241 Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

analysis

Convergences de suite et de séries de fonctions

Suites de fonctions

Définition 1. Soient $(f_{n})$ et $f$ respectivement une suite de fonctions et une fonction définies sur un ensemble $X$ à valeurs dans un espace métrique $(E, d)$ . On dit que :

$(f_{n})$ converge simplement vers $f$ si $\forall x \in X, \forall ϵ > 0, \exists N \in N tel que \forall n \geq N, d (f_{n} (x), f (x)) < ϵ$
$(f_{n})$ converge uniformément vers $f$ si $\forall ϵ > 0, \exists N \in N tel que \forall n \geq N, \forall x \in X, d (f_{n} (x), f (x)) < ϵ$

Proposition 2. La convergence uniforme entraîne la convergence simple.

Contre-exemple 3. La réciproque est fausse. Il suffit en effet de considérer la suite $(f_{n})$ définie pour tout $n \in N$ et pour tout $x \in [0, 1]$ par $f_{n} (x) = x^{n}$ converge simplement sur $[0, 1]$ mais pas uniformément.

Théorème 4 (Critère de Cauchy uniforme). Soit $(f_{n})$ une suite de fonctions définies sur un ensemble $X$ à valeurs dans un espace métrique $(E, d)$ . Alors $(f_{n})$ converge uniformément si $\forall ϵ > 0, \exists N \in N tel que \forall p > q \geq N, \forall x \in X, d (f_{p} (x), f_{q} (x)) < ϵ$

p. 237

Corollaire 5. Une limite uniforme sur $R$ de fonctions polynômiales est une fonction polynômiale.

p. 232

Notation 6.

Pour toute fonction $g$ bornée sur un ensemble $X$ et à valeurs dans un espace vectoriel normé $(E, ∥.∥)$ , on note $∥ g ∥_{\infty} = x \in X sup ∥ g (x) ∥$
On note $B (X, E)$ l’ensemble des applications bornées de $X$ dans $E$ .

Proposition 7. En reprenant les notations précédentes, une suite de fonctions $(f_{n})$ de $B (X, E)$ converge uniformément vers $f \in B (X, E)$ si $∥ f_{n} - f ∥_{\infty} ⟶_{n \to + \infty} 0$ .

Exemple 8. La suite de fonctions $(f_{n})$ définie pour tout $n \in N$ par $f_{n} : x \mapsto (1 - \frac{x}{n})^{n} 1_{[0, n]}$ converge uniformément vers $f : x \mapsto e^{- x}$ sur $R^{+}$ .

Séries de fonctions

p. 232

Définition 9. Soit $(g_{n})$ une suite de fonctions. On appelle série de fonctions de terme général $g_{n}$ , notée $\sum g_{n}$ la suite de fonctions $(S_{n})$ où $\forall n \in N, S_{n} = k = 0 \sum n g_{k}$

Définition 10. Soient $X$ un ensemble et $(E, ∥.∥)$ un espace vectoriel normé. On dit qu’une série de fonctions à termes dans $B (X, E)$ converge normalement si la série numérique $\sum ∥ g_{n} ∥_{\infty}$ converge.

Remarque 11. En reprenant les notations précédentes, il est équivalent de dire qu’une série de fonctions $\sum g_{n}$ converge normalement s’il existe une série à termes positifs $\sum a_{n}$ convergente et telle que $\forall n \in N, \forall x \in X, ∥ g_{n} (x) ∥ \leq a_{n}$

Exemple 12. La série de fonctions $\sum g_{n}$ où $(g_{n})$ est définie par $\forall n \in N, g_{n} : x \mapsto \frac{x ^{n}}{n ^{2}}$ converge normalement sur $[0, 1]$ car $∥ g_{n} ∥_{\infty} = \frac{1}{n ^{2}}$ .

Théorème 13. Une série de fonctions à valeurs dans un espace de Banach qui converge normalement sur un ensemble $X$ converge uniformément sur $X$ .

Contre-exemple 14. La réciproque est fausse. Par exemple, la série de fonctions $\sum (- 1)^{n} g_{n}$ où $(g_{n})$ est définie par $\forall n \in N, g_{n} : x \mapsto \frac{x}{n ^{2} + x ^{2}}$ converge uniformément sur $R^{+}$ mais pas normalement.

Définition sur un compact

p. 238

Théorème 15 (Théorèmes de Dini).

Soit $(f_{n})$ une suite croissante de fonctions réelles continues définies sur un segment $I$ de $R$ . Si $(f_{n})$ converge simplement vers une fonction continue sur $I$ , alors la convergence est uniforme.
Soit $(f_{n})$ une suite de fonctions croissantes réelles continues définies sur un segment $I$ de $R$ . Si $(f_{n})$ converge simplement vers une fonction continue sur $I$ , alors la convergence est uniforme.

p. 242

Théorème 16 (Bernstein). Soit $f : [0, 1] \to C$ continue. On note $B_{n} (f) : x \mapsto k = 0 \sum n f (\frac{k}{n}) (k n) x^{k} (1 - x)^{n - k}$ Alors, $∥ B_{n} (f) - f ∥_{\infty} ⟶_{n \to + \infty} 0$

p. 304

theoreme-de-weierstrass-par-la-convolution

Corollaire 17 (Weierstrass). Toute fonction continue $f : [a, b] \to R$ (avec $a, b \in R$ tels que $a \leq b$ ) est limite uniforme de fonctions polynômiales sur $[a, b]$ .

On a une version plus générale de ce théorème.

[LI]
p. 46

Théorème 18 (Stone-Weierstrass). Soit $K$ un espace compact et $A$ une sous-algèbre de l’algèbre de Banach réelle $C (K, R)$ . On suppose de plus que :

$A$ sépare les points de $K$ (ie. $\forall x \in K, \exists f \in A telle que f (x) \neq = f (y)$ ).
$A$ contient les constantes.

Alors $A$ est dense dans $C (K, R)$ .

Remarque 19. Il existe aussi une version complexe de ce théorème, où il faut supposer de plus que $A$ est stable par conjugaison.

Exemple 20. La suite de polynômes réels $(r_{n})$ définie par récurrence par $r_{0} = 0 et \forall n \in N, r_{n + 1} : t \mapsto r_{n} (t) + \frac{1}{2} (t - r_{n} (t)^{2})$ converge vers $.$ sur $[0, 1]$ .

Régularité de la limite

Continuité

[AMR11]
p. 146

Théorème 21 (de la double limite). Soient $X$ une partie non vide d’un espace vectoriel normé de dimension finie, $E$ un espace de Banach, $(f_{n})$ une suite de fonctions de $X$ dans $E$ et $a \in \overline{X}$ . On suppose :

$(f_{n})$ converge uniformément sur $X$ .
$\forall n \in N, f_{n} (x)$ admet une limite quand $x$ tend vers $a$ .

Alors, $n \to + \infty lim (x \to a lim f_{n} (x)) = x \to a lim (n \to + \infty lim f_{n} (x))$

Théorème 22. Soient $X$ une partie non vide d’un espace vectoriel normé de dimension finie, $E$ un espace de Banach, $(f_{n})$ une suite de fonctions de $X$ dans $E$ et $a \in X$ . On suppose :

$(f_{n})$ converge uniformément sur $X$ vers $f$ .
$\forall n \in N, f_{n} (x)$ est continue en $a$ .

Alors $f$ est continue en $a$ .

Exemple 23. La suite $(f_{n})$ définie sur $R^{+}$ pour tout $n \in N$ par $f_{n} : x \mapsto e^{- n x}$ converge vers $f : R^{+} x \to \mapsto R^{+} {10 si x = 0 sinon$ Les fonctions $f_{n}$ sont continues, mais $f$ ne l’est pas : on n’a pas convergence uniforme sur $R^{+}$ .

p. 195

Théorème 24. Soient $X$ une partie non vide d’un espace vectoriel normé, $E$ un espace de Banach, $\sum f_{n}$ une série de fonctions de $X$ dans $E$ et $a \in \overline{X}$ . On suppose :

$\sum f_{n}$ converge uniformément sur $X$ .
$\forall n \in N, f_{n} (x)$ admet une limite $ℓ_{n}$ quand $x$ tend vers $a$ .

Alors, $\sum ℓ_{n}$ converge dans $E$ et, $x \to a lim n = 0 \sum + \infty f_{n} (x) = n = 0 \sum + \infty x \to a lim f_{n} (x) = n = 0 \sum + \infty ℓ_{n}$

Théorème 25. Soient $X$ une partie non vide d’un espace vectoriel normé, $E$ un espace de Banach, $\sum f_{n}$ une série de fonctions de $X$ dans $E$ et $a \in X$ . On suppose :

$\sum f_{n}$ converge uniformément sur $X$ .
$\forall n \in N, f_{n}$ est continue en $a$ .

Alors, $\sum_{n = 0}^{+ \infty} f_{n}$ est continue en $a$ .

Exemple 26. La fonction $x \mapsto \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{e ^{- n ∣ x ∣}}{n ^{2}}$ est continue sur $R$ .

Dérivabilité

p. 148

Théorème 27. Soient $I$ un intervalle non vide de $R$ , $E$ un espace vectoriel normé et $(f_{n})$ une suite de fonctions de $I$ dans $E$ . On suppose :

$\forall n \in N, f_{n}$ est dérivable sur $I$ .
$(f_{n})$ converge simplement sur $I$ vers $f$ .
$(f_{n}^{'})$ converge uniformément sur $I$ .

Alors $f$ est dérivable sur $I$ et $\forall x \in I$ , $f^{'} (x) = lim_{n \to + \infty} f_{n}^{'} (x)$ .

Contre-exemple 28. La suite $(f_{n})$ définie sur $R$ pour tout $n \in N$ par $f_{n} : x \mapsto (x^{2} + \frac{1}{n ^{2}})^{\frac{1}{2}}$ converge vers $x \mapsto ∣ x ∣$ , qui n’est pas dérivable à l’origine bien que les $f_{n}$ le soient.

p. 198

Théorème 29. Soient $I = [a, b]$ un segment non vide de $R$ , $E$ un espace de Banach et $(f_{n})$ une suite de fonctions de $I$ dans $E$ . On suppose :

$\forall n \in N, f_{n}$ est de classe $C^{1}$ sur $I$ .
Il existe $x_{0} \in I$ tel que $(f_{n} (x_{0}))$ converge.
$(f_{n}^{'})$ converge uniformément sur $I$ vers $g$ .

Alors $(f_{n})$ converge uniformément sur $I$ vers $f$ de classe $C^{1}$ sur $I$ et $f^{'} = g$ .

Théorème 30. Soient $I$ un intervalle non vide de $R$ , $E$ un espace de Banach et $\sum f_{n}$ une série de fonctions de $I$ dans $E$ . On suppose :

$\forall n \in N, f_{n}$ est dérivable sur $I$ .
Il existe $x_{0} \in I$ tel que $\sum f_{n} (x_{0})$ converge.
$\sum f_{n}^{'}$ converge uniformément sur $I$ .

Alors $\sum f_{n}$ converge simplement sur $I$ uniformément sur tout compact de $I$ , et, $(n = 0 \sum + \infty f_{n})^{'} = n = 0 \sum + \infty f_{n}^{'}$

Exemple 31. La fonction $ζ : s \mapsto \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n ^{s}}$ est $C^{\infty}$ sur $] 1, + \infty [$ et, $\forall k \in N, \forall s \in] 1, + \infty [, ζ^{(k)} (s) = (- 1)^{k} n = 1 \sum + \infty \frac{( ln ( s ) ) ^{k}}{n ^{s}}$

Mesurabilité, intégrabilité

[GOU20]
p. 233

Théorème 32. Soient $I = [a, b]$ un segment non vide de $R$ , $E$ un espace de Banach et $(f_{n})$ une suite de fonctions de $I$ dans $E$ . On suppose :

$\forall n \in N, f_{n}$ est continue sur $I$ .
$(f_{n})$ converge uniformément sur $I$ vers $f$ .

Alors $f$ est continue et $lim_{n \to + \infty} \int_{a}^{b} f_{n} (t) d t = \int_{a}^{b} f (t) d t$ . Plus généralement, la fonction $F : x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t$ est limite uniforme sur $I$ de la suite de fonctions $(F_{n})$ définie par $\forall n \in N, F_{n} : x \mapsto \int_{a}^{x} f_{n} (t) d t$

Remarque 33. L’interversion se fait sous des hypothèses beaucoup moins contraignantes à l’aide du théorème de convergence dominée.

[B-P]
p. 124

Théorème 34 (Convergence monotone). Soit $(f_{n})$ une suite croissante de fonctions mesurables positives. Alors, la limite $f$ de cette suite est mesurable positive, et, $\int_{X} f d μ = n \to + \infty lim \int_{X} f_{n} d μ$

p. 137

Théorème 35 (Lemme de Fatou). Soit $(f_{n})$ une suite de fonctions mesurables positives. Alors, $0 \leq \int_{X} lim inf f_{n} d μ \leq lim inf \int_{X} f_{n} d μ \leq + \infty$

Exemple 36. Soit $f$ croissante sur $[0, 1]$ , continue en $0$ et dérivable en $1$ et dérivable pp. dans $[0, 1]$ . Alors, $\int_{0}^{1} f^{'} (x) d x \leq f (1) - f (0)$

Théorème 37 (Convergence dominée). Soit $(f_{n})$ une suite d’éléments de $L_{1}$ telle que :

pp. en $x$ , $(f_{n} (x))$ converge dans $K$ vers $f (x)$ .
$\exists g \in L_{1}$ positive telle que $\forall n \in N, pp. en x, ∣ f_{n} (x) ∣ \leq g (x)$ Alors, $\int_{X} f d μ = n \to + \infty lim \int_{X} f_{n} d μ et n \to + \infty lim \int_{X} ∣ f_{n} - f ∣ d μ = 0$

Exemple 38.

On reprend l’Exemple 36 et on suppose $f$ partout dérivable sur $[0, 1]$ de dérivée bornée. Alors l’inégalité est une égalité.
Soit $α > 1$ . On pose $\forall n \geq 1, I_{n} (α) = \int_{0}^{n} (1 + \frac{x}{n})^{n} e^{- αx} d x$ . Alors, $n \to + \infty lim I_{n} (α) = \int_{0}^{+ \infty} e^{(1 - α) x} d x = \frac{1}{α - 1}$

[AMR11]
p. 156

Exemple 39. $n \to + \infty lim \int_{0}^{+ \infty} \frac{x ^{n}}{x ^{2 n} + 1} d x = 0$

Séries particulières

Séries entières

[GOU20]
p. 247

Définition 40. On appelle série entière toute série de fonctions de la forme $\sum a_{n} z^{n}$ où $z$ est une variable complexe et où $(a_{n})$ est une suite complexe.

Lemme 41 (Abel). Soient $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière et $z_{0} \in C$ tels que $(a_{n} z_{0}^{n})$ soit bornée. Alors :

$\forall z \in C$ tel que $∣ z ∣ < ∣ z_{0} ∣$ , $\sum a_{n} z^{n}$ converge absolument.
$\forall r \in] 0, z_{0} [, \sum a_{n} z^{n}$ converge normalement dans $\overline{D} (0, r) = {z \in C ∣ ∣ z ∣ \leq r}$ .

Définition 42. En reprenant les notations précédentes, le nombre $R = sup {r \geq 0 ∣ (∣ a_{n} ∣ r^{n}) est born \overset{e}{ˊ} e}$ est le rayon de convergence de $\sum a_{n} z^{n}$ .

p. 255

Exemple 43.

$\sum n^{2} z^{n}$ a un rayon de convergence égal à $1$ .
$\sum \frac{z ^{n}}{n !}$ a un rayon de convergence infini. On note $z \mapsto e^{z}$ la fonction somme.

[QUE]
p. 57

Proposition 44. Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $r \neq = 0$ . Alors $S \in H (D (0, r))$ et, $S^{'} (z) = n = 0 \sum + \infty n a_{n} z^{n - 1}$ pour tout $z \in D (0, r)$ .

Plus précisément, pour tout $k \in N$ , $S$ est $k$ fois dérivable avec $S^{(k)} (z) = n = k \sum + \infty n (n - 1) \dots (n - k + 1) a_{n} z^{n - k}$

[GOU20]
p. 263

theoreme-d-abel-angulaire

Théorème 45 (Abel angulaire). Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence supérieur ou égal à $1$ telle que $\sum a_{n}$ converge. On note $f$ la somme de cette série sur le disque unité $D$ de $C$ . On fixe $θ_{0} \in [0, \frac{π}{2} [$ et on pose $Δ_{θ_{0}} = {z \in D ∣ \exists ρ > 0 et \exists θ \in [- θ_{0}, θ_{0}] tels que z = 1 - ρ e^{i θ}}$ .

Alors $lim_{z \to 1 z \in Δ_{θ_{0}}} f (z) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n}$ .

Application 46. $n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n + 1 )} = \frac{π}{4}$

Application 47. $n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} = ln (2)$

Contre-exemple 48. La réciproque est fausse : $z \to 1 ∣ z ∣ < 1 lim (- 1)^{n} z^{n} = z \to 1 ∣ z ∣ < 1 lim \frac{1}{1 + z} = \frac{1}{2}$

Théorème 49 (Taubérien faible). Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $1$ . On note $f$ la somme de cette série sur $D (0, 1)$ . On suppose que $\exists S \in C tel que x \to 1 x < 1 lim f (x) = S$ Si $a_{n} = o (\frac{1}{n})$ , alors $\sum a_{n}$ converge et $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} = S$ .

Remarque 50. Ce dernier résultat est une réciproque partielle du Théorème 45. Il reste vrai en supposant $a_{n} = O (\frac{1}{n})$ (c’est le théorème Taubérien fort).

Séries de Fourier

[Z-Q]
p. 73

Notation 51.

Pour tout $p \in [1, + \infty]$ , on note $L_{p}^{2 π}$ l’espace des fonctions $f : R \to C$ , $2 π$ -périodiques et mesurables, telles que $∥ f ∥_{p} < + \infty$ .
Pour tout $n \in Z$ , on note $e_{n}$ la fonction $2 π$ -périodique définie pour tout $t \in R$ par $e_{n} (t) = e^{in t}$ .

[GOU20]
p. 268

Définition 52. Soit $f \in L_{1}^{2 π}$ . On appelle :

Coefficients de Fourier complexes, les complexes définis par $\forall n \in Z, c_{n} (f) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (t) e^{- in t} d t = ⟨ f, e_{n} ⟩$
Série de Fourier associée à $f$ la série $(S_{N} (f))$ définie par $\forall N \in N, S_{N} (f) = n = - N \sum N c_{n} (f) e_{n} = (*) \frac{a _{0} ( f )}{2} + n = 1 \sum N (a_{n} (f) cos (n x) + b_{n} (f) sin (n x))$

p. 271

Théorème 53 (Dirichlet). Soient $f : R \to C$ $2 π$ -périodique, continue par morceaux sur $R$ et $t_{0} \in R$ tels que la fonction $h \mapsto \frac{f ( t _{0} + h ) + f ( t _{0} - h ) - f ( t _{0}^{+} ) - f ( t _{0}^{-} )}{h}$ est bornée au voisinage de $0$ . Alors, $S_{N} (f) (t_{0}) ⟶_{N \to + \infty} \frac{f ( t _{0}^{+} ) + f ( t _{0}^{-} )}{2}$

Contre-exemple 54. Soit $f : R \to R$ paire, $2 π$ -périodique telle que : $\forall x \in [0, π], f (x) = p = 1 \sum + \infty \frac{1}{p ^{2}} sin ((2^{p^{3}} + 1) \frac{x}{2})$ Alors $f$ est bien définie et continue sur $R$ . Cependant, sa série de Fourier diverge en $0$ .

Corollaire 55. Soient $f : R \to C$ $2 π$ -périodique, $C^{1}$ par morceaux sur $R$ . Alors, $\forall x \in R, S_{N} (f) (x) ⟶_{N \to + \infty} \frac{f ( x ^{+} ) + f ( x ^{-} )}{2}$ En particulier, si $f$ est continue en $x$ , la série de Fourier de $f$ converge vers $f (x)$ .

Exemple 56. En reprenant la fonction de l’Exemple 56, $\forall x \in [- π, π], f (x) = \frac{2}{3} - \frac{4}{π ^{2}} n = 1 \sum + \infty (- 1)^{n} \frac{cos ( n x )}{n ^{2}}$

[BMP]
p. 128

Proposition 57. Soit $f \in L_{1}^{2 π}$ et telle que sa série de Fourier converge normalement. Alors, la somme $g : x \mapsto \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} c_{n} (f) e_{n} (x)$ est une fonction continue $2 π$ -périodique presque partout égale à $f$ . De plus, si $f$ est continue, l’égalité $f (x) = g (x)$ est vraie pour tout $x$ .

Proposition 58. Soit $f : R \to C$ $2 π$ -périodique continue et $C^{1}$ par morceaux sur $R$ . Alors $(S_{N} (f))$ converge normalement vers $f$ .

[AMR08]
p. 211

Application 59 (Développement eulérien de la cotangente). $\forall u \in R ∖ π Z, cotan (u) = \frac{1}{u} + n = 1 \sum + \infty \frac{2 u}{u ^{2} - n ^{2} π ^{2}}$

[GOU20]
p. 284

Théorème 60 (Formule sommatoire de Poisson). Soit $f : R \to C$ une fonction de classe $C^{1}$ telle que $f (x) = O (\frac{1}{x ^{2}})$ et $f^{'} (x) = O (\frac{1}{x ^{2}})$ quand $∣ x ∣ ⟶ + \infty$ . Alors : $\forall x \in R, n \in Z \sum f (x + n) = n \in Z \sum f (2 πn) e^{2 iπn x}$

Application 61 (Identité de Jacobi). $\forall s > 0, n = - \infty \sum + \infty e^{- π n^{2} s} = \frac{1}{s} n = - \infty \sum + \infty e^{- \frac{π n ^{2}}{s}}$