241 Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

analysis

Généralités

Suites de fonctions

Définition 1. Soient et respectivement une suite de fonctions et une fonction définies sur un ensemble à valeurs dans un espace métrique . On dit que :

  • converge simplement vers si

  • converge uniformément vers si

Proposition 2. La convergence uniforme entraîne la convergence simple.

Contre-exemple 3. La réciproque est fausse. Il suffit en effet de considérer la suite définie pour tout et pour tout par converge simplement sur mais pas uniformément.

Théorème 4 (Critère de Cauchy uniforme). Soit une suite de fonctions définies sur un ensemble à valeurs dans un espace métrique . Alors converge uniformément si

Corollaire 5. Une limite uniforme sur de fonctions polynômiales est une fonction polynômiale.

Notation 6.

  • Pour toute fonction bornée sur un ensemble et à valeurs dans un espace vectoriel normé , on note

  • On note l’ensemble des applications bornées de dans .

Proposition 7. En reprenant les notations précédentes, une suite de fonctions de converge uniformément vers si .

Exemple 8. La suite de fonctions définie pour tout par converge uniformément vers sur .

Séries de fonctions

Définition 9. Soit une suite de fonctions. On appelle série de fonctions de terme général , notée la suite de fonctions

Définition 10. Soient un ensemble et un espace vectoriel normé. On dit qu’une série de fonctions à termes dans converge normalement si la série numérique converge.

Remarque 11. En reprenant les notations précédentes, il est équivalent de dire qu’une série de fonctions converge normalement s’il existe une série à termes positifs convergente et telle que

Exemple 12. La série de fonctions est définie par converge normalement sur car .

Théorème 13. Une série de fonctions à valeurs dans un espace de Banach qui converge normalement sur un ensemble converge uniformément sur .

Contre-exemple 14. La réciproque est fausse. Par exemple, la série de fonctions est définie par converge uniformément sur mais pas normalement.

Définition sur un compact

Théorème 15 (Théorèmes de Dini).

  1. Soit une suite croissante de fonctions réelles continues définies sur un segment de . Si converge simplement vers une fonction continue sur , alors la convergence est uniforme.

  2. Soit une suite de fonctions croissantes réelles continues définies sur un segment de . Si converge simplement vers une fonction continue sur , alors la convergence est uniforme.

Théorème 16 (Bernstein). Soit continue. On note Alors,

Corollaire 17 (Weierstrass). Toute fonction continue (avec tels que ) est limite uniforme de fonctions polynômiales sur .

On a une version plus générale de ce théorème.

Théorème 18 (Stone-Weierstrass). Soit un espace compact et une sous-algèbre de l’algèbre de Banach réelle . On suppose de plus que :

  1. sépare les points de (ie. ).

  2. contient les constantes.

Alors est dense dans .

Remarque 19. Il existe aussi une version complexe de ce théorème, où il faut supposer de plus que est stable par conjugaison.

Exemple 20. La suite de polynômes réels définie par récurrence par converge vers sur .

Régularité de la limite

Continuité

Théorème 21 (de la double limite). Soient une partie non vide d’un espace vectoriel normé de dimension finie, un espace de Banach, une suite de fonctions de dans et . On suppose :

  1. converge uniformément sur .

  2. admet une limite quand tend vers .

Alors,

Théorème 22. Soient une partie non vide d’un espace vectoriel normé de dimension finie, un espace de Banach, une suite de fonctions de dans et . On suppose :

  1. converge uniformément sur vers .

  2. est continue en .

Alors est continue en .

Exemple 23. La suite définie sur pour tout par converge vers Les fonctions sont continues, mais ne l’est pas : on n’a pas convergence uniforme sur .

Théorème 24. Soient une partie non vide d’un espace vectoriel normé, un espace de Banach, une série de fonctions de dans et . On suppose :

  1. converge uniformément sur .

  2. admet une limite quand tend vers .

Alors, converge dans et,

Théorème 25. Soient une partie non vide d’un espace vectoriel normé, un espace de Banach, une série de fonctions de dans et . On suppose :

  1. converge uniformément sur .

  2. est continue en .

Alors, est continue en .

Exemple 26. La fonction est continue sur .

Dérivabilité

Théorème 27. Soient un intervalle non vide de , un espace vectoriel normé et une suite de fonctions de dans . On suppose :

  1. est dérivable sur .

  2. converge simplement sur vers .

  3. converge uniformément sur .

Alors est dérivable sur et , .

Contre-exemple 28. La suite définie sur pour tout par converge vers , qui n’est pas dérivable à l’origine bien que les le soient.

Théorème 29. Soient un segment non vide de , un espace de Banach et une suite de fonctions de dans . On suppose :

  1. est de classe sur .

  2. Il existe tel que converge.

  3. converge uniformément sur vers .

Alors converge uniformément sur vers de classe sur et .

Théorème 30. Soient un intervalle non vide de , un espace de Banach et une série de fonctions de dans . On suppose :

  1. est dérivable sur .

  2. Il existe tel que converge.

  3. converge uniformément sur .

Alors converge simplement sur uniformément sur tout compact de , et,

Exemple 31. La fonction est sur et,

Mesurabilité, intégrabilité

Théorème 32. Soient un segment non vide de , un espace de Banach et une suite de fonctions de dans . On suppose :

  1. est continue sur .

  2. converge uniformément sur vers .

Alors est continue et . Plus généralement, la fonction est limite uniforme sur de la suite de fonctions définie par

Remarque 33. L’interversion se fait sous des hypothèses beaucoup moins contraignantes à l’aides du théorème de convergence dominée.

Théorème 34 (Convergence monotone). Soit une suite croissante de fonctions mesurables positives. Alors, la limite de cette suite est mesurable positive, et,

Théorème 35 (Lemme de Fatou). Soit une suite de fonctions mesurables positives. Alors,

Exemple 36. Soit croissante sur , continue en et dérivable en et dérivable pp. dans . Alors,

Théorème 37 (Convergence dominée). Soit une suite d’éléments de telle que :

  1. pp. en , converge dans vers .

  2. positive telle que Alors,

Exemple 38.

  • On reprend l’Exemple 36 et on suppose partout dérivable sur de dérivée bornée. Alors l’inégalité est une égalité.

  • Soit . On pose . Alors,

Exemple 39.

Séries particulières

Séries entières

Définition 40. On appelle série entière toute série de fonctions de la forme est une variable complexe et où est une suite complexe.

Lemme 41 (Abel). Soient une série entière et tels que soit bornée. Alors :

  1. tel que , converge absolument.

  2. converge normalement dans .

Définition 42. En reprenant les notations précédentes, le nombre est le rayon de convergence de .

Exemple 43.

  • a un rayon de convergence égal à .

  • a un rayon de convergence infini. On note la fonction somme.

Proposition 44. Soit une série entière de rayon de convergence . Alors et, pour tout .

Plus précisément, pour tout , est fois dérivable avec

Théorème 45 (Abel angulaire). Soit une série entière de rayon de convergence supérieur ou égal à tel que converge. On note la somme de cette série sur le disque unité de . On fixe et on pose .

Alors .

Application 46.

Application 47.

Contre-exemple 48. La réciproque est fausse :

Théorème 49 (Taubérien faible). Soit une série entière de rayon de convergence . On note la somme de cette série sur . On suppose que Si , alors converge et .

Remarque 50. Ce dernier résultat est une réciproque partielle du Théorème 45. Il reste vrai en supposant (c’est le théorème Taubérien fort).

Séries de Fourier

Notation 51.

  • Pour tout , on note l’espace des fonctions , -périodiques et mesurables, telles que .

  • Pour tout , on note la fonction -périodique définie pour tout par .

Définition 52. Soit . On appelle :

  • Coefficients de Fourier complexes, les complexes définis par

  • Série de Fourier associée à la série définie par

Théorème 53 (Dirichlet). Soient -périodique, continue par morceaux sur et tels que la fonction est bornée au voisinage de . Alors,

Contre-exemple 54. Soit paire, -périodique telle que : Alors est bien définie et continue sur . Cependant, sa série de Fourier diverge en .

Corollaire 55. Soient -périodique, par morceaux sur . Alors, En particulier, si est continue en , la série de Fourier de converge vers .

Exemple 56. En reprenant la fonction de l’Exemple 56,

Proposition 57. Soit et telle que sa série de Fourier converge normalement. Alors, la somme est une fonction continue -périodique presque partout égale à . De plus, si est continue, l’égalité est vraie pour tout .

Proposition 58. Soit -périodique continue et par morceaux sur . Alors converge normalement vers .

Application 59 (Développement eulérien de la cotangente).

Théorème 60 (Formule sommatoire de Poisson). Soit une fonction de classe telle que et quand . Alors :

Application 61 (Identité de Jacobi).