230 Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

analysis

Séries réelles et complexes

Notion de série et convergence

Soit $K = R$ ou $C$ . Muni de sa norme usuelle $∣.∣$ , $K$ est un espace de Banach.

Définition 1. Soit $(u_{n})$ une suite à valeurs dans $K$ .

On appelle série de terme général $u_{n}$ la suite $(S_{n})$ définie par $\forall n \in N, S_{n} = u_{0} + \dots + u_{n}$ On note cette série $\sum u_{n}$ .
$u_{n}$ s’appelle le terme d’indice $n$ .
$S_{n}$ s’appelle la somme partielle d’indice $n$ .

Définition 2. En reprenant les notations précédentes, on dit que $\sum u_{n}$ converge si la suite $(S_{n})$ converge. Dans ce cas, la limite s’appelle la somme de la série, et on la note $\sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}$ .

Définition 3. On appelle reste d’ordre $n$ d’une série convergente $\sum u_{n}$ l’élément $R_{n}$ défini par $R_{n} = k = 0 \sum + \infty u_{k} - k = 0 \sum n u_{k} = k = n + 1 \sum + \infty u_{k}$

Exemple 4. Soit $q \in C$ . Alors $\sum q^{n} converge ⟺ ∣ q ∣ < 1$ . Dans ce cas :

La somme partielle d’indice $n$ est égale à $\frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ .
La somme de la série est égale à $\frac{1}{1 - q}$ .
Le reste d’ordre $n$ de $\sum q^{n}$ est égal à $\frac{q ^{n}}{1 - q}$ .

[AMR11]
p. 81

Proposition 5. Si $\sum u_{n}$ converge, alors $lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ .

Contre-exemple 6. La réciproque est fausse, par exemple en considérant la suite $(u_{n})$ définie pour tout $n \in N$ par $u_{n} = ln (1 + \frac{1}{n})$ , on a $\sum_{k = 1}^{n} u_{k} = ln (n + 1) ⟶_{n \to + \infty} + \infty$ .

Proposition 7. Muni des opérations :

$\forall (u_{n}), (v_{n}) \in K^{N}, \sum u_{n} + \sum v_{n} = \sum (u_{n} + v_{n})$ ,
$\forall λ \in K, \forall (u_{n}) \in K^{N}, λ \sum u_{n} = \sum (λ u_{n})$ ,

l’ensemble des séries numériques est un espace vectoriel sur $K$ dont l’ensemble des séries convergentes est un sous-espace vectoriel.

[GOU20]
p. 209

Proposition 8 (Critère de Cauchy pour les séries). Une série $\sum u_{n}$ converge si et seulement si $\forall ϵ > 0, \exists N \in N, \forall n \geq N, \forall p \in N, k = 0 \sum p u_{n + k} < ϵ$

Définition 9. On dit que $\sum u_{n}$ est absolument convergente si $\sum ∣ u_{n} ∣$ est convergente.

Théorème 10. Tout série à valeurs dans $K$ absolument convergente est convergente.

Ce dernier théorème justifie de s’intéresser plus particulièrement aux séries à termes positifs.

Séries à termes positifs

Comparaison

Proposition 11. Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite des sommes partielles est majorée.

Corollaire 12. On considère deux séries réelles $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ telles que $\forall n \in N, 0 \leq u_{n} \leq v_{n}$ . Alors :

Si $\sum v_{n}$ converge, $\sum u_{n}$ converge.
Si $\sum u_{n}$ diverge, $\sum v_{n}$ diverge.

Proposition 13. On considère deux séries $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ à termes positifs.

Si $v_{n} = O (u_{n})$ et si $\sum u_{n}$ converge, alors $\sum v_{n}$ converge.
Si $u_{n} \sim v_{n}$ , alors les séries $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ sont de même nature.
- En cas de convergence, les restes vérifient $\sum_{k = n}^{+ \infty} u_{k} \sim \sum_{k = n}^{+ \infty} v_{k}$ .
- En cas de divergence, les sommes partielles vérifient $\sum_{k = 0}^{n} u_{k} \sim \sum_{k = 0}^{n} v_{k}$ .

p. 219

Application 14 (Formule de Stirling). $\exists k > 0 tel que n! \sim k n (\frac{n}{e})^{n}$

p. 228

Application 15 (Développement asymptotique de la suite des sinus itérés). Soit $(u_{n})$ une suite vérifiant $u_{0} \in] 0, \frac{π}{2}], et \forall n \in N, u_{n + 1} = sin (u_{n})$ Alors $u_{n} = \frac{3}{n} - \frac{3 3}{10} \frac{ln ( n )}{n n} + o (\frac{ln ( n )}{n n})$

p. 211

Proposition 16 (Comparaison série - intégrale). Soit $f : R^{+} \to R^{+}$ une fonction positive, continue par morceaux et décroissante sur $R^{+}$ . Alors la suite $(U_{n})$ définie par $\forall n \in N, k = 0 \sum n f (k) - \int_{0}^{n} f (t) d t$ est convergente. En particulier, la série $\sum f (n)$ et l’intégrale $\int_{0}^{+ \infty} f (t) d t$ sont de même nature.

Exemple 17. La série de Riemann $\sum \frac{1}{n ^{α}}$ converge si et seulement si $α > 1$ .

Exemple 18. La série de Bertrand $\sum \frac{1}{n ^{α} l n ( n ) ^{β}}$ converge si et seulement si $α > 1$ ou si $α = 1$ et $β > 1$ .

[I-P]
p. 380

Lemme 19. Soit $α > 1$ . Lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ , on a $k = n + 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{α}} \sim \frac{1}{α - 1} \frac{1}{n ^{α - 1}}$

developpement-asymptotique-de-la-serie-harmonique

Application 20 (Développement asymptotique de la série harmonique). On note $\forall n \in N^{*}, H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$ . Alors, quand $n$ tend vers $+ \infty$ , $H_{n} = ln (n) + γ + \frac{1}{2 n} - \frac{1}{12 n ^{2}} + o (\frac{1}{n ^{2}})$

[AMR11]
p. 109

Proposition 21. Soit $\sum f (n)$ une série relevant d’une comparaison série - intégrale. On note $R_{n}$ le reste d’ordre $n$ de cette série. Alors, $\forall n \geq 1, \int_{n + 1}^{+ \infty} f (t) d t \leq ∣ R_{n} ∣ \leq \int_{n}^{+ \infty} f (t) d t$

Exemple 22. La somme $\sum_{n = 1}^{20} \frac{1}{n ^{3}}$ donne une approximation de $ζ (3) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n ^{3}}$ à moins de $125 \times 1 0^{- 5}$ près.

[GOU20]
p. 213

Proposition 23. Soient deux séries réelles $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ à termes strictement positifs telles que $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} \geq \frac{v _{n + 1}}{v _{n}}$ à partir d’un certain rang. Alors :

Si $\sum u_{n}$ converge, $\sum v_{n}$ converge.
Si $\sum v_{n}$ diverge, $\sum u_{n}$ diverge.

Critères

Proposition 24 (Règle de d’Alembert). Soit $\sum u_{n}$ une série à termes strictement positifs telle que $n \to + \infty lim \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = λ \in [0, + \infty]$ Alors :

Si $λ < 1$ , $\sum u_{n}$ converge.
Si $λ > 1$ , $\sum u_{n}$ diverge.

[AMR11]
p. 94

Exemple 25. $\sum (1 - \frac{1}{n})^{n^{2}}$ converge.

p. 108

Proposition 26. Soit $\sum u_{n}$ une série relevant de la règle de D’Alembert. On note $R_{n}$ le reste d’ordre $n$ de cette série. Alors il existe $N \in N$ et $α \in] 0, 1 [$ tels que $\forall n \geq N, ∣ R_{n} ∣ \leq \frac{α}{1 - α}$

Exemple 27. $\sum_{k = 0}^{10} \frac{1}{n !}$ donne une valeur approchée de $e$ à moins de $3 \times 1 0^{- 8}$ près par défaut.

[GOU20]
p. 214

Proposition 28 (Règle de Cauchy). Soit $\sum u_{n}$ une série à termes strictement positifs telle que $n \to + \infty lim n u_{n} = λ \in [0, + \infty]$ Alors :

Si $λ < 1$ , $\sum u_{n}$ converge.
Si $λ > 1$ , $\sum u_{n}$ diverge.

[AMR11]
p. 112

Exemple 29. $\sum (\frac{4 n + 1}{3 n + 2})^{n}$ converge.

p. 107

Proposition 30. Soit $\sum u_{n}$ une série relevant de la règle de Cauchy. On note $R_{n}$ le reste d’ordre $n$ de cette série. Alors il existe $N \in N$ et $α \in] 0, 1 [$ tels que $\forall n \geq N, ∣ R_{n} ∣ \leq \frac{α ^{n + 1}}{1 - α}$

Exemple 31. En reprenant les notations précédentes, pour $u_{n} = n^{- n}$ , on a $R_{4} < 0, 00035$ .

Séries semi-convergentes

p. 214

Définition 32. On appelle séries semi-convergentes les séries convergentes mais non absolument convergentes.

Théorème 33 (Critère de Leibniz). Soit $(a_{n})$ une suite à termes positifs, décroissantes, tendant vers $0$ . Alors $\sum (- 1)^{n} a_{n} converge et \forall n \in N, ∣ R_{n} ∣ = k = n + 1 \sum + \infty (- 1)^{k} a_{k} \leq a_{n + 1}$

p. 97

Exemple 34. La série $\sum (- 1)^{n - 1} n^{- α}$ est convergente pour $α > 0$ . De plus, les restes $R_{n}$ vérifient $∣ R_{n} ∣ \leq \frac{1}{( n + 1 ) ^{α}}$

[GOU20]
p. 215

Proposition 35 (Transformation d’Abel). Soit une série $\sum u_{n}$ où $\forall n \in N, u_{n} = α_{n} v_{n}$ . On note $\forall n \in N, S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} v_{k}$ . Alors, $k = 0 \sum n u_{k} = α_{n} S_{n} + k = 0 \sum n - 1 (α_{k} - α_{k + 1}) S_{k}$

[AMR11]
p. 99

Corollaire 36 (Critère d’Abel). Soit une série $\sum u_{n}$ où $\forall n \in N, u_{n} = α_{n} v_{n}$ . On suppose :

$(α_{n})$ est une suite réelle positive, décroissante et qui tend vers $0$ .
La série $\sum v_{n}$ est bornée par une constante $M$ .

Alors $\sum u_{n}$ est convergente, et les restes $R_{n}$ vérifient $\forall n \in N, ∣ R_{n} ∣ \leq M a_{n + 1}$ .

[GOU20]
p. 216

Remarque 37. En reprenant les notations précédentes, avec $v_{n} = (- 1)^{n}$ , on retrouve le critère de Leibniz.

Exemple 38. La série $\sum \frac{e ^{ni θ}}{n ^{α}}$ converge pour tout $α > 0, θ \in R ∖ 2 π Z$ .

Calcul de sommes

Séries de Fourier

p. 267

Définition 39. Soit $f : R \to C$ une application $2 π$ -périodique et continue par morceaux sur $R$ . On appelle coefficients de Fourier de $f$ les nombres complexes définis par $\forall n \in Z, c_{n} (f) = \int_{0}^{2 π} f (t) e^{- in t} d t$ La série de Fourier associée à $f$ est $n \in Z \sum c_{n} (f) e^{in x}$

Théorème 40 (Parseval). Soit $f : R \to C$ une application $2 π$ -périodique et continue par morceaux sur $R$ . Alors la série de Fourier de $f$ est convergente et, $n = - \infty \sum + \infty ∣ c_{n} (f) ∣^{2} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} ∣ f (t) ∣ d t$

Exemple 41. Avec $f : x \mapsto 1 - \frac{x ^{2}}{π ^{2}}$ , on obtient $\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n ^{4}} = \frac{π ^{4}}{90}$ .

Théorème 42 (Jordan-Dirichlet). Soit $f : R \to C$ une application $2 π$ -périodique et $C^{1}$ par morceaux sur $R$ . Alors la série de Fourier de $f$ est convergente en tout point $x \in R$ et sa somme en ce point vaut $\frac{f ( x ^{+} ) + f ( x ^{-} )}{2}$

Exemple 43. Toujours avec $f : x \mapsto 1 - \frac{x ^{2}}{π ^{2}}$ , on obtient $\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6}$ .

Séries entières

p. 247

Définition 44. On appelle série entière toute série de fonctions de la forme $\sum a_{n} z^{n}$ où $z$ est une variable complexe et où $(a_{n})$ est une suite complexe.

Lemme 45 (Abel). Soient $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière et $z_{0} \in C$ tels que $(a_{n} z_{0}^{n})$ soit bornée. Alors :

$\forall z \in C$ tel que $∣ z ∣ < ∣ z_{0} ∣$ , $\sum a_{n} z^{n}$ converge absolument.
$\forall r \in] 0, ∣ z_{0} ∣ [, \sum a_{n} z^{n}$ converge normalement dans $\overline{D} (0, r) = {z \in C ∣ ∣ z ∣ \leq r}$ .

Définition 46. Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière. Le nombre $R = sup {r \geq 0 ∣ (∣ a_{n} ∣ r^{n}) est born \overset{e}{ˊ} e}$ est le rayon de convergence de $\sum a_{n} z^{n}$ . On a :

$\forall z \in C$ tel que $∣ z ∣ < R$ , $\sum a_{n} z^{n}$ converge absolument.
$\forall z \in C$ tel que $∣ z ∣ > R$ , $\sum a_{n} z^{n}$ diverge.
$\forall r \in [0, R [$ , $\sum a_{n} z^{n}$ converge normalement sur $\overline{D} (0, r)$ .

Le disque $D (0, R)$ est le disque de convergence de la série, le cercle $C (0, R)$ est le cercle d’incertitude.

Exemple 47. $\sum \frac{z ^{n}}{n !}$ est une série entière de rayon de convergence infini.

[GOU21]
p. 314

nombres-de-bell

Théorème 48 (Nombres de Bell). Pour tout $n \in N^{*}$ , on note $B_{n}$ le nombre de partitions de $[[1, n]]$ . Par convention on pose $B_{0} = 1$ . Alors, $\forall k \in N^{*}, B_{k} = \frac{1}{e} n = 0 \sum + \infty \frac{n ^{k}}{n !}$

[GOU20]
p. 263

Théorème 49 (Abel angulaire). Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence supérieur ou égal à $1$ telle que $\sum a_{n}$ converge. On note $f$ la somme de cette série sur le disque unité $D$ de $C$ . On fixe $θ_{0} \in [0, \frac{π}{2} [$ et on pose $Δ_{θ_{0}} = {z \in D ∣ \exists ρ > 0 et \exists θ \in [- θ_{0}, θ_{0}] tels que z = 1 - ρ e^{i θ}}$ .

Alors $lim_{z \to 1 z \in Δ_{θ_{0}}} f (z) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n}$ .

Application 50. $n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n + 1 )} = \frac{π}{4}$

Application 51. $n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} = ln (2)$

Contre-exemple 52. La réciproque est fausse : $z \to 1 ∣ z ∣ < 1 lim (- 1)^{n} z^{n} = z \to 1 ∣ z ∣ < 1 lim \frac{1}{1 + z} = \frac{1}{2}$

Théorème 53 (Taubérien faible). Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $1$ . On note $f$ la somme de cette série sur $D (0, 1)$ . On suppose que $\exists S \in C tel que x \to 1 x < 1 lim f (x) = S$ Si $a_{n} = o (\frac{1}{n})$ , alors $\sum a_{n}$ converge et $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} = S$ .

Remarque 54. Ce dernier résultat est une réciproque partielle du Théorème 49. Il reste vrai en supposant $a_{n} = O (\frac{1}{n})$ (c’est le théorème Taubérien fort).

Annexes

[GOU20]
p. 263

tikzpicture-1 — Illustration du théorème d’Abel angulaire.