239 Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.

Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.

analysis

Régularité d’une fonction définie par une intégrale à paramètre

Soient un espace mesuré et est un espace métrique. On pose .

Continuité

Théorème 1 (Continuité sous le signe intégral). On suppose :

  1. , est mesurable.

  2. pp. en , est continue en .

  3. positive telle que

Alors est continue en .

Corollaire 2. On suppose :

  1. , est mesurable.

  2. pp. en , est continue sur .

  3. positive telle que

Alors est continue sur .

Exemple 3. La fonction est bien définie et continue sur .

Exemple 4. Soit intégrable. Alors, est bien définie et est continue sur .

Dérivabilité

On suppose ici que est un intervalle ouvert de .

Théorème 5 (Dérivation sous le signe intégral). On suppose :

  1. , .

  2. pp. en , est dérivable sur . On notera cette dérivée définie presque partout.

  3. compact, positive telle que

Alors , et est dérivable sur avec

Remarque 6.

  • Si dans le Théorème 5, hypothèse (i), on remplace dérivable par , alors la fonction est de classe .

  • On a un résultat analogue pour les dérivées d’ordre supérieur.

Théorème 7 (-ième dérivée sous le signe intégral). On suppose :

  1. , .

  2. pp. en , . On notera la -ième dérivée définie presque partout pour .

  3. , compact, positive telle que

Alors , , et avec

Exemple 8. La fonction de l’Exemple 3 est sur .

Exemple 9. On se place dans l’espace mesuré et on considère une suite de fonctions dérivables sur telle que Alors est dérivable sur de dérivée .

Application 10 (Transformée de Fourier d’une Gaussienne). En résolvant une équation différentielle linéaire, on a

Application 11 (Intégrale de Dirichlet). On pose , alors :

  1. est bien définie et est continue sur .

  2. est dérivable sur et , .

  3. .

Holomorphie

On suppose ici que est un ouvert de .

Théorème 12 (Holomorphie sous le signe intégral). On suppose :

  1. , .

  2. pp. en , est holomorphe dans . On notera cette dérivée définie presque partout.

  3. compact, positive telle que

Alors est holomorphe dans avec

Exemple 13. La fonction de l’Exemple 3 est holomorphe dans l’ouvert .

Produit de convolution

Notion de convolée de deux fonctions

Définition 14. Soient et deux fonctions de dans . On dit que la convolée (ou le produit de convolution) de et en existe si la fonction est intégrable sur pour la mesure de Lebesgue. On pose alors :

Proposition 15. Dans , le produit de convolution est commutatif, bilinéaire et associatif.

Théorème 16. Soient et et .

  1. Si tels que , alors existe pour tout et est uniformément continue. On a, et, si , .

  2. Si et , alors existe pour tout et .

  3. Si et , alors existe pp. en et telle que .

  4. Si et , alors existe pp. en et telle que .

Exemple 17. Soient . Alors existe pour tout et

Proposition 18. est une algèbre de Banach pour le produit de convolution.

Remarque 19. Cette algèbre n’a pas d’élément neutre. Afin de pallier à ce manque, nous allons voir la notion d’approximation de l’identité dans la sous-section suivante.

Approximation de l’identité

Définition 20. On appelle approximation de l’identité toute suite de fonctions mesurables de telles que

  1. .

  2. .

  3. .

Remarque 21. Dans la définition précédente, (ii) implique (i) lorsque les fonctions sont positives. Plutôt que des suites, on pourra considérer les familles indexées par .

Exemple 22.

  • Noyau de Laplace sur :

  • Noyau de Cauchy sur :

  • Noyau de Gauss sur :

Application 23 (Théorème de Weierstrass). Toute fonction continue (avec tels que ) est limite uniforme de fonctions polynômiales sur .

Théorème 24. Soit une approximation de l’identité. Soient et , alors :

Théorème 25. Soient une approximation de l’identité et . Alors :

  • Si est continue en , alors .

  • Si est uniformément continue sur , alors .

  • Si est continue sur un compact , alors .

Définition 26. On qualifie de régularisante toute suite d’approximations de l’identité telle que .

Exemple 27. Soit une densité de probabilité. Alors la suite définie pour tout par est régularisante.

Application 28.

  1. est dense dans pour .

  2. est dense dans pour avec .

Transformée de Fourier

Sur

Définition 29. Soit une fonction mesurable. On définit, lorsque cela a un sens, sa transformée de Fourier, notée par

Lemme 30 (Riemann-Lebesgue). Soit , existe et

Théorème 31. , est continue, bornée par . Donc la transformation de Fourier est bien définie.

Corollaire 32. La transformation de Fourier est une application linéaire continue.

Exemple 33 (Densité de Poisson). On pose , . Alors et, , .

Exemple 34. Remarquons ici que la transformée de Fourier n’est pas intégrable.

Proposition 35.

Théorème 36 (Formule de dualité).

Corollaire 37. La transformation de Fourier est une application injective.

Application 38. Soient un intervalle de et une fonction poids. On considère la famille des polynômes orthogonaux associée à sur . On suppose qu’il existe tel que alors est une base hilbertienne de pour la norme .

Théorème 39 (Formule d’inversion de Fourier). Si est telle que , alors

Proposition 40. Soient et telle que , alors

Sur

Théorème 41 (Plancherel-Parseval).

Théorème 42. Soit . Alors :

  1. Il existe une suite de qui converge vers dans .

  2. Pour une telle suite , la suite converge dans vers une limite indépendante de la suite choisie.

Définition 43. La limite est la transformée de Fourier de dans .

Proposition 44. Les transformations de Fourier et coïncident sur .

Application en probabilités

Définition 45. Soit un vecteur aléatoire. On appelle fonction caractéristique de , notée , la transformée de Fourier de la loi (définie à un signe près) :

Théorème 46. Soient et deux vecteurs aléatoires. Alors,

Corollaire 47. Soient et deux vecteurs aléatoires tels que , et ont même loi. Alors, et ont même loi.