236 Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

analysis

Méthodes de base pour les fonction d’une variable

Primitives

Théorème 1

Fondamental de l’analyseSoit $f : [a, b] \to E$ (où $[a, b] \subseteq R$ est un segment et $E$ un espace de Banach sur $R$ ou $C$ ).

L’application $F : [a, b] x \to \mapsto E \int_{a}^{x} f (t) d t$ est $C^{1}$ par morceaux, continue, dérivable à gauche et à droite sur $[a, b]$ telle que $F_{g}^{'} (x) = t \to x t < x lim f^{'} (t) et F_{d}^{'} (x) = t \to x t > x lim f^{'} (t)$
Si $f$ est continue sur $[a, b]$ , $F$ est de classe $C^{1}$ sur $[a, b]$ avec $F^{'} (x) = f (x)$ pour tout $x \in [a, b]$ .

Corollaire 2

Soit $[a, b] \subseteq R$ un segment. Toute application continue $f : [a, b] \to R$ admet au moins une primitive, et pour toute primitive $F$ de $f$ sur $[a, b]$ , on a $\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)$

Exemple 3

Pour tout $n \in N$ , on note $W_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin (x)^{n} d x$ . Alors, $W_{0} = \frac{π}{2}$ et $W_{1} = 1$ .

p. 137

Proposition 4

Soit $F \in R (X)$ . Pour intégrer $x \mapsto F (x)$ , on fait une décomposition en éléments simples de $F$ , qui nous ramène à calculer des primitives de la forme $\int \frac{d x}{( x - a ) ^{h}} d x et \int \frac{a x + b}{( x ^{2} + c x + d ) ^{h}} d x$ où $h \in N^{*}$ et $c - 4 d < 0$ .

Exemple 5

$\int^{x} \frac{1 - x}{( x ^{2} + x + 1 ) ^{2}} d x = \frac{x + 1}{x ^{2} + x + 1} + \frac{2}{3} arctan (\frac{2 x + 1}{3}) + k avec k \in R$

Changement de variable

p. 127

Théorème 6

Changement de variableSoit $[a, b] \subseteq R$ un segment. Soit $φ : [a, b] \to R$ une application de classe $C^{1}$ et $f : I \to E$ où $I$ est un intervalle tel que $φ ([a, b]) \subseteq I$ . Alors, $\int_{a}^{b} f (φ (t)) φ^{'} (t) d t = \int_{φ (a)}^{φ (b)} f (u) d u$

p. 178

Exemple 7

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} ln (sin (x)) d x = - \frac{π ln ( 2 )}{2}$

p. 139

Proposition 8

Règle de BiocheSoit $R \in R (X, Y)$ . Pour calculer une primitive d’une fonction de la forme $f : x \mapsto R (sin (x), cos (x))$ , on peut utiliser la règle de Bioche :

Si $f (x) d x$ reste inchangé en changeant $x$ en $π - x$ , on pose $t = sin (x)$ .
Si $f (x) d x$ reste inchangé en changeant $x$ en $- x$ , on pose $t = cos (x)$ .
Si $f (x) d x$ reste inchangé en changeant $x$ en $π + x$ , on pose $t = tan (x)$ .

Exemple 9

$\int^{u} \frac{sin ( x ) ^{3}}{1 + cos ( x ) ^{2}} d x = t = c o s (x) \int^{c o s (u)} \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}} (- d t) = cos (u) - 2 arctan (cos (u)) + k avec k \in R$

Intégration par parties

p. 127

Théorème 10

Intégration par partiesSoit $[a, b] \subseteq R$ un segment. Soient $u, v : [a, b] \to C$ deux fonctions de classe $C^{1}$ . Alors, $\int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x$

p. 162

Exemple 11

Fonction $Γ$ d’EulerOn pose $\forall x > 0, Γ (x) = \int_{0}^{+ \infty} e^{- t} t^{x - 1} d t$ Alors, $\forall x > 0, Γ (x + 1) = x Γ (x)$ et en particulier, $\forall n \in N, Γ (n) = n!$ .

p. 130

Exemple 12

Intégrales de WallisEn reprenant l’3, on a $\forall p \in N^{*}, W_{2 p} = \frac{( 2 p - 1 ) ( 2 p - 3 ) \dots 1}{2 p ( 2 p - 2 ) \dots 2} \frac{π}{2} et W_{2 p + 1} = \frac{2 p ( 2 p - 2 ) \dots 2}{( 2 p - 1 ) ( 2 p - 3 ) \dots 1}$

p. 167

Application 13

Intégrale de Gauss $I = \int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t = \frac{π}{2}$

Méthodes pour les fonctions de plusieurs variables

Intégration sur un espace produit

[B-P]
p. 237

Théorème 14

Théorème de Fubini-TonelliSoient $(X, A, μ)$ et $(Y, B, ν)$ deux espaces mesurés et $f : (X \times Y) \to \overline{R^{+}}$ . On suppose $μ$ et $ν$ $σ$ -finies. Alors :

$x \mapsto \int_{Y} f (x, y) d ν (y)$ et $y \mapsto \int_{X} f (x, y) d μ (x)$ sont mesurables.
Dans $\overline{R^{+}}$ , $\int_{X \times Y} f d (μ \otimes ν) = \int_{X} (\int_{Y} f (x, y) d ν (y)) = \int_{Y} (\int_{X} f (x, y) d μ (x))$

Théorème 15

Théorème de Fubini-LebesgueSoient $(X, A, μ)$ et $(Y, B, ν)$ deux espaces mesurés et $f \in L_{1} (μ \otimes ν)$ . Alors :

Pour tout $y \in Y$ , $x \mapsto f (x, y)$ et pour tout $x \in X$ , $y \mapsto f (x, y)$ sont intégrables.
$x \mapsto \int_{Y} f (x, y) d ν (y)$ et $y \mapsto \int_{X} f (x, y) d μ (x)$ sont intégrables, les fonctions étant définies pp.
On a : $\int_{X \times Y} f d (μ \otimes ν) = \int_{X} (\int_{Y} f (x, y) d ν (y)) = \int_{Y} (\int_{X} f (x, y) d μ (x))$

Contre-exemple 16

On considère $f : (x, y) \mapsto 2 e^{- 2 x y} - e^{- x y}$ . Alors, $\int_{[0, 1]} (\int_{R^{+}} f (x, y) d x) d y = 0$ , mais $\int_{R^{+}} (\int_{[0, 1]} f (x, y) d y) d x = ln (2)$ .

[GOU20]
p. 359

Exemple 17

Soient $f : (x, y) \mapsto x y$ et $D = {(x, y) \in R^{2} ∣ x, y \geq 0 et x + y \leq 1}$ . Alors, $\iint_{D} f (x, y) d x d y = \int_{0}^{1} x \frac{( 1 - x ) ^{2}}{2} d x = \frac{1}{24}$

Changement de variable généralisé

[BMP]
p. 9

Théorème 18

Soient $U$ un ouvert de $R^{n}$ et $φ : U \to R^{n}$ un $C^{1}$ -difféomorphisme. On pose $V = φ (U)$ . Alors $V$ est un ouvert de $R^{n}$ . De plus, pour toute fonction mesurable $f : V \to R$ , on a $f \in L^{1} (V) ⟺ (y \mapsto f (φ (y)) ∣ det Jac φ (y) ∣) \in L^{1} (U) .$ Dans ce cas, $\int_{V} f (x) d x = \int_{U} f (φ (y)) ∣ det Jac φ (y) ∣ d y .$

[GOU20]
p. 355

Exemple 19

Coordonnées polairesL’application $R^{+} \times [0, 2 π] (r, θ) \to \mapsto R \times R (r cos (θ), r sin (θ))$ est un difféomorphisme de classe $C^{1}$ donc le jacobien en $(r, θ) \in R^{+} \times [0, 2 π]$ vaut $r$ .

Exemple 20

Coordonnées sphériquesL’application $R^{+} \times [0, 2 π] \times [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] (r, θ, φ) \to \mapsto R \times R \times R (r cos (φ) cos (θ), r cos (φ) sin (θ), r sin (φ))$ est un difféomorphisme de classe $C^{1}$ donc le jacobien en $(r, θ, φ) \in R^{+} \times [0, 2 π] \times [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ vaut $r^{2} cos (φ)$ .

Application 21

Intégrale de GaussEn passant en coordonnées polaires, $\int_{R} e^{- x^{2}} d x = π$

Utilisation des théorèmes d’intégration

Soit $(X, A, μ)$ et $(Y, B, ν)$ un espace mesuré.

Convergence dominée

[B-P]
p. 140

Théorème 22

Convergence dominéeSoit $(f_{n})$ une suite d’éléments de $L_{1}$ telle que :

pp. en $x$ , $(f_{n} (x))$ converge dans $K$ vers $f (x)$ .
$\exists g \in L_{1}$ positive telle que $\forall n \in N, pp. en x, ∣ f_{n} (x) ∣ \leq g (x)$ Alors, $\int_{X} f d μ = n \to + \infty lim \int_{X} f_{n} d μ et n \to + \infty lim \int_{X} ∣ f_{n} - f ∣ d μ = 0$

Exemple 23

Soit $α > 1$ . On pose $\forall n \geq 1, I_{n} (α) = \int_{0}^{n} (1 + \frac{x}{n})^{n} e^{- α x} d x$ . Alors, $n \to + \infty lim I_{n} (α) = \int_{0}^{+ \infty} e^{(1 - α) x} d x = \frac{1}{α - 1}$

[AMR11]
p. 156

Exemple 24

$n \to + \infty lim \int_{0}^{+ \infty} \frac{x ^{n}}{x ^{2 n} + 1} d x = 0$

[G-K]
p. 104

Exemple 25

$n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{3 n + 1} = \int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{3} + 1} = \frac{3 ln ( 2 ) + 3 π}{9}$

Régularité sous l’intégrale

[Z-Q]
p. 312

Soit $f : E \times X \to C$ où $(E, d)$ est un espace métrique. On pose $F : t \mapsto \int_{X} f (t, x) d μ (x)$ .

Théorème 26

Continuité sous le signe intégralOn suppose :

$\forall t \in E$ , $x \mapsto f (t, x)$ est mesurable.
pp. en $x \in X$ , $t \mapsto f (t, x)$ est continue en $t_{0} \in E$ .
$\exists g \in L_{1} (X)$ positive telle que $∣ f (t, x) ∣ \leq g (x) \forall t \in E, pp. en x \in X$

Alors $F$ est continue en $t_{0}$ .

p. 318

Exemple 27

La fonction $Γ$ de l’11 est bien définie et continue sur $R_{*}^{+}$ .

p. 313

On suppose maintenant que $E$ est un intervalle $I$ ouvert de $R$ .

Théorème 28

Dérivation sous le signe intégralOn suppose :

$\forall t \in I$ , $x \mapsto f (t, x) \in L_{1} (X)$ .
pp. en $x \in X$ , $t \mapsto f (t, x)$ est dérivable sur $I$ . On notera $\frac{\partial f}{\partial t}$ cette dérivée définie presque partout.
$\forall K \subseteq I$ compact, $\exists g_{K} \in L_{1} (X)$ positive telle que $\frac{\partial f}{\partial t} (t, x) \leq g_{K} (x) \forall t \in K, pp. en x$

Alors $\forall t \in I$ , $x \mapsto \frac{\partial f}{\partial t} (t, x) \in L_{1} (X)$ et $F$ est dérivable sur $I$ avec $\forall t \in I, F^{'} (t) = \int_{X} \frac{\partial f}{\partial t} (t, x) d μ (x)$

[GOU20]
p. 169

Application 29

Transformée de Fourier d’une GaussienneEn résolvant une équation différentielle linéaire, on a $\forall α > 0, \forall x \in R, \int_{R} e^{- α t^{2}} e^{- i t x} d t = \frac{π}{α} e^{- \frac{x ^{2}}{4 α}}$

[G-K]
p. 107

integrale-de-dirichlet

Application 30

Intégrale de DirichletOn pose $\forall x \geq 0$ , $F (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sin ( t )}{t} e^{- x t} d t$ alors :

$F$ est bien définie et est continue sur $R^{+}$ .
$F$ est dérivable sur $R_{*}^{+}$ et $\forall x \in R_{*}^{+}$ , $F^{'} (x) = - \frac{1}{1 + x ^{2}}$ .
$F (0) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{s i n ( t )}{t} d t = \frac{π}{2}$ .

Utilisation de l’analyse complexe

Formule intégrale de Cauchy

[QUE]
p. 134

Soit $Ω$ un ouvert de $C$ . Soit $f : Ω \to C$ .

Théorème 31

Cauchy homologiqueSoit $Γ$ un cycle homologue à zéro dans $Ω$ (ie. tel que $a \in / Ω ⟹ I (a, Γ) = 0$ ). On suppose $f \in H (Ω)$ . Alors, $\int_{Γ} f (z) d z = 0$

Corollaire 32

Formule intégrale de CauchySoit $Γ$ un cycle homologue à zéro dans $Ω$ . On suppose $f \in H (Ω)$ . Alors, $z_{0} \in Ω ∖ Γ^{*} ⟹ \frac{1}{2 iπ} \int_{Γ} \frac{f ( z )}{z - z _{0}} d z = I (z_{0}, Γ) f (z_{0})$

p. 85

[BMP]
p. 64

Corollaire 33

On a $H (Ω) \subseteq A (Ω)$ . De plus, si $a \in Ω$ et si $r \in] 0, d (a, C ∖ Ω) [$ , on a $f (a + h) = n = 0 \sum + \infty a_{n} h^{n} pour ∣ h ∣ < r avec a_{n} = \frac{f ^{(n)} ( a )}{n !} = \frac{1}{2 iπ} \int_{C^{+} (a, r)} \frac{f ( z )}{( z - a ) ^{n + 1}} d z$

[AMR08]
p. 156

transformee-de-fourier-d-une-gaussienne

Application 34

Transformée de Fourier d’une gaussienneOn définit $\forall a \in R_{*}^{+}$ , $γ_{a} : R x \to \mapsto R e^{- a x^{2}}$ Alors, $\forall ξ \in R, γ_{a} (ξ) = \frac{π}{a} e^{\frac{- ξ ^{2}}{4 a}}$

Théorème des résidus

[QUE]
p. 169

Théorème 35

des résidusOn suppose $f$ méromorphe sur $Ω$ et on note $A$ l’ensemble de ses pôles. Soit $γ$ une courbe homologue à zéro dans $Ω$ et ne rencontrant pas $A$ . Alors, $\int_{γ} f (z) d z = 2 iπ a \in A \sum I (a, γ) Res (f, a)$

p. 173

Exemple 36

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{3 + 2 cos ( t )} d t = \frac{2 π}{5}$

Exemple 37

Intégrale de Dirichlet $\int_{0}^{+ \infty} \frac{sin ( x )}{x} d x = \frac{π}{2}$

Calcul approché d’intégrales

[DEM]
p. 21

Soit $f$ une fonction réelle continue sur un intervalle $[a, b]$ . On se donne $n + 1$ points $x_{0}, \dots, x_{n} \in [a, b]$ distincts deux-à-deux.

Définition 38

Pour $i \in [[0, n]]$ , on définit le $i$ -ième polynôme de Lagrange associé à $x_{0}, \dots, x_{n}$ par $ℓ_{i} : x \mapsto j = 0 j \neq = i \prod n \frac{x - x _{j}}{x _{i} - x _{j}}$

Théorème 39

Il existe une unique fonction polynomiale $p_{n}$ de degré inférieur ou égal à $n$ telle que $\forall i \in [[0, n]], p_{n} (x_{i}) = f (x_{i})$ : $p_{n} = i = 0 \sum n f (x_{i}) ℓ_{i}$

Théorème 40

On note $π_{n + 1} : x \mapsto \prod_{j = 0}^{n} (x - x_{j})$ et on suppose $f$ $n + 1$ fois dérivable $[a, b]$ . Alors, pour tout $x \in [a, b]$ , il existe un réel $ξ_{x} \in] min (x, x_{0}, \dots, x_{n}), max (x, x_{0}, \dots, x_{n}) [$ tel que $f (x) - p_{n} (x) = \frac{π _{n + 1} ( x )}{( n + 1 )!} f^{(n + 1)} (ξ_{x})$

Corollaire 41

$∥ f - p_{n} ∥_{\infty} \leq \frac{1}{( n + 1 )!} ∥ π_{n + 1} ∥_{\infty} ∥ f^{(n + 1)} ∥_{\infty}$

[DAN]
p. 506

Application 42

Calculs approchés d’intégralesOn note $I (f) = \int_{a}^{b} f (t) d t$ . L’objectif est d’approximer $I (f)$ par une expression $P (f)$ et de majorer l’erreur d’approximation $E (f) = ∣ I (f) - P (f) ∣$ .

Méthode des rectangles. On suppose $f$ continue. Avec $P (f) = (b - a) f (a)$ , on a $E (f) \leq \frac{( b - a ) ^{2}}{2} ∥ f^{'} ∥_{\infty}$ .
Méthode du point milieu. On suppose $f$ de classe $C^{2}$ . Avec $P (f) = (b - a) f (\frac{a + b}{2})$ , on a $E (f) \leq \frac{( b - a ) ^{3}}{24} ∥ f^{''} ∥_{\infty}$ .
Méthode des trapèzes. On suppose $f$ de classe $C^{2}$ . Avec $P (f) = \frac{b - a}{2} (f (a) + f (b))$ , on a $E (f) \leq \frac{( b - a ) ^{3}}{12} ∥ f^{''} ∥_{\infty}$ .
Méthode de Simpson. On suppose $f$ de classe $C^{4}$ . Avec $P (f) = \frac{b - a}{6} (f (a) + f (b) + 4 f (\frac{a + b}{2}))$ , on a $E (f) \leq \frac{( b - a ) ^{3}}{2880} ∥ f^{(4)} ∥_{\infty}$ .