -périodique et telle que la restriction à vérifie . Alors, est bien définie, continue sur , mais dérivable en aucun point de .

Remarque 16. La fonction dérivée n’est pas forcément continue là où elle est définie.

Exemple 17. La fonction définie sur est dérivable, de dérivée définie sur mais non continue en .

Proposition 18. Si et sont deux fonctions définies sur à valeurs réelles et dérivables en . Alors :

  1. est dérivable en et .

  2. est dérivable en et .

  3. Si , alors est dérivable en et .

Définition 19. On dit que est de classe sur si , (la dérivée -ième de ) existe et continue.

Proposition 20 (Formule de Leibniz). Soit . Si et sont deux fonctions définies sur à valeurs réelles et qui admettent une dérivée -ième en ,

Proposition 21. Soit un intervalle de . Si et sont deux fonctions, alors, en supposant dérivable en et dérivable en , est dérivable en et,

Corollaire 22. Soient un intervalle de et une bijection dérivable en . Alors, est dérivable en si et seulement si , et on a,

Corollaire 23. La composée de deux applications de classe est de classe .

Fonctions particulières qui sont dérivables ou continues

Fonctions convexes

Définition 24. est convexe si

Exemple 25.

  • est convexe sur .

  • est convexe sur .

Proposition 26. Si est convexe, elle possède en tout point de une dérivée à droite et une dérivée à gauche. Elle est donc continue sur . De plus les applications dérivées à gauche et à droite sont croissantes avec pour tout .

Proposition 27. On suppose deux fois dérivable. Alors, est convexe si et seulement si pour tout .

Application 28 (Méthode de Newton). Soit une fonction de classe strictement croissante sur . On considère la fonction (qui est bien définie car ). Alors :

  1. tel que .

  2. tel que est stable par .

  3. La suite des itérés (définie par récurrence par pour tout ) converge quadratiquement vers pour tout .

Corollaire 29. En reprenant les hypothèses et notations du théorème précédent, et en supposant de plus strictement convexe sur , le résultat du théorème est vrai sur . De plus :

  1. est strictement décroissante (ou constante).

  2. pour .

Exemple 30.

  • On fixe . En itérant la fonction pour un nombre de départ compris entre et et , on peut obtenir une approximation du nombre .

  • En itérant la fonction pour un nombre de départ supérieur à , on peut obtenir une approximation du nombre d’or .

Fonction monotones

Définition 31.

  • On dit que est croissante si .

  • On dit que est décroissante si .

  • On dit que est monotone si est croissante ou décroissante.

Définition 32. Si , et si est discontinue en avec des limites à gauche et à droite en ce point, on dit que a une discontinuité de première espèce en .

Proposition 33. Une fonction monotone de dans ne peut avoir que des discontinuités de première espèce.

Théorème 34. On suppose que est un intervalle ouvert. Si est une fonction monotone, alors l’ensemble des points de discontinuités de est dénombrable.

Exemple 35. La fonction définie sur par et est croissante avec une infinité de points de discontinuité.

Proposition 36. Si est une fonction monotone telle que est un intervalle, elle est alors continue sur .

Théorème 37 (Bijection). Si est une application continue et strictement monotone sur , alors :

  1. est un intervalle.

  2. est continue.

  3. est strictement monotone de même sens de variation que .

Exemple 38. La fonction est une bijection de dans qui admet donc une bijection réciproque qui est strictement croissante.

Théorème 39 (Lebesgue). Une application monotone est dérivable presque partout.

Propriétés importantes

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème 40 (Des valeurs intermédiaires). On suppose continue sur . Alors est un intervalle.

Remarque 41. Une autre manière d’écrire ce résultat est la suivante. Si (resp. ) avec , alors pour tout (resp. ), il existe tel que .

Corollaire 42. L’image d’un segment de par est un segment de .

Théorème de Rolle

Dans cette partie, désigne un segment de non réduit à un point.

Théorème 43 (Rolle). On suppose continue sur , dérivable sur et telle que . Alors,

Théorème 44 (Des accroissements finis). On suppose continue sur et dérivable sur . Alors,

Corollaire 45. On suppose continue sur et dérivable sur . Alors, est croissante si et seulement si pour tout , avec égalité si et seulement si est constante.

Corollaire 46. On suppose continue sur et dérivable sur et telle que existe. Alors, est dérivable en et .

Théorème 47 (Darboux). On suppose dérivable sur . Alors est un intervalle.

Formules de Taylor

Dans cette partie, désigne encore un segment de non réduit à un point.

Théorème 48 (Formule de Taylor-Lagrange). On suppose de classe sur telle que existe sur . Alors,

Application 49.

  • .

  • .

  • .

Continuité sur un compact

Proposition 50. Une fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes.

Théorème 51 (Heine). Une fonction continue sur un compact y est uniformément continue.

Théorème 52 (Bernstein). On suppose et continue sur . On note

Théorème 53 (Weierstrass). Toute fonction continue sur un compact est limite uniforme de fonctions polynômiales.

Régularité des fonctions limites

Suites et séries de fonctions

Proposition 54. Si une suite de fonctions est continue en un point et converge uniformément vers une fonction limite, alors celle-ci est continue en .

Contre-exemple 55. La suite de fonctions définie pour tout et pour tout par converge vers une fonction non continue.

Proposition 56. On suppose que est un segment de non réduit à un point. Soit une suite de fonctions de dans . On suppose que :

  1. Il existe tel que converge.

  2. La suite converge uniformément sur vers une fonction .

Alors converge uniformément vers une fonction de classe sur et telle que .

Exemple 57. La fonction est sur .

Fonctions définies par une intégrale

Soient un espace mesuré et est un espace métrique. On pose .

Théorème 58 (Continuité sous le signe intégral). On suppose :

  1. , est mesurable.

  2. pp. en , est continue en .

  3. positive telle que

Alors est continue en .

Théorème 59 (Dérivation sous le signe intégral). On suppose :

  1. , .

  2. pp. en , est dérivable sur . On notera cette dérivée définie presque partout.

  3. compact, positive telle que

Alors , et est dérivable sur avec

Application 60 (Intégrale de Dirichlet). On pose , alors :

  1. est bien définie et est continue sur .

  2. est dérivable sur et , .

  3. .

Annexes

Valeur de Valeur de
()
Dérivées de fonctions usuelles