239 Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.

Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.

analysis

Régularité d’une fonction définie par une intégrale à paramètre

Soient $(X, A, μ)$ un espace mesuré et $f : E \times X \to C$ où $(E, d)$ est un espace métrique. On pose $F : t \mapsto \int_{X} f (t, x) d μ (x)$ .

Continuité

[Z-Q]
p. 312

Théorème 1 (Continuité sous le signe intégral). On suppose :

$\forall t \in E$ , $x \mapsto f (t, x)$ est mesurable.
pp. en $x \in X$ , $t \mapsto f (t, x)$ est continue en $t_{0} \in E$ .
$\exists g \in L_{1} (X)$ positive telle que $∣ f (t, x) ∣ \leq g (x) \forall t \in E, pp. en x \in X$

Alors $F$ est continue en $t_{0}$ .

Corollaire 2. On suppose :

$\forall t \in E$ , $x \mapsto f (t, x)$ est mesurable.
pp. en $x \in X$ , $t \mapsto f (t, x)$ est continue sur $E$ .
$\forall K \subseteq E, \exists g_{K} \in L_{1} (X)$ positive telle que $∣ f (t, x) ∣ \leq g_{K} (x) \forall t \in E, pp. en x$

Alors $F$ est continue sur $E$ .

p. 318

Exemple 3. La fonction $Γ : R_{*}^{+} t \to \mapsto R_{*}^{+} \int_{0}^{+ \infty} t^{x - 1} e^{- t} d t$ est bien définie et continue sur $R_{*}^{+}$ .

[G-K]
p. 104

Exemple 4. Soit $f : R^{+} \to C$ intégrable. Alors, $λ \mapsto \int_{0}^{+ \infty} e^{- λ t} f (t) d t$ est bien définie et est continue sur $R^{+}$ .

Dérivabilité

[Z-Q]
p. 313

On suppose ici que $E$ est un intervalle $I$ ouvert de $R$ .

Théorème 5 (Dérivation sous le signe intégral). On suppose :

$\forall t \in I$ , $x \mapsto f (t, x) \in L_{1} (X)$ .
pp. en $x \in X$ , $t \mapsto f (t, x)$ est dérivable sur $I$ . On notera $\frac{\partial f}{\partial t}$ cette dérivée définie presque partout.
$\forall K \subseteq I$ compact, $\exists g_{K} \in L_{1} (X)$ positive telle que $\frac{\partial f}{\partial t} (x, t) \leq g_{K} (x) \forall t \in I, pp. en x$

Alors $\forall t \in I$ , $x \mapsto \frac{\partial f}{\partial t} (x, t) \in L_{1} (X)$ et $F$ est dérivable sur $I$ avec $\forall t \in I, F^{'} (t) = \int_{X} \frac{\partial f}{\partial t} (x, t) d μ (x)$

Remarque 6.

Si dans le Théorème 5, hypothèse (i), on remplace dérivable par $C^{1}$ , alors la fonction $F$ est de classe $C^{1}$ .
On a un résultat analogue pour les dérivées d’ordre supérieur.

Théorème 7 ( $k$ -ième dérivée sous le signe intégral). On suppose :

$\forall t \in I$ , $x \mapsto f (t, x) \in L_{1} (X)$ .
pp. en $x \in X$ , $t \mapsto f (t, x) \in C^{k} (I)$ . On notera $(\frac{\partial}{\partial t})^{j} f$ la $j$ -ième dérivée définie presque partout pour $j \in [[0, k]]$ .
$\forall j \in [[0, k]]$ , $\forall K \subseteq I$ compact, $\exists g_{j, K} \in L_{1} (X)$ positive telle que $(\frac{\partial}{\partial t})^{j} f (x, t) \leq g_{j, K} (x) \forall t \in K, pp. en x$

Alors $\forall j \in [[0, k]]$ , $\forall t \in I$ , $x \mapsto (\frac{\partial}{\partial t})^{j} f (x, t) \in L_{1} (X)$ et $F \in C^{k} (I)$ avec $\forall j \in [[0, k]], \forall t \in I, F^{(j)} (t) = \int_{X} (\frac{\partial}{\partial t})^{j} f (x, t) d μ (x)$

p. 318

Exemple 8. La fonction $Γ$ de l’Exemple 3 est $C^{\infty}$ sur $R_{*}^{+}$ .

[ROM19-1]
p. 364

Lemme 9. La fonction $Γ$ définie pour tout $x > 0$ par $Γ (x) = \int_{0}^{+ \infty} t^{x - 1} e^{- t} d t$ vérifie :

$\forall x \in R_{*}^{+}$ , $Γ (x + 1) = x Γ (x)$ .
$Γ (1) = 1$ .
$Γ$ est log-convexe sur $R_{*}^{+}$ .

caracterisation-reelle-de-gamma

Théorème 10 (Bohr-Mollerup). Soit $f : R_{*}^{+} \to R^{+}$ vérifiant le Point 1, le Point 2 et le Point 3 du Lemme 9. Alors $f = Γ$ .

[B-P]
p. 149

Exemple 11. On se place dans l’espace mesuré $(N, P (N), card)$ et on considère $(f_{n})$ une suite de fonctions dérivables sur $I$ telle que $\forall x \in R, n \in N \sum ∣ f_{n} (x) ∣ + x \in I sup ∣ f_{n}^{'} (t) ∣ < + \infty$ Alors $x \mapsto \sum_{n \in N} f_{n} (x)$ est dérivable sur $I$ de dérivée $x \mapsto \sum_{n \in N} f_{n}^{'} (x)$ .

[GOU20]
p. 169

Application 12 (Transformée de Fourier d’une Gaussienne). En résolvant une équation différentielle linéaire, on a $\forall α > 0, \forall x \in R, \int_{R} e^{- α t^{2}} e^{- i t x} d t = \frac{π}{α} e^{- \frac{x ^{2}}{π α}}$

[G-K]
p. 107

integrale-de-dirichlet

Application 13 (Intégrale de Dirichlet). On pose $\forall x \geq 0$ , $F (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sin ( t )}{t} e^{- x t} d t$ alors :

$F$ est bien définie et est continue sur $R^{+}$ .
$F$ est dérivable sur $R_{*}^{+}$ et $\forall x \in R_{*}^{+}$ , $F^{'} (x) = - \frac{1}{1 + x ^{2}}$ .
$F (0) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{s i n ( t )}{t} d t = \frac{π}{2}$ .

Holomorphie

[Z-Q]
p. 314

On suppose ici que $E$ est un ouvert $Ω$ de $C$ .

Théorème 14 (Holomorphie sous le signe intégral). On suppose :

$\forall z \in Ω$ , $x \mapsto f (z, x) \in L_{1} (X)$ .
pp. en $x \in X$ , $z \mapsto f (z, x)$ est holomorphe dans $Ω$ . On notera $\frac{\partial f}{\partial z}$ cette dérivée définie presque partout.
$\forall K \subseteq Ω$ compact, $\exists g_{K} \in L_{1} (X)$ positive telle que $∣ f (x, z) ∣ \leq g_{K} (x) \forall z \in K, pp. en x$

Alors $F$ est holomorphe dans $Ω$ avec $\forall z \in Ω, F^{'} (z) = \int_{X} \frac{\partial f}{\partial z} (z, t) d μ (z)$

p. 318

Exemple 15. La fonction $Γ$ de l’Exemple 3 est holomorphe dans l’ouvert ${z \in C ∣ Re (z) > 0}$ .

Produit de convolution

Notion de convolée de deux fonctions

[AMR08]
p. 75

Définition 16. Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $R^{d}$ dans $R$ . On dit que la convolée (ou le produit de convolution) de $f$ et $g$ en $x \in R$ existe si la fonction $R t \to \mapsto C f (x - t) g (t)$ est intégrable sur $R^{d}$ pour la mesure de Lebesgue. On pose alors : $(f * g) (x) = \int_{R^{d}} f (x - t) g (t) d t$

Proposition 17. Dans $L_{1} (R^{d})$ , le produit de convolution est commutatif, bilinéaire et associatif.

Théorème 18. Soient $p, q > 0$ et $f \in L_{p} (R^{d})$ et $g \in L_{q} (R^{d})$ .

Si $p, q \in [1, + \infty]$ tels que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ , alors $(f * g) (x)$ existe pour tout $x \in R^{d}$ et est uniformément continue. On a, $∥ f * g ∥_{\infty} \leq ∥ f ∥_{p} ∥ g ∥_{q}$ et, si $p \neq = 1, + \infty$ , $f * g \in C_{0} (R)$ .
Si $p = 1$ et $q = + \infty$ , alors $(f * g) (x)$ existe pour tout $x \in R^{d}$ et $f * g \in C_{b} (R)$ .
Si $p = 1$ et $q \in [1, + \infty [$ , alors $(f * g) (x)$ existe pp. en $x \in R^{d}$ et $f * g \in L_{q} (R)$ telle que $∥ f * g ∥_{q} \leq ∥ f ∥_{1} ∥ g ∥_{q}$ .
Si $p = 1$ et $q = 1$ , alors $(f * g) (x)$ existe pp. en $x \in R^{d}$ et $f * g \in L_{1} (R)$ telle que $∥ f * g ∥_{1} \leq ∥ f ∥_{1} ∥ g ∥_{1}$ .

Exemple 19. Soient $a < b \in R_{*}^{+}$ . Alors $1_{[- a, a]} * 1_{[- b, b]}$ existe pour tout $x \in R$ et $(1_{[- a, a]} * 1_{[- b, b]}) (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 a b + a - ∣ x ∣ 0 si 0 \leq ∣ x ∣ \leq b - a si b - a \leq ∣ x ∣ \leq b + a sinon$

p. 85

Proposition 20. $L_{1} (R^{d})$ est une algèbre de Banach pour le produit de convolution.

Remarque 21. Cette algèbre n’a pas d’élément neutre. Afin de pallier à ce manque, nous allons voir la notion d’approximation de l’identité dans la sous-section suivante.

Approximation de l’identité

[B-P]
p. 306

Définition 22. On appelle approximation de l’identité toute suite $(ρ_{n})$ de fonctions mesurables de $L_{1} (R^{d})$ telles que

$\forall n \in N, \int_{R^{d}} ρ_{n} d λ_{d} = 1$ .
$sup_{n \geq 1} ∥ ρ_{n} ∥ < + \infty$ .
$\forall ϵ > 0, lim_{n \to + \infty} \int_{R ∖ B (0, ϵ)} ρ_{n} (x) d x = 0$ .

Remarque 23. Dans la définition précédente, (ii) implique (i) lorsque les fonctions $ρ_{n}$ sont positives. Plutôt que des suites, on pourra considérer les familles indexées par $R_{*}^{+}$ .

Exemple 24.

Noyau de Laplace sur $R$ : $\forall t > 0, ρ_{t} (x) = \frac{1}{2 t} e^{- \frac{∣ x ∣}{t}}$
Noyau de Cauchy sur $R$ : $\forall t > 0, ρ_{t} (x) = \frac{t}{π ( t ^{2} + x ^{2} )}$
Noyau de Gauss sur $R$ : $\forall t > 0, ρ_{t} (x) = \frac{1}{2 π t} e^{- \frac{∣ x ∣ ^{2}}{2 t ^{2}}}$

[GOU20]
p. 304

Application 25 (Théorème de Weierstrass). Toute fonction continue $f : [a, b] \to R$ (avec $a, b \in R$ tels que $a \leq b$ ) est limite uniforme de fonctions polynômiales sur $[a, b]$ .

[B-P]
p. 307

Théorème 26. Soit $(ρ_{n})$ une approximation de l’identité. Soient $p \in [1, + \infty [$ et $f \in L_{p} (R^{d})$ , alors : $\forall n \geq 1, f * ρ_{n} \in L_{p} (R^{d}) et ∥ f * ρ_{n} - f ∥_{p} ⟶ 0$

Théorème 27. Soient $(ρ_{n})$ une approximation de l’identité et $f \in L_{\infty} (R^{d})$ . Alors :

Si $f$ est continue en $x_{0} \in R^{d}$ , alors $(f * ρ_{n}) (x_{0}) ⟶_{n \to + \infty} f (x_{0})$ .
Si $f$ est uniformément continue sur $R^{d}$ , alors $∥ f * ρ_{n} - f ∥_{\infty} ⟶_{n \to + \infty} 0$ .
Si $f$ est continue sur un compact $K$ , alors $sup_{x \in K} ∣ (f * ρ_{n}) (x) - f (x) ∣ ⟶_{n \to + \infty} 0$ .

Définition 28. On qualifie de régularisante toute suite $(α_{n})$ d’approximations de l’identité telle que $\forall n \in N, α_{n} \in C_{K}^{\infty} (R^{d})$ .

p. 274

Exemple 29. Soit $α \in C_{K}^{\infty} (R^{d})$ une densité de probabilité. Alors la suite $(α_{n})$ définie pour tout $n \in N$ par $α_{n} : x \mapsto n α (n x)$ est régularisante.

[AMR08]
p. 96

Application 30.

$C_{K}^{\infty} (R^{d})$ est dense dans $C_{K} (R^{d})$ pour $∥. ∥_{\infty}$ .
$C_{K}^{\infty} (R^{d})$ est dense dans $L_{p} (R^{d})$ pour $∥. ∥_{p}$ avec $p \in [1, + \infty [$ .

Transformée de Fourier

Sur $L_{1} (R^{d})$

p. 109

Définition 31. Soit $f : R^{d} \to C$ une fonction mesurable. On définit, lorsque cela a un sens, sa transformée de Fourier, notée $f$ par $f : R^{d} ξ \to \mapsto C \int_{R^{d}} f (x) e^{- i ⟨ x, ξ ⟩} d x$

Lemme 32 (Riemann-Lebesgue). Soit $f \in L_{1} (R^{d})$ , $f$ existe et $∥ ξ ∥ \to + \infty lim f (ξ)$

Théorème 33. $\forall f \in L_{1} (R^{d})$ , $f$ est continue, bornée par $∥ f ∥_{1}$ . Donc la transformation de Fourier $F : L_{1} (R^{d}) f \to \mapsto C_{0} (R^{d}) f$ est bien définie.

Corollaire 34. La transformation de Fourier $F : L_{1} (R^{d}) \to C_{0} (R^{d})$ est une application linéaire continue.

Exemple 35 (Densité de Poisson). On pose $\forall x \in R$ , $p (x) = \frac{1}{2} e^{- ∣ x ∣}$ . Alors $p \in L_{1} (R)$ et, $\forall ξ \in R$ , $p (ξ) = \frac{1}{1 + ξ ^{2}}$ .

Exemple 36. $\forall ξ \in R, 1_{[- 1, 1]} (ξ) = {\frac{2 s i n ( ξ )}{ξ} si ξ \neq = 0 2 sinon$ Remarquons ici que la transformée de Fourier n’est pas intégrable.

p. 114

Proposition 37. $\forall f, g \in L_{1} (R^{d}), f * g = f g$

Théorème 38 (Formule de dualité). $\forall f, g \in L_{1} (R^{d}), \int_{R^{d}} f (t) g (t) d t = \int_{R^{d}} f (t) g (t) d t$

Corollaire 39. La transformation de Fourier $F : L_{1} (R^{d}) \to C_{0} (R^{d})$ est une application injective.

[BMP]
p. 140

Application 40. Soient $I$ un intervalle de $R$ et $ρ$ une fonction poids. On considère $(P_{n})$ la famille des polynômes orthogonaux associée à $ρ$ sur $I$ . On suppose qu’il existe $a > 0$ tel que $\int_{I} e^{a ∣ x ∣} ρ (x) d x < + \infty$ alors $(P_{n})$ est une base hilbertienne de $L_{2} (I, ρ)$ pour la norme $∥. ∥_{2}$ .

[AMR08]
p. 116

Théorème 41 (Formule d’inversion de Fourier). Si $f \in L_{1} (R^{d})$ est telle que $f \in L_{1} (R^{d})$ , alors $f (x) = (2 π)^{d} f (x) pp. en x \in R^{d}$

Proposition 42. Soient $g \in L_{1} (R^{d})$ et $f \in L_{1} (R^{d})$ telle que $f \in L_{1} (R^{d})$ , alors $f g = \frac{1}{( 2 π ) ^{d}} f * g$

Sur $L_{2} (R^{d})$

Théorème 43 (Plancherel-Parseval). $\forall f \in L_{1} (R^{d}), ∥ f ∥_{2}^{2} = (2 π)^{d} ∥ f ∥_{2}^{2}$

Théorème 44. Soit $f \in L_{2} (R^{d})$ . Alors :

Il existe une suite $(f_{n})$ de $L_{1} (R^{d}) \cap L_{2} (R^{d})$ qui converge vers $f$ dans $L_{2} (R^{d})$ .
Pour une telle suite $(f_{n})$ , la suite $(f_{n})$ converge dans $L_{2} (R^{d})$ vers une limite $f$ indépendante de la suite choisie.

Définition 45. La limite $f$ est la transformée de Fourier de $f$ dans $L_{2} (R^{d})$ .

Proposition 46. Les transformations de Fourier $L_{1} (R^{d})$ et $L_{2} (R^{d})$ coïncident sur $L_{1} (R^{d}) \cap L_{2} (R^{d})$ .

Application en probabilités

[G-K]
p. 239

Définition 47. Soit $X$ un vecteur aléatoire. On appelle fonction caractéristique de $X$ , notée $ϕ_{X}$ , la transformée de Fourier de la loi $P_{X}$ (définie à un signe près) : $ϕ_{X} : t \mapsto E (e^{i ⟨ t, x ⟩})$

Théorème 48. Soient $X$ et $Y$ deux vecteurs aléatoires. Alors, $ϕ_{X} = ϕ_{Y} ⟺ P_{X} = P_{Y}$

Corollaire 49. Soient $X$ et $Y$ deux vecteurs aléatoires tels que $\forall a \in R^{d}$ , $⟨ X, a ⟩$ et $⟨ Y, a ⟩$ ont même loi. Alors, $X$ et $Y$ ont même loi.