236 Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

analysis

Méthodes de base pour les fonction d’une variable

Primitives

Théorème 1 (Fondamental de l’analyse). Soit $f : [a, b] \to E$ (où $[a, b] \subseteq R$ est un segment et $E$ un espace de Banach sur $R$ ou $C$ ).

L’application $F : [a, b] x \to \mapsto E \int_{a}^{x} f (t) d t$ est $C^{1}$ par morceaux, continue, dérivable à gauche et à droite sur $[a, b]$ telle que $F_{g}^{'} (x) = t \to x t < x lim f^{'} (t) et F_{d}^{'} (x) = t \to x t > x lim f^{'} (t)$
Si $f$ est continue sur $[a, b]$ , $F$ est de classe $C^{1}$ sur $[a, b]$ avec $F^{'} (x) = f (x)$ pour tout $x \in [a, b]$ .

Corollaire 2. Soit $[a, b] \subseteq R$ un segment. Toute application continue $f : [a, b] \to R$ admet au moins une primitive, et pour toute primitive $F$ de $f$ sur $[a, b]$ , on a $\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)$

Exemple 3. Pour tout $n \in N$ , on note $W_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin (x)^{n} d x$ . Alors, $W_{0} = \frac{π}{2}$ et $W_{1} = 1$ .

p. 137

Proposition 4. Soit $F \in R (X)$ . Pour intégrer $x \mapsto F (x)$ , on fait une décomposition en éléments simples de $F$ , qui nous ramène à calculer des primitives de la forme $\int \frac{d x}{( x - a ) ^{h}} d x et \int \frac{a x + b}{( x ^{2} + c x + d ) ^{h}} d x$ où $h \in N^{*}$ et $c - 4 d < 0$ .

Exemple 5. $\int^{x} \frac{1 - x}{( x ^{2} + x + 1 ) ^{2}} d x = \frac{x + 1}{x ^{2} + x + 1} + \frac{2}{3} arctan (\frac{2 x + 1}{3}) + k avec k \in R$

Changement de variable

p. 127

Théorème 6 (Changement de variable). Soit $[a, b] \subseteq R$ un segment. Soit $φ : [a, b] \to R$ une application de classe $C^{1}$ et $f : I \to E$ où $I$ est un intervalle tel que $φ ([a, b]) \subseteq I$ . Alors, $\int_{a}^{b} f (φ (t)) φ^{'} (t) d t = \int_{φ (a)}^{φ (b)} f (u) d u$

p. 178

Exemple 7. $\int_{0}^{\frac{π}{2}} ln (sin (x)) d x = - \frac{π ln ( 2 )}{2}$

p. 139

Proposition 8 (Règle de Bioche). Soit $R \in R (X, Y)$ . Pour calculer une primitive d’une fonction de la forme $f : x \mapsto R (sin (x), cos (x))$ , on peut utiliser la règle de Bioche :

Si $f (x) d x$ reste inchangé en changeant $x$ en $π - x$ , on pose $t = sin (x)$ .
Si $f (x) d x$ reste inchangé en changeant $x$ en $- x$ , on pose $t = cos (x)$ .
Si $f (x) d x$ reste inchangé en changeant $x$ en $π + x$ , on pose $t = tan (x)$ .

Exemple 9. $\int^{u} \frac{sin ( x ) ^{3}}{1 + cos ( x ) ^{2}} d x = t = c o s (x) \int^{c o s (u)} \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}} (- d t) = cos (u) - 2 arctan (cos (u)) + k avec k \in R$

Intégration par parties

p. 127

Théorème 10 (Intégration par parties). Soit $[a, b] \subseteq R$ un segment. Soient $u, v : [a, b] \to C$ deux fonctions de classe $C^{1}$ . Alors, $\int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x$

p. 162

Exemple 11 (Fonction $Γ$ d’Euler). On pose $\forall x > 0, Γ (x) = \int_{0}^{+ \infty} e^{- t} t^{x - 1} d t$ Alors, $\forall x > 0, Γ (x + 1) = x Γ (x)$ et en particulier, $\forall n \in N, Γ (n) = n!$ .

p. 130

Exemple 12 (Intégrales de Wallis). En reprenant l’Exemple 3, on a $\forall p \in N^{*}, W_{2 p} = \frac{( 2 p - 1 ) ( 2 p - 3 ) \dots 1}{2 p ( 2 p - 2 ) \dots 2} \frac{π}{2} et W_{2 p + 1} = \frac{2 p ( 2 p - 2 ) \dots 2}{( 2 p - 1 ) ( 2 p - 3 ) \dots 1}$

p. 167

Application 13 (Intégrale de Gauss). $I = \int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t = \frac{π}{2}$

Méthodes pour les fonctions de plusieurs variables

Intégration sur un espace produit

[B-P]
p. 237

Théorème 14 (Fubini-Tonelli). Soient $(X, A, μ)$ et $(Y, B, ν)$ deux espaces mesurés et $f : (X \times Y) \to \overline{R^{+}}$ . On suppose $μ$ et $ν$ $σ$ -finies. Alors :

$x \mapsto \int_{Y} f (x, y) d ν (y)$ et $y \mapsto \int_{X} f (x, y) d μ (x)$ sont mesurables.
Dans $\overline{R^{+}}$ , $\int_{X \times Y} f d (μ \otimes ν) = \int_{X} (\int_{Y} f (x, y) d ν (y)) = \int_{Y} (\int_{X} f (x, y) d μ (x))$

Théorème 15 (Fubini-Lebesgue). Soient $(X, A, μ)$ et $(Y, B, ν)$ deux espaces mesurés et $f \in L_{1} (μ \otimes ν)$ . Alors :

Pour tout $y \in Y$ , $x \mapsto f (x, y)$ et pour tout $x \in X$ , $y \mapsto f (x, y)$ sont intégrables.
$x \mapsto \int_{Y} f (x, y) d ν (y)$ et $y \mapsto \int_{X} f (x, y) d μ (x)$ sont intégrables, les fonctions étant définies pp.
On a : $\int_{X \times Y} f d (μ \otimes ν) = \int_{X} (\int_{Y} f (x, y) d ν (y)) = \int_{Y} (\int_{X} f (x, y) d μ (x))$

Contre-exemple 16. On considère $f : (x, y) \mapsto 2 e^{- 2 x y} - e^{- x y}$ . Alors, $\int_{[0, 1]} (\int_{R^{+}} f (x, y) d x) d y = 0$ , mais $\int_{R^{+}} (\int_{[0, 1]} f (x, y) d y) d x = ln (2)$ .

[GOU20]
p. 359

Exemple 17. Soient $f : (x, y) \mapsto x y$ et $D = {(x, y) \in R^{2} ∣ x, y \geq 0 et x + y \leq 1}$ . Alors, $\int \int_{D} = f (x, y) d x d y = \int_{0}^{1} x \frac{( 1 - x ) ^{2}}{2} d x = \frac{1}{24}$

Changement de variable généralisé

[BMP]
p. 9

Théorème 18. Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach et $U \subseteq E$ un ouvert. Soit $φ : U \to R^{n}$ un difféomorphisme de classe $C^{1}$ . Alors, $V = φ (U)$ est mesurable et tout fonction $f$ appartient à $L_{1}$ si et seulement si $∣ det Jac (φ)_{a} ∣ f \circ φ$ appartient à $L_{1}$ . Dans ce cas, $\int_{V} f (x) d x = \int_{U} ∣ det Jac (φ)_{a} ∣ f (φ (y)) d y$

[GOU20]
p. 355

Exemple 19 (Coordonnées polaires). L’application $R^{+} \times [0, 2 π] (r, θ) \to \mapsto R \times R (r cos (θ), r sin (θ))$ est un difféomorphisme de classe $C^{1}$ donc le jacobien en $(r, θ) \in R^{+} \times [0, 2 π]$ vaut $r$ .

Exemple 20 (Coordonnées sphériques). L’application $R^{+} \times [0, 2 π] \times [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] (r, θ, φ) \to \mapsto R \times R \times R (r cos (φ) cos (θ), r cos (φ) sin (θ), r sin (φ))$ est un difféomorphisme de classe $C^{1}$ donc le jacobien en $(r, θ, φ) \in R^{+} \times [0, 2 π] \times [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ vaut $r^{2} cos (φ)$ .

Application 21 (Intégrale de Gauss). En passant en coordonnées polaires, $\int_{R} e^{- x^{2}} d x = π$

Utilisation des théorèmes d’intégration

Soit $(X, A, μ)$ et $(Y, B, ν)$ un espace mesuré.

Convergence dominée

[B-P]
p. 140

Théorème 22 (Convergence dominée). Soit $(f_{n})$ une suite d’éléments de $L_{1}$ telle que :

pp. en $x$ , $(f_{n} (x))$ converge dans $K$ vers $f (x)$ .
$\exists g \in L_{1}$ positive telle que $\forall n \in N, pp. en x, ∣ f_{n} (x) ∣ \leq g (x)$ Alors, $\int_{X} f d μ = n \to + \infty lim \int_{X} f_{n} d μ et n \to + \infty lim \int_{X} ∣ f_{n} - f ∣ d μ = 0$

Exemple 23. Soit $α > 1$ . On pose $\forall n \geq 1, I_{n} (α) = \int_{0}^{n} (1 + \frac{x}{n})^{n} e^{- αx} d x$ . Alors, $n \to + \infty lim I_{n} (α) = \int_{0}^{+ \infty} e^{(1 - α) x} d x = \frac{1}{α - 1}$

[AMR11]
p. 156

Exemple 24. $n \to + \infty lim \int_{0}^{+ \infty} \frac{x ^{n}}{x ^{2 n} + 1} d x = 0$

[G-K]
p. 104

Exemple 25. $n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{3 n + 1} = \int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{3} + 1} d x = \frac{3 ln ( 2 ) + 3 π}{9}$

Régularité sous l’intégrale

[Z-Q]
p. 312

Soit $f : E \times X \to C$ où $(E, d)$ est un espace métrique. On pose $F : t \mapsto \int_{X} f (t, x) d μ (x)$ .

Théorème 26 (Continuité sous le signe intégral). On suppose :

$\forall t \in E$ , $x \mapsto f (t, x)$ est mesurable.
pp. en $x \in X$ , $t \mapsto f (t, x)$ est continue en $t_{0} \in E$ .
$\exists g \in L_{1} (X)$ positive telle que $∣ f (t, x) ∣ \leq g (x) \forall t \in E, pp. en x \in X$

Alors $F$ est continue en $t_{0}$ .

p. 318

Exemple 27. La fonction $Γ$ de l’Exemple 11 est bien définie et continue sur $R_{*}^{+}$ .

p. 313

On suppose maintenant que $E$ est un intervalle $I$ ouvert de $R$ .

Théorème 28 (Dérivation sous le signe intégral). On suppose :

$\forall t \in I$ , $x \mapsto f (t, x) \in L_{1} (X)$ .
pp. en $x \in X$ , $t \mapsto f (t, x)$ est dérivable sur $I$ . On notera $\frac{\partial f}{\partial t}$ cette dérivée définie presque partout.
$\forall K \subseteq I$ compact, $\exists g_{K} \in L_{1} (X)$ positive telle que $\frac{\partial f}{\partial t} (x, t) \leq g_{K} (x) \forall t \in I, pp. en x$

Alors $\forall t \in I$ , $x \mapsto \frac{\partial f}{\partial t} (x, t) \in L_{1} (X)$ et $F$ est dérivable sur $I$ avec $\forall t \in I, F^{'} (t) = \int_{X} \frac{\partial f}{\partial t} (x, t) d μ (x)$

[GOU20]
p. 169

Application 29 (Transformée de Fourier d’une Gaussienne). En résolvant une équation différentielle linéaire, on a $\forall α > 0, \forall x \in R, \int_{R} e^{- α t^{2}} e^{- i t x} d t = \frac{π}{α} e^{- \frac{x ^{2}}{π α}}$

[G-K]
p. 107

integrale-de-dirichlet

Application 30 (Intégrale de Dirichlet). On pose $\forall x \geq 0$ , $F (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sin ( t )}{t} e^{- x t} d t$ alors :

$F$ est bien définie et est continue sur $R^{+}$ .
$F$ est dérivable sur $R_{*}^{+}$ et $\forall x \in R_{*}^{+}$ , $F^{'} (x) = - \frac{1}{1 + x ^{2}}$ .
$F (0) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{s i n ( t )}{t} d t = \frac{π}{2}$ .

Utilisation de l’analyse complexe

Formule intégrale de Cauchy

[QUE]
p. 134

Soit $Ω$ un ouvert de $C$ . Soit $f : Ω \to C$ .

Théorème 31 (Cauchy homologique). Soit $Γ$ un cycle homologue à zéro dans $Ω$ (ie. tel que $z \in / Ω ⟹ I (a, Γ) = 0$ ). On suppose $f \in H (Ω)$ . Alors, $\int_{Γ} f (z) d z = 0$

Corollaire 32 (Formule intégrale de Cauchy). Soit $Γ$ un cycle homologue à zéro dans $Ω$ . On suppose $f \in H (Ω)$ . Alors, $z_{0} \in Ω ∖ Γ^{*} ⟹ \frac{1}{2 iπ} \int_{Γ} \frac{f ( z )}{z - z _{0}} d z = I (z_{0}, γ) f (z_{0})$

p. 85

[BMP]
p. 64

Corollaire 33. On a $H (Ω) \subseteq A (Ω)$ . De plus, si $a \in Ω$ et que l’on pose $d = d (a, C ∖ Ω)$ , on a $f (a + h) = n = 0 \sum + \infty a_{n} h^{n} pour ∣ h ∣ < d avec a_{n} = \frac{f ^{(n)} ( a )}{n !} = \frac{1}{2 iπ} \int_{C^{+} (a, d)} \frac{f ( z )}{( z - a ) ^{n + 1}} d z$

[AMR08]
p. 156

transformee-de-fourier-d-une-gaussienne

Application 34 (Transformée de Fourier d’une gaussienne). On définit $\forall a \in R_{*}^{+}$ , $γ_{a} : R x \to \mapsto R e^{- a x^{2}}$ Alors, $\forall ξ \in R, γ_{a} (ξ) = \frac{π}{a} e^{\frac{- ξ ^{2}}{4 a}}$

Théorème des résidus

[QUE]
p. 169

Théorème 35 (des résidus). On suppose $f$ méromorphe sur $Ω$ et on note $A$ l’ensemble de ses pôles. Soit $γ$ une courbe homologue à zéro dans $Ω$ et ne rencontrant pas $A$ . Alors, $\int_{γ} f (z) d z = 2 iπ a \in A \sum I (a, γ) Res (f, a)$

p. 173

Exemple 36. $\int_{0}^{2 π} \frac{1}{3 + 2 cos ( t )} d t = \frac{2 π}{5}$

Exemple 37 (Intégrale de Dirichlet). $\int_{0}^{+ \infty} \frac{sin ( x )}{x} d x = \frac{π}{2}$

Calcul approché d’intégrales

[DEM]
p. 21

Soit $f$ une fonction réelle continue sur un intervalle $[a, b]$ . On se donne $n + 1$ points $x_{0}, \dots, x_{n} \in [a, b]$ distincts deux-à-deux.

Définition 38. Pour $i \in [[0, n]]$ , on définit le $i$ -ième polynôme de Lagrange associé à $x_{1}, \dots, x_{n}$ par $ℓ_{i} : x \mapsto j = 0 j \neq = i \prod n \frac{x - x _{j}}{x _{i} - x _{j}}$

Théorème 39. Il existe une unique fonction polynômiale $p_{n}$ de degré $n$ telle que $\forall i \in [[0, n]], p_{n} (x_{i}) = f (x_{i})$ : $p_{n} = i = 0 \sum n f (x_{i}) ℓ_{i}$

Théorème 40. On note $π_{n + 1} : x \mapsto \prod_{j = 0}^{n} (x - x_{j})$ et on suppose $f$ $n + 1$ fois dérivable $[a, b]$ . Alors, pour tout $x \in [a, b]$ , il existe un réel $ξ_{x} \in] min (x, x_{i}), max (x, x_{i}) [$ tel que $f (x) - p_{n} (x) = \frac{π _{n + 1} ( x )}{( n + 1 )!} f^{(n + 1)} (ξ_{x})$

Corollaire 41. $∥ f - p_{n} ∥_{\infty} \leq \frac{1}{( n + 1 )!} ∥ π_{n + 1} ∥_{\infty} ∥ f^{(n + 1)} ∥_{\infty}$

[DAN]
p. 506

Application 42 (Calculs approchés d’intégrales). On note $I (f) = \int_{a}^{b} f (t) d t$ . L’objectif est d’approximer $I (f)$ par une expression $P (f)$ et de majorer l’erreur d’approximation $E (f) = ∣ I (f) - P (f) ∣$ .

Méthode des rectangles. On suppose $f$ continue. Avec $P (f) = (b - a) f (a)$ , on a $E (f) \leq \frac{( b - a ) ^{2}}{2} ∥ f^{'} ∥_{\infty}$ .
Méthode du point milieu. On suppose $f$ de classe $C^{2}$ . Avec $P (f) = (b - a) f (\frac{a + b}{2})$ , on a $E (f) \leq \frac{( b - a ) ^{3}}{24} ∥ f^{''} ∥_{\infty}$ .
Méthode des trapèzes. On suppose $f$ de classe $C^{2}$ . Avec $P (f) = \frac{b - a}{2} (f (a) + f (b))$ , on a $E (f) \leq \frac{( b - a ) ^{3}}{12} ∥ f^{''} ∥_{\infty}$ .
Méthode de Simpson. On suppose $f$ de classe $C^{4}$ . Avec $P (f) = \frac{b - a}{6} (f (a) + f (b) + 4 f (\frac{a + b}{2}))$ , on a $E (f) \leq \frac{( b - a ) ^{3}}{2880} ∥ f^{(4)} ∥_{\infty}$ .