234 Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

analysis

On se place dans un espace mesuré $(X, A, μ)$ . Soit $K = R$ ou $C$ , que l’on munit de sa tribu borélienne $B (K)$ .

L’intégrale de Lebesgue

Définition abstraite

Définition 1

Soit $f$ une fonction étagée positive sur $(X, A)$ . L’intégrale de $f$ sur $X$ par rapport à la mesure $μ$ est définie par $\int_{X} f d μ = α \in f (X) \sum α μ ({f = α}) \in \overline{R^{+}}$

Proposition 2

Soit $f$ une fonction étagée. Pour toute décomposition de la forme $f = \sum_{i \in I} α_{i} 1_{A_{i}}$ (où $(A_{i})_{i \in I}$ désigne une partition $A$ -mesurable finie de $X$ ), on a : $\int_{X} f d μ = i \in I \sum α_{i} μ (A_{i})$

Exemple 3

Soit $f : X \to R^{+}$ une fonction ne prenant qu’un nombre fini de valeurs.

On se place dans le cas où $μ = δ_{a}$ , la mesure de Dirac en un point $a \in X$ . Alors, $\int_{X} f d μ = f (a)$
On se place dans le cas où $μ = m$ , la mesure de comptage sur $(X, P (X))$ . Alors, $\int_{X} f d m = α \in f (X) \sum α ∣ {f = α} ∣$

Définition 4

Soit $f$ une fonction mesurable positive (finie ou non) sur $(X, A)$ . On pose $\int_{X} f d μ = sup {\int_{X} φ d μ ∣ φ \overset{e}{ˊ} tag \overset{e}{ˊ} e positive telle que φ \leq f}$ on dit que $f$ est $μ$ -intégrable si $\int_{X} f d μ < + \infty$ .

Propriétés

Théorème 5

Convergence monotoneSoit $(f_{n})$ une suite croissante de fonctions mesurables positives. Alors, la limite $f$ de cette suite est mesurable positive, et, $\int_{X} f d μ = n \to + \infty lim \int_{X} f_{n} d μ$

Corollaire 6

Soient $f$ , $g$ deux fonctions mesurables positives.

$f \leq g ⟹ \int_{X} f d μ \leq \int_{X} g d μ$ (l’intégrale est croissante).
$\int_{X} (f + g) d μ = \int_{X} f d μ + \int_{X} g d μ$ (l’intégrale est additive).
$\forall λ \geq 0, \int_{X} λ f d μ = λ \int_{X} f d μ$ (l’intégrale est positivement homogène).
Si $f = g$ pp., alors $\int_{X} f d μ = \int_{X} g d μ$ .

Au vu de la linéarité de l’intégrale, on peut maintenant donner la définition suivante.

p. 128

Définition 7

Soit $f : X \to K$ mesurable.

$f$ est dite $μ$ -intégrable si $∣ f ∣$ est $μ$ -intégrable.
Dans ce cas, si $K = R$ , en notant $f^{+}$ et $f^{-}$ les parties positives et négatives de $f$ , on définit $\int_{X} f d μ = \int_{X} f^{+} d μ - \int_{X} f^{-} d μ$
Si $K = C$ , en reprenant le point précédent, on définit $\int_{X} f d μ = \int_{X} Re (f) d μ + i \int_{X} Im (f) d μ$

Proposition 8

Soit $f : X \to K$ intégrable. Alors, $\int_{X} f d μ \leq \int_{X} ∣ f ∣ d μ$ avec égalité,

si $K = R$ , si $f$ est de signe constant pp.
si $K = C$ , si $f = α ∣ f ∣$ pp. pour $α \in C (0, 1)$ .

Lien avec l’intégrale de Riemann

Proposition 9

Soit $[a, b]$ un intervalle de $R$ . Soit $f$ une fonction intégrable au sens de Riemann sur $[a, b]$ .

Il existe une fonction $g$ $λ$ -intégrable sur $[a, b]$ telle que $f = g$ pp. De plus, $\int_{a}^{b} f = \int_{[a, b]} g d λ$
En particulier, si $f$ est borélienne, $\int_{a}^{b} f = \int_{[a, b]} f d λ$

Contre-exemple 10

La réciproque est fausse. Par exemple, $1_{Q \cap [0, 1]}$ est intégrable au sens de Lebesgue, mais pas au sens de Riemann.

Construction des espaces $L_{p}$

L’espace vectoriel $L_{1}$

Définition 11

On note $L_{1} (X, A, μ) = {f : X \to K ∣ f est μ -int \overset{e}{ˊ} grable}$ l’ensemble des fonctions $μ$ -intégrables. En l’absence d’ambiguïté, on notera simplement $L_{1} (μ)$ ou $L_{1}$ . Cette définition s’étend aux ensembles de fonctions intégrables à valeurs dans $R^{+}$ , $\overline{R}$ , etc.

Exemple 12

Si $μ$ est la mesure de comptage sur $(P (N), N)$ , alors $L_{1} = ℓ_{1} = {(u_{n}) \in R^{n} ∣ n \geq 0 \sum ∣ u_{n} ∣ < + \infty}$

Théorème 13

$f \mapsto \int_{X} f d μ$ est une forme linéaire positive (au sens où $f \geq 0 ⟹ \int_{X} f d μ \geq 0$ ) et croissante sur $L_{1}$ .
$L_{1}$ est un espace vectoriel sur $K$ .
$∥. ∥_{1} : f \mapsto \int_{X} ∣ f ∣ d μ$ est une semi-norme sur $L_{1}$ .

p. 137

Théorème 14

Lemme de FatouSoit $(f_{n})$ une suite de fonctions mesurables positives. Alors, $0 \leq \int_{X} lim inf f_{n} d μ \leq lim inf \int_{X} f_{n} d μ \leq + \infty$

Exemple 15

Soit $f$ croissante sur $[0, 1]$ , continue en $0$ et dérivable en $1$ et dérivable pp. dans $[0, 1]$ . Alors, $\int_{0}^{1} f^{'} (x) d x \leq f (1) - f (0)$

Théorème 16

Convergence dominéeSoit $(f_{n})$ une suite d’éléments de $L_{1}$ telle que :

pp. en $x$ , $(f_{n} (x))$ converge dans $K$ vers $f (x)$ .
$\exists g \in L_{1}$ positive telle que $\forall n \in N, pp. en x, ∣ f_{n} (x) ∣ \leq g (x)$ Alors, $\int_{X} f d μ = n \to + \infty lim \int_{X} f_{n} d μ et n \to + \infty lim \int_{X} ∣ f_{n} - f ∣ d μ = 0$

Exemple 17

On reprend l’15 et on suppose $f$ partout dérivable sur $[0, 1]$ de dérivée bornée. Alors l’inégalité est une égalité.
Soit $α > 1$ . On pose $\forall n \geq 1, I_{n} (α) = \int_{0}^{n} (1 + \frac{x}{n})^{n} e^{- α x} d x$ . Alors, $n \to + \infty lim I_{n} (α) = \int_{0}^{+ \infty} e^{(1 - α) x} d x = \frac{1}{α - 1}$

Application 18

Lemme de Borel-CantelliSoit $(A_{n})$ une famille de parties de $A$ . Alors, $n = 1 \sum + \infty μ (A_{n}) < + \infty ⟹ μ (n \to + \infty lim sup A_{n}) = 0$

Les espaces vectoriels $L_{p}$

p. 163

Définition 19

Pour tout réel $p > 0$ , on définit $L_{p} (X, A, μ) = {f : X \to K ∣ ∣ f ∣^{p} \in L_{1} (X, A, μ)}$ on a les mêmes remarques qu’à la 11.

Proposition 20

$L_{p}$ est un espace vectoriel.

Proposition 21

Si $μ (X) < + \infty$ , alors $0 < p \leq q ⟹ L_{q} \subseteq L_{p}$
Si $μ = m$ est la mesure de comptage sur $N$ , alors $0 < p \leq q ⟹ ℓ_{p} L_{p} (m) \subseteq ℓ_{q} L_{q} (m)$

Définition 22

Pour tout $p > 0$ , on définit $∥. ∥_{p} : f \mapsto (\int_{X} ∣ f ∣^{p} d μ)^{\frac{1}{p}}$

Théorème 23

Inégalité de HölderSoient $p, q \in] 1, + \infty [$ tels que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ , $f \in L_{p}$ et $g \in L_{q}$ . Alors $f g \in L_{1}$ et $∥ f g ∥_{1} \leq ∥ f ∥_{p} ∥ g ∥_{q}$

Théorème 24

Inégalité de Minkowski $\forall f, g \in L_{p}, ∥ f + g ∥_{p} \leq ∥ f ∥_{p} + ∥ g ∥_{p}$

Les espaces vectoriels normés $L_{p}$

p. 171

Définition 25

On définit pour tout $p > 0$ , $L_{p} = L_{p} / V$ où $V = {v \in L_{p} ∣ v = 0 pp.}$ .

Théorème 26

Pour tout $p \in [1, + \infty]$ , $(L_{p}), ∥. ∥_{p}$ est un espace vectoriel normé.

Théorème 27

Théorème de Riesz-FischerPour tout $p \in [1, + \infty]$ , $L_{p}$ est complet pour la norme $∥. ∥_{p}$ .

Théorème 28

Soit $(f_{n})$ une suite d’éléments de $L_{p}$ qui converge vers $f$ pour la norme $∥. ∥_{p}$ . Alors, il existe une sous-suite de $(f_{n})$ qui converge pp. vers $f$ .

p. 176

Proposition 29

Pour tout $p \in [1, + \infty [$ , l’ensemble des fonctions étagées intégrables est dense dans $L_{p}$ .

Théorème 30

On se place sur $(R, B (R), λ)$ . Alors :

L’ensemble des fonctions en escalier à support compact est dense dans $L_{p}$ pour tout $p \in [1, + \infty [$ .
L’ensemble des fonctions continues à support compact est dense dans $L_{p}$ pour tout $p \in [1, + \infty [$ .

L’espace $L_{\infty}$

p. 180

Définition 31

Soit $f : X \to K$ . On définit $∥ f ∥_{\infty}$ comme le supremum essentiel de la fonction $∣ f ∣$ et $L_{\infty} (μ)$ (noté $L_{\infty}$ en l’absence d’ambiguïté) l’ensemble des fonctions $μ$ -essentiellement bornées.
On définit $L_{\infty} = L_{\infty} / V$ où $V = {v \in L_{\infty} ∣ v = 0 pp.}$ .

Théorème 32

$L_{\infty}$ , muni de $∥. ∥_{\infty}$ , est un espace vectoriel normé complet.

Remarque 33

L’inégalité de Hölder est encore vraie pour $q = + \infty$ .

Grands théorèmes d’intégration

Régularité sous l’intégrale

[Z-Q]
p. 312

Soit $f : E \times X \to C$ où $(E, d)$ est un espace métrique. On pose $F : t \mapsto \int_{X} f (t, x) d μ (x)$ .

Continuité

Théorème 34

Continuité sous le signe intégralOn suppose :

$\forall t \in E$ , $x \mapsto f (t, x)$ est mesurable.
pp. en $x \in X$ , $t \mapsto f (t, x)$ est continue en $t_{0} \in E$ .
$\exists g \in L_{1} (X)$ positive telle que $∣ f (t, x) ∣ \leq g (x) \forall t \in E, pp. en x \in X$

Alors $F$ est continue en $t_{0}$ .

Corollaire 35

On suppose :

$\forall t \in E$ , $x \mapsto f (t, x)$ est mesurable.
pp. en $x \in X$ , $t \mapsto f (t, x)$ est continue sur $E$ .
$\forall K \subseteq E, \exists g_{K} \in L_{1} (X)$ positive telle que $∣ f (t, x) ∣ \leq g_{K} (x) \forall t \in K, pp. en x$

Alors $F$ est continue sur $E$ .

p. 318

Exemple 36

La fonction $Γ : R_{*}^{+} x \to \mapsto R_{*}^{+} \int_{0}^{+ \infty} t^{x - 1} e^{- t} d t$ est bien définie et continue sur $R_{*}^{+}$ .

[G-K]
p. 104

Exemple 37

Soit $f : R^{+} \to C$ intégrable. Alors, $λ \mapsto \int_{0}^{+ \infty} e^{- λ t} f (t) d t$ est bien définie et est continue sur $R^{+}$ .

Dérivabilité

[Z-Q]
p. 313

On suppose ici que $E$ est un intervalle $I$ ouvert de $R$ .

Théorème 38

Dérivation sous le signe intégralOn suppose :

$\forall t \in I$ , $x \mapsto f (t, x) \in L_{1} (X)$ .
pp. en $x \in X$ , $t \mapsto f (t, x)$ est dérivable sur $I$ . On notera $\frac{\partial f}{\partial t}$ cette dérivée définie presque partout.
$\forall K \subseteq I$ compact, $\exists g_{K} \in L_{1} (X)$ positive telle que $\frac{\partial f}{\partial t} (t, x) \leq g_{K} (x) \forall t \in K, pp. en x$

Alors $\forall t \in I$ , $x \mapsto \frac{\partial f}{\partial t} (t, x) \in L_{1} (X)$ et $F$ est dérivable sur $I$ avec $\forall t \in I, F^{'} (t) = \int_{X} \frac{\partial f}{\partial t} (t, x) d μ (x)$

Remarque 39

Si dans le 38, hypothèse (ii), on remplace dérivable par $C^{1}$ , alors la fonction $F$ est de classe $C^{1}$ .
On a un résultat analogue pour les dérivées d’ordre supérieur.

Théorème 40

$k$ -ième dérivée sous le signe intégralOn suppose :

$\forall t \in I$ , $x \mapsto f (t, x) \in L_{1} (X)$ .
pp. en $x \in X$ , $t \mapsto f (t, x) \in C^{k} (I)$ . On notera $(\frac{\partial}{\partial t})^{j} f$ la $j$ -ième dérivée définie presque partout pour $j \in [[0, k]]$ .
$\forall j \in [[0, k]]$ , $\forall K \subseteq I$ compact, $\exists g_{j, K} \in L_{1} (X)$ positive telle que $(\frac{\partial}{\partial t})^{j} f (t, x) \leq g_{j, K} (x) \forall t \in K, pp. en x$

Alors $\forall j \in [[0, k]]$ , $\forall t \in I$ , $x \mapsto (\frac{\partial}{\partial t})^{j} f (t, x) \in L_{1} (X)$ et $F \in C^{k} (I)$ avec $\forall j \in [[0, k]], \forall t \in I, F^{(j)} (t) = \int_{X} (\frac{\partial}{\partial t})^{j} f (t, x) d μ (x)$

p. 318

Exemple 41

La fonction $Γ$ de l’36 est $C^{\infty}$ sur $R_{*}^{+}$ .

[B-P]
p. 149

Exemple 42

On se place dans l’espace mesuré $(N, P (N), card)$ et on considère $(f_{n})$ une suite de fonctions dérivables sur $I$ telle que $\forall x \in R, n \in N \sum ∣ f_{n} (x) ∣ + t \in I sup ∣ f_{n}^{'} (t) ∣ < + \infty$ Alors $x \mapsto \sum_{n \in N} f_{n} (x)$ est dérivable sur $I$ de dérivée $x \mapsto \sum_{n \in N} f_{n}^{'} (x)$ .

[GOU20]
p. 169

Application 43

Transformée de Fourier d’une GaussienneEn résolvant une équation différentielle linéaire, on a $\forall α > 0, \forall x \in R, \int_{R} e^{- α t^{2}} e^{- i t x} d t = \frac{π}{α} e^{- \frac{x ^{2}}{4 α}}$

[G-K]
p. 107

Application 44

Intégrale de DirichletOn pose $\forall x \geq 0$ , $F (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sin ( t )}{t} e^{- x t} d t$ alors :

$F$ est bien définie et est continue sur $R^{+}$ .
$F$ est dérivable sur $R_{*}^{+}$ et $\forall x \in R_{*}^{+}$ , $F^{'} (x) = - \frac{1}{1 + x ^{2}}$ .
$F (0) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{s i n ( t )}{t} d t = \frac{π}{2}$ .

Holomorphie

[Z-Q]
p. 314

On suppose ici que $E$ est un ouvert $Ω$ de $C$ .

Théorème 45

Holomorphie sous le signe intégralOn suppose :

$\forall z \in Ω$ , $x \mapsto f (z, x) \in L_{1} (X)$ .
pp. en $x \in X$ , $z \mapsto f (z, x)$ est holomorphe dans $Ω$ . On notera $\frac{\partial f}{\partial z}$ cette dérivée définie presque partout.
$\forall K \subseteq Ω$ compact, $\exists g_{K} \in L_{1} (X)$ positive telle que $∣ f (z, x) ∣ \leq g_{K} (x) \forall z \in K, pp. en x$

Alors $F$ est holomorphe dans $Ω$ avec $\forall z \in Ω, F^{'} (z) = \int_{X} \frac{\partial f}{\partial z} (z, x) d μ (x)$

p. 318

Exemple 46

La fonction $Γ$ de l’36 est holomorphe dans l’ouvert ${z \in C ∣ Re (z) > 0}$ .

Intégration sur un espace produit

[B-P]
p. 237

Théorème 47

Théorème de Fubini-TonelliSoient $(Y, B, ν)$ un autre espace mesuré et $f : (X \times Y) \to \overline{R^{+}}$ . On suppose $μ$ et $ν$ $σ$ -finies. Alors :

$x \mapsto \int_{Y} f (x, y) d ν (y)$ et $y \mapsto \int_{X} f (x, y) d μ (x)$ sont mesurables.
Dans $\overline{R^{+}}$ , $\int_{X \times Y} f d (μ \otimes ν) = \int_{X} (\int_{Y} f (x, y) d ν (y)) = \int_{Y} (\int_{X} f (x, y) d μ (x))$

Théorème 48

Théorème de Fubini-LebesgueSoient $(Y, B, ν)$ un autre espace mesuré et $f \in L_{1} (μ \otimes ν)$ . Alors :

Pour tout $y \in Y$ , $x \mapsto f (x, y)$ et pour tout $x \in X$ , $y \mapsto f (x, y)$ sont intégrables.
$x \mapsto \int_{Y} f (x, y) d ν (y)$ et $y \mapsto \int_{X} f (x, y) d μ (x)$ sont intégrables, les fonctions étant définies pp.
On a : $\int_{X \times Y} f d (μ \otimes ν) = \int_{X} (\int_{Y} f (x, y) d ν (y)) = \int_{Y} (\int_{X} f (x, y) d μ (x))$

Contre-exemple 49

On considère $f : (x, y) \mapsto 2 e^{- 2 x y} - e^{- x y}$ . Alors, $\int_{[0, 1]} (\int_{R^{+}} f (x, y) d x) d y = 0$ , mais $\int_{R^{+}} (\int_{[0, 1]} f (x, y) d y) d x = ln (2)$ .

[GOU20]
p. 359

Exemple 50

Soient $f : (x, y) \mapsto x y$ et $D = {(x, y) \in R^{2} ∣ x, y \geq 0 et x + y \leq 1}$ . Alors, $\iint_{D} = f (x, y) d x d y = \int_{0}^{1} x \frac{( 1 - x ) ^{2}}{2} d x = \frac{1}{24}$

L’espace $L_{2}$

Aspect hilbertien

[B-P]
p. 185

Définition 51

L’application $⟨ ., . ⟩ : (f, g) \mapsto \int_{X} f \overline{g} d μ$ définit un produit scalaire hermitien sur $L_{2}$ . Muni de ce produit scalaire précédent, $L_{2}$ est un espace de Hilbert.

Conséquences

Théorème 52

Projection orthogonaleSoit $F$ un sous-espace vectoriel fermé de $L_{2}$ . Alors, $L_{2} = F \oplus F^{⊥}$

Corollaire 53

Théorème de représentation de Riesz. Soit $φ \in L_{2}^{'}$ une forme linéaire continue. Alors, $\exists! g \in L_{2} telle que \forall f \in L_{2}, φ (f) = \int_{X} f \overline{g} d μ$

[Z-Q]
p. 222

dual-de-lp

Application 54

Dual de $L_{p}$ . Soit $(X, A, μ)$ un espace mesuré de mesure finie. On note $\forall p \in] 1, 2 [$ , $L_{p} = L_{p} (X, A, μ)$ . L’application $φ : L_{q} g \to (L_{p})^{'} \mapsto (φ_{g} : f \mapsto \int_{X} f g d μ) o \overset{u}{ˋ} \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ est une isométrie linéaire surjective. C’est donc un isomorphisme isométrique.

[LI]
p. 140

Remarque 55

Plus généralement, si l’on identifie $g$ et $φ_{g}$ :

$L_{q}$ est le dual topologique de $L_{p}$ pour $p \in] 1, + \infty [$ .
$L_{\infty}$ est le dual topologique de $L_{1}$ si $μ$ est $σ$ -finie.

Base hilbertienne de $L_{2}$

[BMP]
p. 110

Soit $I$ un intervalle de $R$ . On pose $\forall n \in N$ , $g_{n} : x \mapsto x^{n}$ .

Définition 56

On appelle fonction poids une fonction $ρ : I \to R$ mesurable, strictement positive presque partout et telle que $\forall n \in N, ρ g_{n} \in L_{1} (I)$ .

Soit $ρ : I \to R$ une fonction poids.

Notation 57

On note $L_{2} (I, ρ)$ l’espace des fonctions de carré intégrable pour la mesure de densité $ρ$ par rapport à la mesure de Lebesgue.

Proposition 58

Muni de $⟨ ., . ⟩ : (f, g) \mapsto \int_{I} f (x) \overline{g (x)} ρ (x) d x$ $L_{2} (I, ρ)$ est un espace de Hilbert.

Théorème 59

Il existe une unique famille $(P_{n})$ de polynômes unitaires orthogonaux deux-à-deux telle que $de g (P_{n}) = n$ pour tout entier $n$ . C’est la famille de polynômes orthogonaux associée à $ρ$ sur $I$ .

Exemple 60

Polynômes de HermiteSi $I = R$ et si $\forall x \in I, ρ (x) = e^{- x^{2}}$ , alors $\forall n \in N, \forall x \in I, P_{n} (x) = \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 ^{n}} e^{x^{2}} \frac{\partial}{\partial x ^{n}} (e^{- x^{2}})$

p. 140

Lemme 61

On suppose que $\forall n \in N$ , $g_{n} \in L_{1} (I, ρ)$ et on considère $(P_{n})$ la famille des polynômes orthogonaux associée à $ρ$ sur $I$ . Alors $\forall n \in N$ , $g_{n} \in L_{2} (I, ρ)$ . En particulier, l’algorithme de Gram-Schmidt a bien du sens et $(P_{n})$ est bien définie.

densite-des-polygones-orthogonaux

Application 62

On considère $(P_{n})$ la famille des polynômes orthogonaux associée à $ρ$ sur $I$ et on suppose qu’il existe $a > 0$ tel que $\int_{I} e^{a ∣ x ∣} ρ (x) d x < + \infty$ alors $(P_{n})$ est une base hilbertienne de $L_{2} (I, ρ)$ pour la norme $∥. ∥_{2}$ .

Contre-exemple 63

On considère, sur $I = R_{*}^{+}$ , la fonction poids $ρ : x \mapsto x^{- l n (x)}$ . Alors, la famille des $g_{n}$ n’est pas totale. La famille des polynômes orthogonaux associée à ce poids particulier n’est donc pas totale non plus : ce n’est pas une base hilbertienne.

Application aux séries de Fourier

[Z-Q]
p. 73

Notation 64

Pour tout $p \in [1, + \infty]$ , on note $L_{p}^{2 π}$ l’espace des fonctions $f : R \to C$ , $2 π$ -périodiques et mesurables, telles que $∥ f ∥_{p} < + \infty$ .
Pour tout $n \in Z$ , on note $e_{n}$ la fonction $2 π$ -périodique définie pour tout $t \in R$ par $e_{n} (t) = e^{in t}$ .

Proposition 65

$L_{2}^{2 π}$ est un espace de Hilbert pour le produit scalaire $⟨ ., . ⟩ : (f, g) \mapsto \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (t) \overline{g (t)} d t$

[BMP]
p. 123

Théorème 66

La famille $(e_{n})_{n \in Z}$ est une base hilbertienne de $L_{2}^{2 π}$ .

Corollaire 67

Égalité de Parseval $\forall f \in L_{2}^{2 π}, f = n = - \infty \sum + \infty ⟨ f, e_{n} ⟩ e_{n}$

[GOU20]
p. 272

Exemple 68

On considère $f : x \mapsto 1 - \frac{x ^{2}}{π ^{2}}$ sur $[- π, π]$ . Alors, $∥ f ∥_{2}^{2} = \frac{8}{9} + n = 1 \sum + \infty \frac{16}{π ^{4} n ^{4}} = \frac{16}{15} ⟹ n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{4}} = \frac{π ^{4}}{90}$

[BMP]
p. 124

Remarque 69

L’égalité du 67 est valable dans $L_{2}^{2 π}$ , elle signifie donc que $n = - N \sum N ⟨ f, e_{n} ⟩ e_{n} - f_{2} ⟶_{N \to + \infty} 0$

234 Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

L’intégrale de Lebesgue

Définition abstraite

Propriétés

Lien avec l’intégrale de Riemann

Construction des espaces Lp​

L’espace vectoriel L1​

Les espaces vectoriels Lp​

Les espaces vectoriels normés Lp​

L’espace L∞​

Grands théorèmes d’intégration

Régularité sous l’intégrale

Continuité

Dérivabilité

Holomorphie

Intégration sur un espace produit

L’espace L2​

Aspect hilbertien

Conséquences

Base hilbertienne de L2​

Application aux séries de Fourier

Construction des espaces $L_{p}$

L’espace vectoriel $L_{1}$

Les espaces vectoriels $L_{p}$

Les espaces vectoriels normés $L_{p}$

L’espace $L_{\infty}$

L’espace $L_{2}$

Base hilbertienne de $L_{2}$