229 Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

analysis

Fonctions monotones

Définition et première propriétés

Définition 1. Soient une partie de et .

  • On dit que est croissante si .

  • On dit que est décroissante si .

  • On dit que est monotone si est croissante ou décroissante.

Remarque 2. Les définitions de strictement croissante et strictement décroissante s’obtiennent en remplaçant les inégalités larges par des inégalités strictes dans la définition précédente.

Par conséquent, est décroissante si et seulement si est croissante. Pour cette raison, nous pouvons nous limiter à l’étude des fonctions croissantes.

Exemple 3. est une fonction monotone.

Proposition 4. L’ensemble des fonctions croissantes est stable par addition, par multiplication par un scalaire positif et par composition.

Proposition 5. Soient un intervalle non réduit à un point et . On suppose dérivable sur . Alors est croissante si et seulement si pour tout .

Régularité

Soit un intervalle non réduit à un point.

Définition 6. On dit que a pour limite à gauche (resp. à droite) en si : (resp. ).

Théorème 7. On suppose que est un intervalle ouvert. Si est une fonction monotone, elle admet alors une limite à gauche et à droite en tout point. Dans le cas où est croissante, on a

Définition 8. Si , et si est discontinue en avec des limites à gauche et à droite en ce point, on dit que a une discontinuité de première espèce en .

Proposition 9. Une fonction monotone de dans ne peut avoir que des discontinuités de première espèce.

Théorème 10. On suppose que est un intervalle ouvert. Si est une fonction monotone, alors l’ensemble des points de discontinuités de est dénombrable.

Exemple 11. La fonction définie sur par et est croissante avec une infinité de points de discontinuité.

Proposition 12. Si est une fonction monotone telle que est un intervalle, elle est alors continue sur .

Théorème 13 (Bijection). Si est une application continue et strictement monotone, alors :

  1. est un intervalle.

  2. est continue.

  3. est strictement monotone de même sens de variation que .

Exemple 14. La fonction est une bijection de dans qui admet donc une bijection réciproque qui est strictement croissante.

Proposition 15. Soit . Cette fonction est injective si et seulement si elle est strictement monotone.

Théorème 16 (Lebesgue). Une application monotone est dérivable presque partout.

Suites et séries

Lemme 17. Une limite simple d’une suite de fonctions croissantes est croissante.

Théorème 18 (Second théorème de Dini). Soit une suite de fonctions croissantes réelles continues définies sur un segment de . Si converge simplement vers une fonction continue sur , alors la convergence est uniforme.

Proposition 19 (Comparaison série - intégrale). Soit une fonction positive, continue par morceaux et décroissante sur . Alors la suite définie par est convergente. En particulier, la série et l’intégrale sont de même nature.

Application 20 (Développement asymptotique de la série harmonique). désigne la constante d’Euler.

Fonctions convexes

Soit une partie convexe d’un espace vectoriel normé non réduite à un point.

Définitions

Définition 21.

  • est convexe si .

  • Une fonction est convexe si

  • Une fonction est concave si est convexe.

Remarque 22. Les définitions de strictement convexe et strictement concave s’obtiennent en remplaçant les inégalités larges par des inégalités strictes dans la définition précédente.

Exemple 23.

  • est convexe sur .

  • est convexe sur .

Proposition 24. Une fonction est convexe si et seulement si son épigraphe est convexe dans .

Théorème 25. Une fonction est convexe si et seulement si , est convexe sur .

Proposition 26.

  • Une combinaison linéaire à coefficients positifs de fonctions convexes est convexe.

  • La composée d’une fonction convexe croissante avec une fonction fonction convexe est croissante.

  • Une limite simple d’une suite de fonctions convexes est convexe.

Ce dernier théorème justifie que l’étude des fonctions convexes se ramène à l’étude des fonctions convexes sur un intervalle réelle. À partir de maintenant, on supposera donc que est un intervalle réel non réduit à un point.

Propriétés sur

Remarque 27. Dans le cadre réel, la Définition 21 revient à dire que les cordes sont au-dessus du graphe de pour tout avec .

Proposition 28. Une fonction est convexe si et seulement si , l’application est croissante.

Corollaire 29 (Inégalité des trois pentes). Soient fonction convexe et tels que . Alors,

Définition 30. On dit que est dérivable à gauche (resp. à droite) en si la limite (resp. ) existe.

Proposition 31. Une fonction convexe possède en tout point de une dérivée à droite et une dérivée à gauche. Elle est donc continue sur . De plus les applications dérivées à gauche et à droite sont croissantes avec pour tout .

Théorème 32. Soit une fonction dérivable sur . Alors, les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. est convexe.

  2. est croissante.

  3. La courbe représentative de est au-dessus de ses tangentes.

Proposition 33. Une fonction deux fois dérivable est convexe si et seulement si pour tout .

Fonctions log-convexes

Définition 34. On dit qu’une fonction est log-convexe si est convexe sur .

Proposition 35. Une fonction log-convexe est convexe.

Contre-exemple 36. est convexe mais non log-convexe.

Théorème 37. Pour une fonction , les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. est log-convexe.

  2. est convexe.

  3. .

  4. est convexe.

Lemme 38. La fonction définie pour tout par vérifie :

  1. , .

  2. .

  3. est log-convexe sur .

Théorème 39 (Bohr-Mollerup). Soit vérifiant les points , et du Lemme 38. Alors .

Remarque 40. À la fin de la preuve, on obtient une formule due à Gauss : que l’on peut aisément étendre à entier.

Applications

Inégalités

Proposition 41 (Inégalité de Hölder). Soient tels que . Alors,

Proposition 42 (Inégalité de Minkowski). Soit . Alors,

Proposition 43 (Inégalité de Jensen). Si est convexe, alors pour toute fonction continue sur un intervalle , on a :

Proposition 44 (Comparaison des moyennes harmonique, géométrique et arithmétique). Pour toute suite finie de réels strictement positifs, on a :

Recherche d’extrema

Proposition 45. Une fonction est constante si et seulement si elle est convexe et majorée.

Contre-exemple 46. La fonction définie sur par est convexe, majorée, mais non constante.

Proposition 47. Si est convexe et est dérivable en un point tel que , alors admet un minimum global en .

Proposition 48. Si est convexe et admet un minimum local, alors ce minimum est global.

Méthode de Newton

Théorème 49 (Méthode de Newton). Soit une fonction de classe strictement croissante sur . On considère la fonction (qui est bien définie car ). Alors :

  1. tel que .

  2. tel que est stable par .

  3. La suite des itérés (définie par récurrence par pour tout ) converge quadratiquement vers pour tout .

Corollaire 50. En reprenant les hypothèses et notations du théorème précédent, et en supposant de plus strictement convexe sur , le résultat du théorème est vrai sur . De plus :

  1. est strictement décroissante (ou constante).

  2. pour .

Exemple 51.

  • On fixe . En itérant la fonction pour un nombre de départ compris entre et et , on peut obtenir une approximation du nombre .

  • En itérant la fonction pour un nombre de départ supérieur à , on peut obtenir une approximation du nombre d’or .