229 Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

analysis

Fonctions monotones

Définition et première propriétés

Définition 1. Soient $X$ une partie de $R$ et $f : X \to R$ .

On dit que $f$ est croissante si $\forall x, y \in X, x \leq y ⟹ f (x) \leq f (y)$ .
On dit que $f$ est décroissante si $\forall x, y \in X, x \leq y ⟹ f (x) \geq f (y)$ .
On dit que $f$ est monotone si $f$ est croissante ou décroissante.

Remarque 2. Les définitions de $f$ strictement croissante et $f$ strictement décroissante s’obtiennent en remplaçant les inégalités larges par des inégalités strictes dans la définition précédente.

Par conséquent, $f$ est décroissante si et seulement si $- f$ est croissante. Pour cette raison, nous pouvons nous limiter à l’étude des fonctions croissantes.

Exemple 3. $x \mapsto ⌊ x ⌋$ est une fonction monotone.

[D-L]
p. 405

Proposition 4. L’ensemble des fonctions croissantes est stable par addition, par multiplication par un scalaire positif et par composition.

[ROM19-1]
p. 205

Proposition 5. Soient $I \subseteq R$ un intervalle non réduit à un point et $f : I \to R$ . On suppose $f$ dérivable sur $\overset{˚}{I}$ . Alors $f$ est croissante si et seulement si $f^{'} (x) \geq 0$ pour tout $x \in I$ .

Régularité

p. 162

Soit $I \subseteq R$ un intervalle non réduit à un point.

Définition 6. On dit que $f : I \to R$ a pour limite à gauche (resp. à droite) $ℓ$ en $α \in \overline{I}$ si : $\forall ϵ > 0, \exists η > 0, tel que \forall x \in I \cap] α - η, α [, ∣ f (x) - ℓ ∣ < ϵ$ (resp. $\forall ϵ > 0, \exists η > 0, tel que \forall x \in I \cap] α, α + η [, ∣ f (x) - ℓ ∣ < ϵ$ ).

Théorème 7. On suppose que $I$ est un intervalle ouvert. Si $f : I \to R$ est une fonction monotone, elle admet alors une limite à gauche et à droite en tout point. Dans le cas où $f$ est croissante, on a $\forall x \in I, f (x^{-}) = t \in I t < x sup f (t) \leq f (x) \leq f (x^{+}) = t \in I t > x in f f (t)$

Définition 8. Si $α \in \overset{˚}{I}$ , et si $f : I \to R$ est discontinue en $α$ avec des limites à gauche et à droite en ce point, on dit que $f$ a une discontinuité de première espèce en $α$ .

Proposition 9. Une fonction monotone de $I$ dans $R$ ne peut avoir que des discontinuités de première espèce.

Théorème 10. On suppose que $I$ est un intervalle ouvert. Si $f : I \to R$ est une fonction monotone, alors l’ensemble des points de discontinuités de $f$ est dénombrable.

Exemple 11. La fonction $f$ définie sur $[0, 1]$ par $f (0) = 0$ et $f (x) = \frac{1}{⌊ \frac{1}{x} ⌋}$ est croissante avec une infinité de points de discontinuité.

p. 175

Proposition 12. Si $f : I \to R$ est une fonction monotone telle que $f (I)$ est un intervalle, elle est alors continue sur $I$ .

Théorème 13 (Bijection). Si $f : I \to R$ est une application continue et strictement monotone, alors :

$f (I)$ est un intervalle.
$f^{- 1}$ est continue.
$f^{- 1}$ est strictement monotone de même sens de variation que $f$ .

Exemple 14. La fonction $exp : x \mapsto e^{x}$ est une bijection de $R$ dans $R_{*}^{+}$ qui admet donc une bijection réciproque $ln$ qui est strictement croissante.

Proposition 15. Soit $f : I \to R$ . Cette fonction $f$ est injective si et seulement si elle est strictement monotone.

[D-L]
p. 405

Théorème 16 (Lebesgue). Une application monotone est dérivable presque partout.

Suites et séries

[GOU20]
p. 238

Lemme 17. Une limite simple d’une suite de fonctions croissantes est croissante.

Théorème 18 (Second théorème de Dini). Soit $(f_{n})$ une suite de fonctions croissantes réelles continues définies sur un segment $I$ de $R$ . Si $(f_{n})$ converge simplement vers une fonction continue sur $I$ , alors la convergence est uniforme.

p. 212

Proposition 19 (Comparaison série - intégrale). Soit $f : R^{+} \to R^{+}$ une fonction positive, continue par morceaux et décroissante sur $R^{+}$ . Alors la suite $(U_{n})$ définie par $\forall n \in N, k = 0 \sum n f (k) - \int_{0}^{n} f (t) d t$ est convergente. En particulier, la série $\sum f (n)$ et l’intégrale $\int_{0}^{+ \infty} f (t) d t$ sont de même nature.

Application 20 (Développement asymptotique de la série harmonique). $k = 1 \sum n \frac{1}{k} = ln (n) + γ + o (1)$ où $γ$ désigne la constante d’Euler.

Fonctions convexes

Soit $I$ une partie convexe d’un espace vectoriel normé $(E, ∥.∥)$ non réduite à un point.

Définitions

[ROM19-1]
p. 225

Définition 21.

$I$ est convexe si $\forall a, b \in I, [a, b] \subseteq I$ .
Une fonction $f : I \to R$ est convexe si $\forall x, y \in I, \forall t \in [0, 1], f ((1 - t) x + t y) \leq (1 - t) f (x) + t f (y)$
Une fonction $f : I \to R$ est concave si $- f$ est convexe.

Remarque 22. Les définitions de $f$ strictement convexe et $f$ strictement concave s’obtiennent en remplaçant les inégalités larges par des inégalités strictes dans la définition précédente.

Exemple 23.

$x \mapsto ∥ x ∥$ est convexe sur $E$ .
$exp$ est convexe sur $R$ .

Proposition 24. Une fonction $f : I \to R$ est convexe si et seulement si son épigraphe est convexe dans $E \times R$ .

Théorème 25. Une fonction $f : I \to R$ est convexe si et seulement si $\forall x, y \in I$ , $t \mapsto f ((1 - t) x + t y)$ est convexe sur $[0, 1]$ .

Ce dernier théorème justifie que l’étude des fonctions convexes se ramène à l’étude des fonctions convexes sur un intervalle réel.

Proposition 26.

Une combinaison linéaire à coefficients positifs de fonctions convexes est convexe.
La composée $φ \circ g$ d’une fonction convexe croissante $φ : J \to R$ avec une fonction fonction convexe $g : I \to J$ est croissante.
Une limite simple d’une suite de fonctions convexes est convexe.

À partir de maintenant, on supposera que $I$ est un intervalle réel non réduit à un point.

Propriétés sur $R$

[GOU20]
p. 95

Remarque 27. Dans le cadre réel, la Définition 21 revient à dire que les cordes $[(a, f (a)), (b, f (b))]$ sont au-dessus du graphe de $f$ pour tout $a, b \in I$ avec $a < b$ .

Proposition 28. Une fonction $f : I \to R$ est convexe si et seulement si $\forall x_{0} \in I$ , l’application $I ∖ {x_{0}} x \to \mapsto R \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}$ est croissante.

Corollaire 29 (Inégalité des trois pentes). Soient fonction $f : I \to R$ convexe et $a, b, c \in I$ tels que $a < b < c$ . Alors, $\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} < \frac{f ( c ) - f ( a )}{c - a} < \frac{f ( c ) - f ( b )}{c - b}$

p. 71

Définition 30. On dit que $f : I \to R$ est dérivable à gauche (resp. à droite) en $α \in I$ si la limite $t \to a^{-} t \in I lim \frac{f ( t ) - f ( a )}{t - a}$ (resp. $lim_{t \to a^{+} t \in I} \frac{f ( t ) - f ( a )}{t - a}$ ) existe.

p. 96

Proposition 31. Une fonction $f : I \to R$ convexe possède en tout point de $\overset{˚}{I}$ une dérivée à droite et une dérivée à gauche. Elle est donc continue sur $\overset{˚}{I}$ . De plus les applications dérivées à gauche $f_{g}^{'}$ et à droite $f_{d}^{'}$ sont croissantes avec $f_{g}^{'} (x) \leq f_{d}^{'} (x)$ pour tout $x \in \overset{˚}{I}$ .

Théorème 32. Soit $f : I \to R$ une fonction dérivable sur $I$ . Alors, les assertions suivantes sont équivalentes :

$f$ est convexe.
$f^{'}$ est croissante.
La courbe représentative de $f$ est au-dessus de ses tangentes.

Proposition 33. Une fonction $f : I \to R$ deux fois dérivable est convexe si et seulement si $f^{''} (x) \geq 0$ pour tout $x \in I$ .

Fonctions log-convexes

[ROM19-1]
p. 228

Définition 34. On dit qu’une fonction $f : I \to R_{*}^{+}$ est log-convexe si $ln \circ f$ est convexe sur $I$ .

Proposition 35. Une fonction log-convexe est convexe.

Contre-exemple 36. $x \mapsto x$ est convexe mais non log-convexe.

Théorème 37. Pour une fonction $f : I \to R_{*}^{+}$ , les assertions suivantes sont équivalentes :

$f$ est log-convexe.
$\forall α > 0, x \mapsto α^{x} f (x)$ est convexe.
$\forall x, y \in I, \forall t \in [0, 1], f ((1 - t) x + t y) \leq (f (x))^{1 - t} (f (y))^{t}$ .
$\forall α > 0, f^{α}$ est convexe.

p. 364

Lemme 38. La fonction $Γ$ définie pour tout $x > 0$ par $Γ (x) = \int_{0}^{+ \infty} t^{x - 1} e^{- t} d t$ vérifie :

$\forall x \in R_{*}^{+}$ , $Γ (x + 1) = x Γ (x)$ .
$Γ (1) = 1$ .
$Γ$ est log-convexe sur $R_{*}^{+}$ .

p. 364

caracterisation-reelle-de-gamma

Théorème 39 (Bohr-Mollerup). Soit $f : R_{*}^{+} \to R^{+}$ vérifiant le Point 1, Point 2 et Point 3 du Lemme 38. Alors $f = Γ$ .

Remarque 40. À la fin de la preuve, on obtient une formule due à Gauss : $\forall x \in] 0, 1], Γ (x) = n \to + \infty lim \frac{n ^{x} n !}{( x + n ) \dots ( x + 1 ) x}$ que l’on peut aisément étendre à $R_{*}^{+}$ entier.

Applications

Inégalités

[GOU20]
p. 97

Proposition 41 (Inégalité de Hölder). Soient $p, q > 0$ tels que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ . Alors, $\forall a_{1}, \dots, a_{n}, b_{1}, \dots, b_{n} \geq 0, i = 1 \sum n a_{i} b_{i} \leq (i = 1 \sum n a_{i}^{p})^{\frac{1}{p}} (i = 1 \sum n b_{i}^{q})^{\frac{1}{q}}$

Proposition 42 (Inégalité de Minkowski). Soit $p \geq 1$ . Alors, $\forall x_{1}, \dots, x_{n}, y_{1}, \dots, y_{n} \geq 0, (i = 1 \sum n ∣ x_{i} + y_{i} ∣^{p})^{\frac{1}{p}} \leq (i = 1 \sum n x_{i}^{p})^{\frac{1}{p}} (i = 1 \sum n y_{i}^{p})^{\frac{1}{p}}$

[ROM19-1]
p. 241

Proposition 43 (Inégalité de Jensen). Si $f : R \to R$ est convexe, alors pour toute fonction $u$ continue sur un intervalle $[a, b]$ , on a : $f (\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} u (t) d t) \leq \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f \circ u (t) d t$

Proposition 44 (Comparaison des moyennes harmonique, géométrique et arithmétique). Pour toute suite finie $x = (x_{i})$ de $n$ réels strictement positifs, on a : $\frac{n}{\sum _{i = 1}^{n} \frac{1}{x _{i}}} \leq (i = 1 \prod n x_{i})^{\frac{1}{n}} \leq \frac{1}{n} i = 1 \sum n x_{i}$

Recherche d’extrema

p. 234

Proposition 45. Une fonction $f : R \to R$ est constante si et seulement si elle est convexe et majorée.

Contre-exemple 46. La fonction $f$ définie sur $R^{+}$ par $f (x) = \frac{1}{1 + x}$ est convexe, majorée, mais non constante.

Proposition 47. Si $f : I \to R$ est convexe et est dérivable en un point $α \in \overset{˚}{I}$ tel que $f^{'} (α) = 0$ , alors $f$ admet un minimum global en $α$ .

Proposition 48. Si $f : I \to R$ est convexe et admet un minimum local, alors ce minimum est global.

Méthode de Newton

[ROU]
p. 152

methode-de-newton

Théorème 49 (Méthode de Newton). Soit $f : [c, d] \to R$ une fonction de classe $C^{2}$ strictement croissante sur $[c, d]$ . On considère la fonction $φ : [c, d] x \to \mapsto R x - \frac{f ( x )}{f ^{'} ( x )}$ (qui est bien définie car $f^{'} > 0$ ). Alors :

$\exists! a \in [c, d]$ tel que $f (a) = 0$ .
$\exists α > 0$ tel que $I = [a - α, a + α]$ est stable par $φ$ .
La suite $(x_{n})$ des itérés (définie par récurrence par $x_{n + 1} = φ (x_{n})$ pour tout $n \geq 0$ ) converge quadratiquement vers $a$ pour tout $x_{0} \in I$ .

Corollaire 50. En reprenant les hypothèses et notations du théorème précédent, et en supposant de plus $f$ strictement convexe sur $[c, d]$ , le résultat du théorème est vrai sur $I = [a, d]$ . De plus :

$(x_{n})$ est strictement décroissante (ou constante).
$x_{n + 1} - a \sim \frac{f ^{''} ( a )}{2 f ^{'} ( a )} (x_{n} - a)^{2}$ pour $x_{0} > a$ .

Exemple 51.

On fixe $y > 0$ . En itérant la fonction $F : x \mapsto \frac{1}{2} (x + \frac{y}{x})$ pour un nombre de départ compris entre $c$ et $d$ où $0 < c < d$ et $c^{2} < 0 < d^{2}$ , on peut obtenir une approximation du nombre $y$ .
En itérant la fonction $F : x \mapsto \frac{x ^{2} + 1}{2 x - 1}$ pour un nombre de départ supérieur à $2$ , on peut obtenir une approximation du nombre d’or $φ = \frac{1 + 5}{2}$ .