230 Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

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Séries réelles et complexes

Notion de série et convergence

Soit ou . Muni de sa norme usuelle , est un espace de Banach.

Définition 1. Soit une suite à valeurs dans .

  • On appelle série de terme général la suite définie par On note cette série .

  • s’appelle le terme d’indice .

  • s’appelle la somme partielle d’indice .

Définition 2. En reprenant les notations précédentes, on dit que converge si la suite converge. Dans ce cas, la limite s’appelle la somme de la série, et on la note .

Définition 3. On appelle reste d’ordre d’une série convergente l’élément défini par

Exemple 4. Soit . Alors . Dans ce cas :

  • La somme partielle d’indice est égale à .

  • La somme de la série est égale à .

  • Le reste d’ordre de est égal à .

Proposition 5. Si converge, alors .

Contre-exemple 6. La réciproque est fausse, par exemple en considérant la suite définie pour tout par , on a .

Proposition 7. Muni des opérations :

  • ,

  • ,

l’ensemble des séries numériques est un espace vectoriel sur dont l’ensemble des séries convergentes est un sous-espace vectoriel.

Proposition 8 (Critère de Cauchy pour les séries). Une série converge si et seulement si

Définition 9. On dit que est absolument convergente si est convergente.

Théorème 10. Tout série à valeurs dans absolument convergente est convergente.

Ce dernier théorème justifie de s’intéresser plus particulièrement aux séries à termes positifs.

Séries à termes positifs

Comparaison

Proposition 11. Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite des sommes partielles est majorée.

Corollaire 12. On considère deux séries réelles et telles que . Alors :

  1. Si converge, converge.

  2. Si diverge, diverge.

Proposition 13. On considère deux séries et à termes positifs.

  1. Si et si converge, alors converge.

  2. Si , alors les séries et sont de même nature.

    • En cas de convergence, les restes vérifient .

    • En cas de divergence, les sommes partielles vérifient .

Application 14 (Formule de Stirling).

Application 15 (Développement asymptotique de la suite des sinus itérés). Soit une suite vérifiant Alors

Application 16 (Développement asymptotique de la série harmonique). désigne la constante d’Euler.

Proposition 17 (Comparaison série - intégrale). Soit une fonction positive, continue par morceaux et décroissante sur . Alors la suite définie par est convergente. En particulier, la série et l’intégrale sont de même nature.

Exemple 18. La série de Riemann converge si et seulement si .

Exemple 19. La série de Bertrand converge si et seulement si ou si et .

Proposition 20. Soit une série relevant d’une comparaison série - intégrale. On note le reste d’ordre de cette série. Alors,

Exemple 21. La somme donne une approximation de à moins de près.

Proposition 22. Soient deux séries réelles et à termes strictement positifs telles que à partir d’un certain rang. Alors :

  1. Si converge, converge.

  2. Si diverge, diverge.

Critères

Proposition 23 (Règle de d’Alembert). Soit une série à termes strictement positifs telle que Alors :

  1. Si , converge.

  2. Si , diverge.

Exemple 24. converge.

Proposition 25. Soit une série relevant de la règle de D’Alembert. On note le reste d’ordre de cette série. Alors il existe et tels que

Exemple 26. donne une valeur approchée de à moins de près par défaut.

Proposition 27 (Règle de Cauchy). Soit une série à termes strictement positifs telle que Alors :

  1. Si , converge.

  2. Si , diverge.

Exemple 28. converge.

Proposition 29. Soit une série relevant de la règle de Cauchy. On note le reste d’ordre de cette série. Alors il existe et tels que

Exemple 30. En reprenant les notations précédentes, pour , on a .

Séries semi-convergentes

Définition 31. On appelle séries semi-convergentes les séries convergentes mais non absolument convergentes.

Théorème 32 (Critère de Leibniz). Soit une suite à termes positifs, décroissantes, tendant vers . Alors

Exemple 33. La série est convergente pour . De plus, les restes vérifient

Proposition 34 (Transformation d’Abel). Soit une série . On note . Alors,

Corollaire 35 (Critère d’Abel). Soit une série . On suppose :

  • est une suite réelle positive, décroissante et qui tend vers .

  • La série est bornée par une constante .

Alors est convergente, et les restes vérifient .

Remarque 36. En reprenant les notations précédentes, avec , on retrouve le critère de Leibniz.

Exemple 37. La série converge pour tout .

Calcul de sommes

Séries de Fourier

Définition 38. Soit une application -périodique et continue par morceaux sur . On appelle coefficients de Fourier de les nombres complexes définis par La série de Fourier associée à est

Théorème 39 (Parseval). Soit une application -périodique et continue par morceaux sur . Alors la série de Fourier de est convergente et,

Exemple 40. Avec , on obtient .

Théorème 41 (Jordan-Dirichlet). Soit une application -périodique et par morceaux sur . Alors la série de Fourier de est convergente en tout point et sa somme en ce point vaut

Exemple 42. Toujours avec , on obtient .

Séries entières

Définition 43. On appelle série entière toute série de fonctions de la forme est une variable complexe et où est une suite complexe.

Lemme 44 (Abel). Soient une série entière et tels que soit bornée. Alors :

  1. tel que , converge absolument.

  2. converge normalement dans .

Définition 45. Soit une série entière. Le nombre est le rayon de convergence de . On a :

  • tel que , converge absolument.

  • tel que , diverge.

  • , converge normalement sur .

Le disque est le disque de convergence de la série, le cercle est le cercle d’incertitude.

Exemple 46. est une série entière de rayon de convergence infini.

Théorème 47 (Nombres de Bell). Pour tout , on note le nombre de partitions de . Par convention on pose . Alors,

Théorème 48 (Abel angulaire). Soit une série entière de rayon de convergence supérieur ou égal à tel que converge. On note la somme de cette série sur le disque unité de . On fixe et on pose .

Alors .

Application 49.

Application 50.

Contre-exemple 51. La réciproque est fausse :

Théorème 52 (Taubérien faible). Soit une série entière de rayon de convergence . On note la somme de cette série sur . On suppose que Si , alors converge et .

Remarque 53. Ce dernier résultat est une réciproque partielle du Théorème 48. Il reste vrai en supposant (c’est le théorème Taubérien fort).

Annexes

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Illustration du théorème d’Abel angulaire