235 Problèmes d’interversion de symboles en analyse.

Problèmes d’interversion de symboles en analyse.

analysis

Problèmes d’interversion avec les suites et séries de fonctions

Utilisation de la convergence uniforme

Théorème 1 (de la double limite). Soient $X$ une partie non vide d’un espace vectoriel normé de dimension finie, $E$ un espace de Banach, $(f_{n})$ une suite de fonctions de $X$ dans $E$ et $a \in \overline{X}$ . On suppose :

$(f_{n})$ converge uniformément sur $X$ .
$\forall n \in N, f_{n} (x)$ admet une limite quand $x$ tend vers $a$ .

Alors, $n \to + \infty lim (x \to a lim f_{n} (x)) = x \to a lim (n \to + \infty lim f_{n} (x))$

Théorème 2. Soient $X$ une partie non vide d’un espace vectoriel normé de dimension finie, $E$ un espace de Banach, $(f_{n})$ une suite de fonctions de $X$ dans $E$ et $a \in X$ . On suppose :

$(f_{n})$ converge uniformément sur $X$ vers $f$ .
$\forall n \in N, f_{n} (x)$ est continue en $a$ .

Alors $f$ est continue en $a$ .

Exemple 3. La suite $(f_{n})$ définie sur $R^{+}$ pour tout $n \in N$ par $f_{n} : x \mapsto e^{- n x}$ converge vers $f : R^{+} x \to \mapsto R^{+} {10 si x = 0 sinon$ Les fonctions $f_{n}$ sont continues, mais $f$ ne l’est pas : on n’a pas convergence uniforme sur $R^{+}$ .

Théorème 4. Soient $I$ un intervalle non vide de $R$ , $E$ un espace vectoriel normé et $(f_{n})$ une suite de fonctions de $I$ dans $E$ . On suppose :

$\forall n \in N, f_{n}$ est dérivable sur $I$ .
$(f_{n})$ converge simplement sur $I$ vers $f$ .
$(f_{n}^{'})$ converge uniformément sur $I$ .

Alors $f$ est dérivable sur $I$ et $\forall x \in I$ , $f^{'} (x) = lim_{n \to + \infty} f_{n}^{'} (x)$ .

Contre-exemple 5. La suite $(f_{n})$ définie sur $R$ pour tout $n \in N$ par $f_{n} : x \mapsto (x^{2} + \frac{1}{n ^{2}})^{\frac{1}{2}}$ converge vers $x \mapsto ∣ x ∣$ , qui n’est pas dérivable à l’origine bien que les $f_{n}$ le soient.

Théorème 6. Soient $I = [a, b]$ un segment non vide de $R$ , $E$ un espace de Banach et $(f_{n})$ une suite de fonctions de $I$ dans $E$ . On suppose :

$\forall n \in N, f_{n}$ est de classe $C^{1}$ sur $I$ .
Il existe $x_{0} \in I$ tel que $(f_{n} (x_{0}))$ converge.
$(f_{n}^{'})$ converge uniformément sur $I$ vers $g$ .

Alors $(f_{n})$ converge uniformément sur $I$ vers $f$ de classe $C^{1}$ sur $I$ et $f^{'} = g$ .

Séries de fonctions et limites

p. 195

Théorème 7. Soient $X$ une partie non vide d’un espace vectoriel normé, $E$ un espace de Banach, $\sum f_{n}$ une série de fonctions de $X$ dans $E$ et $a \in \overline{X}$ . On suppose :

$\sum f_{n}$ converge uniformément sur $X$ .
$\forall n \in N, f_{n} (x)$ admet une limite $ℓ_{n}$ quand $x$ tend vers $a$ .

Alors, $\sum ℓ_{n}$ converge dans $E$ et, $x \to a lim n = 0 \sum + \infty f_{n} (x) = n = 0 \sum + \infty x \to a lim f_{n} (x) = n = 0 \sum + \infty ℓ_{n}$

Théorème 8. Soient $X$ une partie non vide d’un espace vectoriel normé, $E$ un espace de Banach, $\sum f_{n}$ une série de fonctions de $X$ dans $E$ et $a \in X$ . On suppose :

$\sum f_{n}$ converge uniformément sur $X$ .
$\forall n \in N, f_{n}$ est continue en $a$ .

Alors, $\sum_{n = 0}^{+ \infty} f_{n}$ est continue en $a$ .

Exemple 9. La fonction $x \mapsto \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{e ^{- n ∣ x ∣}}{n ^{2}}$ est continue sur $R$ .

Théorème 10. Soient $I$ un intervalle non vide de $R$ , $E$ un espace de Banach et $\sum f_{n}$ une série de fonctions de $I$ dans $E$ . On suppose :

$\forall n \in N, f_{n}$ est dérivable sur $I$ .
Il existe $x_{0} \in I$ tel que $\sum f_{n} (x_{0})$ converge.
$\sum f_{n}^{'}$ converge uniformément sur $I$ .

Alors $\sum f_{n}$ converge simplement sur $I$ uniformément sur tout compact de $I$ , et, $(n = 0 \sum + \infty f_{n})^{'} = n = 0 \sum + \infty f_{n}^{'}$

Exemple 11. La fonction $ζ : s \mapsto \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n ^{s}}$ est $C^{\infty}$ sur $] 1, + \infty [$ et, $\forall k \in N, \forall s \in] 1, + \infty [, ζ^{(k)} (s) = (- 1)^{k} n = 1 \sum + \infty \frac{( ln ( s ) ) ^{k}}{n ^{s}}$

Le cas des séries entières

[GOU20]
p. 247

Définition 12. On appelle série entière toute série de fonctions de la forme $\sum a_{n} z^{n}$ où $z$ est une variable complexe et où $(a_{n})$ est une suite complexe.

Lemme 13 (Abel). Soient $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière et $z_{0} \in C$ tels que $(a_{n} z_{0}^{n})$ soit bornée. Alors :

$\forall z \in C$ tel que $∣ z ∣ < ∣ z_{0} ∣$ , $\sum a_{n} z^{n}$ converge absolument.
$\forall r \in] 0, z_{0} [, \sum a_{n} z^{n}$ converge normalement dans $\overline{D} (0, r) = {z \in C ∣ ∣ z ∣ \leq r}$ .

Définition 14. En reprenant les notations précédentes, le nombre $R = sup {r \geq 0 ∣ (∣ a_{n} ∣ r^{n}) est born \overset{e}{ˊ} e}$ est le rayon de convergence de $\sum a_{n} z^{n}$ .

p. 255

Exemple 15.

$\sum n^{2} z^{n}$ a un rayon de convergence égal à $1$ .
$\sum \frac{z ^{n}}{n !}$ a un rayon de convergence infini. On note $z \mapsto e^{z}$ la fonction somme.

[QUE]
p. 57

Proposition 16. Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $r \neq = 0$ . Alors $S \in H (D (0, r))$ et, $S^{'} (z) = n = 0 \sum + \infty n a_{n} z^{n - 1}$ pour tout $z \in D (0, r)$ .

Plus précisément, pour tout $k \in N$ , $S$ est $k$ fois dérivable avec $S^{(k)} (z) = n = k \sum + \infty n (n - 1) \dots (n - k + 1) a_{n} z^{n - k}$

[GOU20]
p. 263

theoreme-d-abel-angulaire

Théorème 17 (Abel angulaire). Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence supérieur ou égal à $1$ telle que $\sum a_{n}$ converge. On note $f$ la somme de cette série sur le disque unité $D$ de $C$ . On fixe $θ_{0} \in [0, \frac{π}{2} [$ et on pose $Δ_{θ_{0}} = {z \in D ∣ \exists ρ > 0 et \exists θ \in [- θ_{0}, θ_{0}] tels que z = 1 - ρ e^{i θ}}$ .

Alors $lim_{z \to 1 z \in Δ_{θ_{0}}} f (z) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n}$ .

Application 18. $n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n + 1 )} = \frac{π}{4}$

Application 19. $n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} = ln (2)$

Contre-exemple 20. La réciproque est fausse : $z \to 1 ∣ z ∣ < 1 lim (- 1)^{n} z^{n} = z \to 1 ∣ z ∣ < 1 lim \frac{1}{1 + z} = \frac{1}{2}$

Théorème 21 (Taubérien faible). Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $1$ . On note $f$ la somme de cette série sur $D (0, 1)$ . On suppose que $\exists S \in C tel que x \to 1 x < 1 lim f (x) = S$ Si $a_{n} = o (\frac{1}{n})$ , alors $\sum a_{n}$ converge et $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} = S$ .

Remarque 22. Ce dernier résultat est une réciproque partielle du Théorème 17. Il reste vrai en supposant $a_{n} = O (\frac{1}{n})$ (c’est le théorème Taubérien fort).

Problèmes d’interversion en intégration

On se place dans un espace mesuré $(X, A, μ)$ .

Intégrale d’une suite de fonctions

[B-P]
p. 124

Théorème 23 (Convergence monotone). Soit $(f_{n})$ une suite croissante de fonctions mesurables positives. Alors, la limite $f$ de cette suite est mesurable positive, et, $\int_{X} f d μ = n \to + \infty lim \int_{X} f_{n} d μ$

Application 24. Soient $f$ , $g$ deux fonctions mesurables positives.

$f \leq g ⟹ \int_{X} f d μ \leq \int_{X} g d μ$ (l’intégrale est croissante).
$\int_{X} (f + g) d μ = \int_{X} f d μ + \int_{X} g d μ$ (l’intégrale est additive).
$\forall λ \geq 0, \int_{X} λ f d μ = λ \int_{X} f d μ$ (l’intégrale est positivement homogène).
Si $f = g$ pp., alors $\int_{X} f d μ = \int_{X} g d μ$ .

p. 137

Théorème 25 (Lemme de Fatou). Soit $(f_{n})$ une suite de fonctions mesurables positives. Alors, $0 \leq \int_{X} lim inf f_{n} d μ \leq lim inf \int_{X} f_{n} d μ \leq + \infty$

Exemple 26. Soit $f$ croissante sur $[0, 1]$ , continue en $0$ et dérivable en $1$ et dérivable pp. dans $[0, 1]$ . Alors, $\int_{0}^{1} f^{'} (x) d x \leq f (1) - f (0)$

Théorème 27 (Convergence dominée). Soit $(f_{n})$ une suite d’éléments de $L_{1}$ telle que :

pp. en $x$ , $(f_{n} (x))$ converge dans $K$ vers $f (x)$ .
$\exists g \in L_{1}$ positive telle que $\forall n \in N, pp. en x, ∣ f_{n} (x) ∣ \leq g (x)$ Alors, $\int_{X} f d μ = n \to + \infty lim \int_{X} f_{n} d μ et n \to + \infty lim \int_{X} ∣ f_{n} - f ∣ d μ = 0$

Exemple 28.

On reprend l’Exemple 26 et on suppose $f$ partout dérivable sur $[0, 1]$ de dérivée bornée. Alors l’inégalité est une égalité.
Soit $α > 1$ . On pose $\forall n \geq 1, I_{n} (α) = \int_{0}^{n} (1 + \frac{x}{n})^{n} e^{- αx} d x$ . Alors, $n \to + \infty lim I_{n} (α) = \int_{0}^{+ \infty} e^{(1 - α) x} d x = \frac{1}{α - 1}$

[AMR11]
p. 156

Exemple 29. $n \to + \infty lim \int_{0}^{+ \infty} \frac{x ^{n}}{x ^{2 n} + 1} d x = 0$

[B-P]
p. 144

Application 30 (Lemme de Borel-Cantelli). Soit $(A_{n})$ une famille de parties de $A$ . Alors, $n = 1 \sum + \infty μ (A_{n}) < + \infty ⟹ μ (n \to + \infty lim sup A_{n}) = 0$

Intégrale à paramètre

[Z-Q]
p. 312

Soit $f : E \times X \to C$ où $(E, d)$ est un espace métrique. On pose $F : t \mapsto \int_{X} f (t, x) d μ (x)$ .

Continuité

Théorème 31 (Continuité sous le signe intégral). On suppose :

$\forall t \in E$ , $x \mapsto f (t, x)$ est mesurable.
pp. en $x \in X$ , $t \mapsto f (t, x)$ est continue en $t_{0} \in E$ .
$\exists g \in L_{1} (X)$ positive telle que $∣ f (t, x) ∣ \leq g (x) \forall t \in E, pp. en x \in X$

Alors $F$ est continue en $t_{0}$ .

Corollaire 32. On suppose :

$\forall t \in E$ , $x \mapsto f (t, x)$ est mesurable.
pp. en $x \in X$ , $t \mapsto f (t, x)$ est continue sur $E$ .
$\forall K \subseteq E, \exists g_{K} \in L_{1} (X)$ positive telle que $∣ f (t, x) ∣ \leq g_{K} (x) \forall t \in E, pp. en x$

Alors $F$ est continue sur $E$ .

p. 318

Exemple 33. La fonction $Γ : R_{*}^{+} t \to \mapsto R_{*}^{+} \int_{0}^{+ \infty} t^{x - 1} e^{- t} d t$ est bien définie et continue sur $R_{*}^{+}$ .

[G-K]
p. 104

Exemple 34. Soit $f : R^{+} \to C$ intégrable. Alors, $λ \mapsto \int_{0}^{+ \infty} e^{- λ t} f (t) d t$ est bien définie et est continue sur $R^{+}$ .

Dérivabilité

[Z-Q]
p. 313

On suppose ici que $E$ est un intervalle $I$ ouvert de $R$ .

Théorème 35 (Dérivation sous le signe intégral). On suppose :

$\forall t \in I$ , $x \mapsto f (t, x) \in L_{1} (X)$ .
pp. en $x \in X$ , $t \mapsto f (t, x)$ est dérivable sur $I$ . On notera $\frac{\partial f}{\partial t}$ cette dérivée définie presque partout.
$\forall K \subseteq I$ compact, $\exists g_{K} \in L_{1} (X)$ positive telle que $\frac{\partial f}{\partial t} (x, t) \leq g_{K} (x) \forall t \in I, pp. en x$

Alors $\forall t \in I$ , $x \mapsto \frac{\partial f}{\partial t} (x, t) \in L_{1} (X)$ et $F$ est dérivable sur $I$ avec $\forall t \in I, F^{'} (t) = \int_{X} \frac{\partial f}{\partial t} (x, t) d μ (x)$

Remarque 36.

Si dans le Théorème 35, hypothèse (i), on remplace dérivable par $C^{1}$ , alors la fonction $F$ est de classe $C^{1}$ .
On a un résultat analogue pour les dérivées d’ordre supérieur.

Théorème 37 ( $k$ -ième dérivée sous le signe intégral). On suppose :

$\forall t \in I$ , $x \mapsto f (t, x) \in L_{1} (X)$ .
pp. en $x \in X$ , $t \mapsto f (t, x) \in C^{k} (I)$ . On notera $(\frac{\partial}{\partial t})^{j} f$ la $j$ -ième dérivée définie presque partout pour $j \in [[0, k]]$ .
$\forall j \in [[0, k]]$ , $\forall K \subseteq I$ compact, $\exists g_{j, K} \in L_{1} (X)$ positive telle que $(\frac{\partial}{\partial t})^{j} f (x, t) \leq g_{j, K} (x) \forall t \in K, pp. en x$

Alors $\forall j \in [[0, k]]$ , $\forall t \in I$ , $x \mapsto (\frac{\partial}{\partial t})^{j} f (x, t) \in L_{1} (X)$ et $F \in C^{k} (I)$ avec $\forall j \in [[0, k]], \forall t \in I, F^{(j)} (t) = \int_{X} (\frac{\partial}{\partial t})^{j} f (x, t) d μ (x)$

p. 318

Exemple 38. La fonction $Γ$ de l’Exemple 33 est $C^{\infty}$ sur $R_{*}^{+}$ .

[B-P]
p. 149

Exemple 39. On se place dans l’espace mesuré $(N, P (N), card)$ et on considère $(f_{n})$ une suite de fonctions dérivables sur $I$ telle que $\forall x \in R, n \in N \sum ∣ f_{n} (x) ∣ + x \in I sup ∣ f_{n}^{'} (t) ∣ < + \infty$ Alors $x \mapsto \sum_{n \in N} f_{n} (x)$ est dérivable sur $I$ de dérivée $x \mapsto \sum_{n \in N} f_{n}^{'} (x)$ .

[GOU20]
p. 169

Application 40 (Transformée de Fourier d’une Gaussienne). En résolvant une équation différentielle linéaire, on a $\forall α > 0, \forall x \in R, \int_{R} e^{- α t^{2}} e^{- i t x} d t = \frac{π}{α} e^{- \frac{x ^{2}}{π α}}$

[G-K]
p. 107

integrale-de-dirichlet

Application 41 (Intégrale de Dirichlet). On pose $\forall x \geq 0$ , $F (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sin ( t )}{t} e^{- x t} d t$ alors :

$F$ est bien définie et est continue sur $R^{+}$ .
$F$ est dérivable sur $R_{*}^{+}$ et $\forall x \in R_{*}^{+}$ , $F^{'} (x) = - \frac{1}{1 + x ^{2}}$ .
$F (0) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{s i n ( t )}{t} d t = \frac{π}{2}$ .

Holomorphie

[Z-Q]
p. 314

On suppose ici que $E$ est un ouvert $Ω$ de $C$ .

Théorème 42 (Holomorphie sous le signe intégral). On suppose :

$\forall z \in Ω$ , $x \mapsto f (z, x) \in L_{1} (X)$ .
pp. en $x \in X$ , $z \mapsto f (z, x)$ est holomorphe dans $Ω$ . On notera $\frac{\partial f}{\partial z}$ cette dérivée définie presque partout.
$\forall K \subseteq Ω$ compact, $\exists g_{K} \in L_{1} (X)$ positive telle que $∣ f (x, z) ∣ \leq g_{K} (x) \forall z \in K, pp. en x$

Alors $F$ est holomorphe dans $Ω$ avec $\forall z \in Ω, F^{'} (z) = \int_{X} \frac{\partial f}{\partial z} (z, t) d μ (z)$

p. 318

Exemple 43. La fonction $Γ$ de l’Exemple 33 est holomorphe dans l’ouvert ${z \in C ∣ Re (z) > 0}$ .

Intégrale sur un espace produit

[B-P]
p. 237

Théorème 44 (Fubini-Tonelli). Soient $(Y, B, ν)$ un autre espace mesuré et $f : (X \times Y) \to \overline{R^{+}}$ . On suppose $μ$ et $ν$ $σ$ -finies. Alors :

$x \mapsto \int_{Y} f (x, y) d ν (y)$ et $y \mapsto \int_{X} f (x, y) d μ (x)$ sont mesurables.
Dans $\overline{R^{+}}$ , $\int_{X \times Y} f d (μ \otimes ν) = \int_{X} (\int_{Y} f (x, y) d ν (y)) = \int_{Y} (\int_{X} f (x, y) d μ (x))$

Théorème 45 (Fubini-Lebesgue). Soient $(Y, B, ν)$ un autre espace mesuré et $f \in L_{1} (μ \otimes ν)$ . Alors :

Pour tout $y \in Y$ , $x \mapsto f (x, y)$ et pour tout $x \in X$ , $y \mapsto f (x, y)$ sont intégrables.
$x \mapsto \int_{Y} f (x, y) d ν (y)$ et $y \mapsto \int_{X} f (x, y) d μ (x)$ sont intégrables, les fonctions étant définies pp.
On a : $\int_{X \times Y} f d (μ \otimes ν) = \int_{X} (\int_{Y} f (x, y) d ν (y)) = \int_{Y} (\int_{X} f (x, y) d μ (x))$

Contre-exemple 46. On considère $f : (x, y) \mapsto 2 e^{- 2 x y} - e^{- x y}$ . Alors, $\int_{[0, 1]} (\int_{R^{+}} f (x, y) d x) d y = 0$ , mais $\int_{R^{+}} (\int_{[0, 1]} f (x, y) d y) d x = ln (2)$ .

[GOU20]
p. 359

Exemple 47. Soient $f : (x, y) \mapsto x y$ et $D = {(x, y) \in R^{2} ∣ x, y \geq 0 et x + y \leq 1}$ . Alors, $\int \int_{D} = f (x, y) d x d y = \int_{0}^{1} x \frac{( 1 - x ) ^{2}}{2} d x = \frac{1}{24}$

Problèmes d’interversion en analyse de Fourier

Séries de Fourier

p. 267

Définition 48. Soit $f : R \to C$ une application $2 π$ -périodique et continue par morceaux sur $R$ . On appelle coefficients de Fourier de $f$ les nombres complexes définis par $\forall n \in Z, c_{n} (f) = \int_{0}^{2 π} f (t) e^{- in t} d t$ La série de Fourier associée à $f$ est $n \in Z \sum c_{n} (f) e^{in x}$

Théorème 49 (Parseval). Soit $f : R \to C$ une application $2 π$ -périodique et continue par morceaux sur $R$ . Alors la série de Fourier de $f$ est convergente et, $n = - \infty \sum + \infty ∣ c_{n} (f) ∣^{2} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} ∣ f (t) ∣ d t$

Exemple 50. Avec $f : x \mapsto 1 - \frac{x ^{2}}{π ^{2}}$ , on obtient $\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n ^{4}} = \frac{π ^{4}}{90}$ .

Théorème 51 (Jordan-Dirichlet). Soit $f : R \to C$ une application $2 π$ -périodique et $C^{1}$ par morceaux sur $R$ . Alors la série de Fourier de $f$ est convergente en tout point $x \in R$ et sa somme en ce point vaut $\frac{f ( x ^{+} ) + f ( x ^{-} )}{2}$

Exemple 52. Toujours avec $f : x \mapsto 1 - \frac{x ^{2}}{π ^{2}}$ , on obtient $\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6}$ .

Transformée de Fourier

[AMR08]
p. 109

Définition 53. Soit $f : R^{d} \to C$ une fonction mesurable. On définit, lorsque cela a un sens, sa transformée de Fourier, notée $f$ par $f : R^{d} ξ \to \mapsto C \int_{R^{d}} f (x) e^{- i ⟨ x, ξ ⟩} d x$

Exemple 54 (Densité de Poisson). On pose $\forall x \in R$ , $p (x) = \frac{1}{2} e^{- ∣ x ∣}$ . Alors $p \in L_{1} (R)$ et, $\forall ξ \in R$ , $p (ξ) = \frac{1}{1 + ξ ^{2}}$ .

Lemme 55 (Riemann-Lebesgue). Soit $f \in L_{1} (R^{d})$ , $f$ existe et $∥ ξ ∥ \to + \infty lim f (ξ)$

Théorème 56. $\forall f \in L_{1} (R^{d})$ , $f$ est continue, bornée par $∥ f ∥_{1}$ . Donc la transformation de Fourier $F : L_{1} (R^{d}) f \to \mapsto C_{0} (R^{d}) f$ est bien définie.

Corollaire 57. La transformation de Fourier $F : L_{1} (R^{d}) \to C_{0} (R^{d})$ est une application linéaire continue.

Exemple 58. $\forall ξ \in R, 1_{[- 1, 1]} (ξ) = {\frac{2 s i n ( ξ )}{ξ} si ξ \neq = 0 2 sinon$ Remarquons ici que la transformée de Fourier n’est pas intégrable.

Théorème 59 (Formule de dualité). $\forall f, g \in L_{1} (R^{d}), \int_{R^{d}} f (t) g (t) d t = \int_{R^{d}} f (t) g (t) d t$

Corollaire 60. La transformation de Fourier $F : L_{1} (R^{d}) \to C_{0} (R^{d})$ est une application injective.

Théorème 61 (Formule d’inversion de Fourier). Si $f \in L_{1} (R^{d})$ est telle que $f \in L_{1} (R^{d})$ , alors $f (x) = (2 π)^{d} f (x) pp. en x \in R^{d}$

[GOU20]
p. 284

Théorème 62 (Formule sommatoire de Poisson). Soit $f : R \to C$ une fonction de classe $C^{1}$ telle que $f (x) = O (\frac{1}{x ^{2}})$ et $f^{'} (x) = O (\frac{1}{x ^{2}})$ quand $∣ x ∣ ⟶ + \infty$ . Alors : $\forall x \in R, n \in Z \sum f (x + n) = n \in Z \sum f (2 πn) e^{2 iπn x}$

Application 63 (Identité de Jacobi). $\forall s > 0, n = - \infty \sum + \infty e^{- π n^{2} s} = \frac{1}{s} n = - \infty \sum + \infty e^{- \frac{π n ^{2}}{s}}$