235 Problèmes d’interversion de symboles en analyse.

Problèmes d’interversion de symboles en analyse.

analysis

Suites et séries de fonctions

Utilisation de la convergence uniforme

Théorème 1 (de la double limite). Soient une partie non vide d’un espace vectoriel normé de dimension finie, un espace de Banach, une suite de fonctions de dans et . On suppose :

  1. converge uniformément sur .

  2. admet une limite quand tend vers .

Alors,

Théorème 2. Soient une partie non vide d’un espace vectoriel normé de dimension finie, un espace de Banach, une suite de fonctions de dans et . On suppose :

  1. converge uniformément sur vers .

  2. est continue en .

Alors est continue en .

Exemple 3. La suite définie sur pour tout par converge vers Les fonctions sont continues, mais ne l’est pas : on n’a pas convergence uniforme sur .

Théorème 4. Soient un intervalle non vide de , un espace vectoriel normé et une suite de fonctions de dans . On suppose :

  1. est dérivable sur .

  2. converge simplement sur vers .

  3. converge uniformément sur .

Alors est dérivable sur et , .

Contre-exemple 5. La suite définie sur pour tout par converge vers , qui n’est pas dérivable à l’origine bien que les le soient.

Théorème 6. Soient un segment non vide de , un espace de Banach et une suite de fonctions de dans . On suppose :

  1. est de classe sur .

  2. Il existe tel que converge.

  3. converge uniformément sur vers .

Alors converge uniformément sur vers de classe sur et .

Séries de fonctions et limites

Théorème 7. Soient une partie non vide d’un espace vectoriel normé, un espace de Banach, une série de fonctions de dans et . On suppose :

  1. converge uniformément sur .

  2. admet une limite quand tend vers .

Alors, converge dans et,

Théorème 8. Soient une partie non vide d’un espace vectoriel normé, un espace de Banach, une série de fonctions de dans et . On suppose :

  1. converge uniformément sur .

  2. est continue en .

Alors, est continue en .

Exemple 9. La fonction est continue sur .

Théorème 10. Soient un intervalle non vide de , un espace de Banach et une série de fonctions de dans . On suppose :

  1. est dérivable sur .

  2. Il existe tel que converge.

  3. converge uniformément sur .

Alors converge simplement sur uniformément sur tout compact de , et,

Exemple 11. La fonction est sur et,

Le cas des séries entières

Définition 12. On appelle série entière toute série de fonctions de la forme est une variable complexe et où est une suite complexe.

Lemme 13 (Abel). Soient une série entière et tels que soit bornée. Alors :

  1. tel que , converge absolument.

  2. converge normalement dans .

Définition 14. En reprenant les notations précédentes, le nombre est le rayon de convergence de .

Exemple 15.

  • a un rayon de convergence égal à .

  • a un rayon de convergence infini. On note la fonction somme.

Proposition 16. Soit une série entière de rayon de convergence . Alors et, pour tout .

Plus précisément, pour tout , est fois dérivable avec

Théorème 17 (Abel angulaire). Soit une série entière de rayon de convergence supérieur ou égal à tel que converge. On note la somme de cette série sur le disque unité de . On fixe et on pose .

Alors .

Application 18.

Application 19.

Contre-exemple 20. La réciproque est fausse :

Théorème 21 (Taubérien faible). Soit une série entière de rayon de convergence . On note la somme de cette série sur . On suppose que Si , alors converge et .

Remarque 22. Ce dernier résultat est une réciproque partielle du Théorème 17. Il reste vrai en supposant (c’est le théorème Taubérien fort).

Limites et intégration

On se place dans un espace mesuré .

Intégrale d’une suite de fonctions

Théorème 23 (Convergence monotone). Soit une suite croissante de fonctions mesurables positives. Alors, la limite de cette suite est mesurable positive, et,

Application 24. Soient , deux fonctions mesurables positives.

  1. (l’intégrale est croissante).

  2. (l’intégrale est additive).

  3. (l’intégrale est positivement homogène).

  4. Si pp., alors .

Théorème 25 (Lemme de Fatou). Soit une suite de fonctions mesurables positives. Alors,

Exemple 26. Soit croissante sur , continue en et dérivable en et dérivable pp. dans . Alors,

Théorème 27 (Convergence dominée). Soit une suite d’éléments de telle que :

  1. pp. en , converge dans vers .

  2. positive telle que Alors,

Exemple 28.

  • On reprend l’Exemple 26 et on suppose partout dérivable sur de dérivée bornée. Alors l’inégalité est une égalité.

  • Soit . On pose . Alors,

Exemple 29.

Application 30 (Lemme de Borel-Cantelli). Soit une famille de parties de . Alors,

Intégrale à paramètre

Soit est un espace métrique. On pose .

Continuité

Théorème 31 (Continuité sous le signe intégral). On suppose :

  1. , est mesurable.

  2. pp. en , est continue en .

  3. positive telle que

Alors est continue en .

Corollaire 32. On suppose :

  1. , est mesurable.

  2. pp. en , est continue sur .

  3. positive telle que

Alors est continue sur .

Exemple 33. La fonction est bien définie et continue sur .

Exemple 34. Soit intégrable. Alors, est bien définie et est continue sur .

Dérivabilité

On suppose ici que est un intervalle ouvert de .

Théorème 35 (Dérivation sous le signe intégral). On suppose :

  1. , .

  2. pp. en , est dérivable sur . On notera cette dérivée définie presque partout.

  3. compact, positive telle que

Alors , et est dérivable sur avec

Remarque 36.

  • Si dans le Théorème 35, hypothèse (i), on remplace dérivable par , alors la fonction est de classe .

  • On a un résultat analogue pour les dérivées d’ordre supérieur.

Théorème 37 (-ième dérivée sous le signe intégral). On suppose :

  1. , .

  2. pp. en , . On notera la -ième dérivée définie presque partout pour .

  3. , compact, positive telle que

Alors , , et avec

Exemple 38. La fonction de l’Exemple 33 est sur .

Exemple 39. On se place dans l’espace mesuré et on considère une suite de fonctions dérivables sur telle que Alors est dérivable sur de dérivée .

Application 40 (Transformée de Fourier d’une Gaussienne). En résolvant une équation différentielle linéaire, on a

Application 41 (Intégrale de Dirichlet). On pose , alors :

  1. est bien définie et est continue sur .

  2. est dérivable sur et , .

  3. .

Holomorphie

On suppose ici que est un ouvert de .

Théorème 42 (Holomorphie sous le signe intégral). On suppose :

  1. , .

  2. pp. en , est holomorphe dans . On notera cette dérivée définie presque partout.

  3. compact, positive telle que

Alors est holomorphe dans avec

Exemple 43. La fonction de l’Exemple 33 est holomorphe dans l’ouvert .

Intégrale sur un espace produit

Théorème 44 (Fubini-Tonelli). Soient un autre espace mesuré et . On suppose et -finies. Alors :

  1. et sont mesurables.

  2. Dans ,

Théorème 45 (Fubini-Lebesgue). Soient un autre espace mesuré et . Alors :

  1. Pour tout , et pour tout , sont intégrables.

  2. et sont intégrables, les fonctions étant définies pp.

  3. On a :

Contre-exemple 46. On considère . Alors, , mais .

Exemple 47. Soient et . Alors,

Applications en analyse de Fourier

Séries de Fourier

Définition 48. Soit une application -périodique et continue par morceaux sur . On appelle coefficients de Fourier de les nombres complexes définis par La série de Fourier associée à est

Théorème 49 (Parseval). Soit une application -périodique et continue par morceaux sur . Alors la série de Fourier de est convergente et,

Exemple 50. Avec , on obtient .

Théorème 51 (Jordan-Dirichlet). Soit une application -périodique et par morceaux sur . Alors la série de Fourier de est convergente en tout point et sa somme en ce point vaut

Exemple 52. Toujours avec , on obtient .

Transformée de Fourier

Définition 53. Soit une fonction mesurable. On définit, lorsque cela a un sens, sa transformée de Fourier, notée par

Exemple 54 (Densité de Poisson). On pose , . Alors et, , .

Lemme 55 (Riemann-Lebesgue). Soit , existe et

Théorème 56. , est continue, bornée par . Donc la transformation de Fourier est bien définie.

Corollaire 57. La transformation de Fourier est une application linéaire continue.

Exemple 58. Remarquons ici que la transformée de Fourier n’est pas intégrable.

Théorème 59 (Formule de dualité).

Corollaire 60. La transformation de Fourier est une application injective.

Théorème 61 (Formule d’inversion de Fourier). Si est telle que , alors

Théorème 62 (Formule sommatoire de Poisson). Soit une fonction de classe telle que et quand . Alors :

Application 63 (Identité de Jacobi).