243 Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

analysis

Séries entières et rayons de convergence

Définitions

Définition 1. On appelle série entière toute série de fonctions de la forme $\sum a_{n} z^{n}$ où $z$ est une variable complexe et où $(a_{n})$ est une suite complexe.

Exemple 2. $\sum \frac{z ^{n}}{n !}$ est une série entière.

Lemme 3 (Abel). Soient $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière et $z_{0} \in C$ tels que $(a_{n} z_{0}^{n})$ soit bornée. Alors :

$\forall z \in C$ tel que $∣ z ∣ < ∣ z_{0} ∣$ , $\sum a_{n} z^{n}$ converge absolument.
$\forall r \in] 0, ∣ z_{0} ∣ [, \sum a_{n} z^{n}$ converge normalement dans $\overline{D} (0, r) = {z \in C ∣ ∣ z ∣ \leq r}$ .

Définition 4. Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière. Le nombre $R = sup {r \geq 0 ∣ (∣ a_{n} ∣ r^{n}) est born \overset{e}{ˊ} e}$ est le rayon de convergence de $\sum a_{n} z^{n}$ . On a :

$\forall z \in C$ tel que $∣ z ∣ < R$ , $\sum a_{n} z^{n}$ converge absolument.
$\forall z \in C$ tel que $∣ z ∣ > R$ , $\sum a_{n} z^{n}$ diverge.
$\forall r \in [0, R [$ , $\sum a_{n} z^{n}$ converge normalement sur $\overline{D} (0, r)$ .

Le disque $D (0, R)$ est le disque de convergence de la série, le cercle $C (0, R)$ est le cercle d’incertitude.

Comparaison de rayons de convergence

[AMR11]
p. 234

Soient $\sum a_{n} z^{n}$ et $\sum b_{n} z^{n}$ deux séries entières dont on note $R_{a}$ et $R_{b}$ les rayons de convergence respectifs.

Proposition 5.

Si $\forall n \in N$ , on a $∣ a_{n} ∣ \leq ∣ b_{n} ∣$ , alors $R_{a} \geq R_{b}$ .
Si $a_{n} = O (b_{n})$ , alors $R_{a} \geq R_{b}$ .
Si $a_{n} \sim b_{n}$ , alors $R_{a} = R_{b}$ .

Exemple 6. La série entière $\sum e^{c o s (n)} z^{n}$ a un rayon de convergence égal à $1$ .

Calcul du rayon de convergence

p. 233

Proposition 7 (Règle de d’Alembert). Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière. Si $lim_{n \to + \infty} \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = λ$ avec $λ \in [0, + \infty]$ , alors le rayon de convergence de $\sum a_{n} z^{n}$ est égal à $\frac{1}{λ}$ .

Exemple 8. La série entière $\sum \frac{z ^{n}}{n !}$ a un rayon de convergence infini.

Proposition 9 (Formule d’Hadamard). Le rayon de convergence d’une série entière $\sum a_{n} z^{n}$ est donné par $\frac{1}{ρ}$ où $ρ = n \to + \infty lim sup ∣ a_{n} ∣^{\frac{1}{n}}$

Exemple 10. La série entière $\sum 2^{n} z^{2 n}$ a un rayon de convergence égal à $\frac{1}{2}$ .

Corollaire 11 (Règle de Cauchy). Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière. Si $lim_{n \to + \infty} ∣ a_{n} ∣^{\frac{1}{n}} = λ$ avec $λ \in [0, + \infty]$ , alors le rayon de convergence de $\sum a_{n} z^{n}$ est égal à $\frac{1}{λ}$ .

Exemple 12. La série entière $\sum \frac{n}{2 ^{n}} z^{n}$ a un rayon de convergence égal à $2$ .

Étude sur le cercle d’incertitude

p. 231

Exemple 13. Le comportement d’une série entière peut varier sur le cercle d’incertitude suivant ses coefficients :

$\sum z^{n}$ dont le rayon de convergence est égal à $1$ diverge en tout point de $C (0, 1)$ .
$\sum \frac{1}{n ^{2}} z^{n}$ dont le rayon de convergence est égal à $1$ converge en tout point de $C (0, 1)$ .
$\sum \frac{z ^{n}}{n} z^{n}$ dont le rayon de convergence est égal à $1$ converge en $1$ mais diverge en tout autre point de $C (0, 1)$ .

[GOU20]
p. 263

theoreme-d-abel-angulaire

Théorème 14 (Abel angulaire). Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence supérieur ou égal à $1$ telle que $\sum a_{n}$ converge. On note $f$ la somme de cette série sur le disque unité $D$ de $C$ . On fixe $θ_{0} \in [0, \frac{π}{2} [$ et on pose $Δ_{θ_{0}} = {z \in D ∣ \exists ρ > 0 et \exists θ \in [- θ_{0}, θ_{0}] tels que z = 1 - ρ e^{i θ}}$ .

Alors $lim_{z \to 1 z \in Δ_{θ_{0}}} f (z) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n}$ .

Application 15. $n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n + 1 )} = \frac{π}{4}$

Application 16. $n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} = ln (2)$

Contre-exemple 17. La réciproque est fausse : $z \to 1 ∣ z ∣ < 1 lim (- 1)^{n} z^{n} = z \to 1 ∣ z ∣ < 1 lim \frac{1}{1 + z} = \frac{1}{2}$

Théorème 18 (Taubérien faible). Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $1$ . On note $f$ la somme de cette série sur $D (0, 1)$ . On suppose que $\exists S \in C tel que x \to 1 x < 1 lim f (x) = S$ Si $a_{n} = o (\frac{1}{n})$ , alors $\sum a_{n}$ converge et $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} = S$ .

Remarque 19. Ce dernier résultat est une réciproque partielle du Théorème 14. Il reste vrai en supposant $a_{n} = O (\frac{1}{n})$ (c’est le théorème Taubérien fort).

Propriétés

Opérations sur les séries entières

[AMR11]
p. 235

Soient $\sum a_{n} z^{n}$ et $\sum b_{n} z^{n}$ deux séries entières dont on note $R_{a}$ et $R_{b}$ les rayons de convergence respectifs.

Proposition 20. En multipliant $\sum a_{n} z^{n}$ par un scalaire, on ne change pas le rayon de convergence de la série initiale.

Définition 21. On appelle série entière somme la série entière $\sum (a_{n} + b_{n}) z^{n}$ .

Proposition 22. On note $R_{a + b}$ le rayon de convergence de la série somme. Alors $R_{a + b} \geq min {R_{a}, R_{b}}$ avec égalité si $R_{a} \neq = R_{b}$ .

[GOU20]
p. 248

Exemple 23. Les séries entières $\sum z^{n}$ et $\sum - z^{n}$ ont leur rayon de convergence égal à $1$ et la série somme un rayon de convergence infini.

[AMR11]
p. 235

Définition 24. On appelle produit de Cauchy la série entière $\sum c_{n} z^{n}$ où $\forall n \in N, c_{n} = k = 0 \sum n a_{k} b_{n - k}$

Proposition 25. On note $R_{c}$ le rayon de convergence du produit de Cauchy $\sum c_{n} z^{n}$ . Alors,

$R_{c} \geq min {R_{a}, R_{b}}$ .
$\forall z \in D (0, min {R_{a}, R_{b}}), \sum_{n = 0}^{+ \infty} c_{n} z^{n} = (\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} z^{n}) (\sum_{n = 0}^{+ \infty} b_{n} z^{n})$ .

Propriétés de la somme

[AMR11]
p. 239

Dans toute cette sous-partie, $\sum a_{n} z^{n}$ désigne une série entière de rayon de convergence $R > 0$ . On note $S$ sa somme sur $D (0, R)$ .

Proposition 26. $S$ est continue sur $D (0, R)$ .

Exemple 27. La série entière $\sum \frac{z ^{n}}{n !}$ est continue sur $C$ .

Corollaire 28. $\forall p \in N$ , $S$ admet un développement limité à l’ordre $p$ au voisinage de l’origine, dont la partie régulière est donnée par $a_{0} + a_{1} z + \dots + a_{p} z^{p}$ .

Proposition 29. Soit $[a, b] \subseteq] - R, R [$ , alors $\int_{a}^{b} S (x) d x = n = 0 \sum + \infty a_{n} \int_{a}^{b} x^{n} d x$

Corollaire 30. Les primitives de $S$ sont de la forme $\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{a _{n}}{n + 1} x^{n + 1} + α$ avec $α \in C$ .

Proposition 31. $S$ est de classe $C^{\infty}$ sur $] - R, R [$ et $\forall k \in N, \forall x \in] - R, R [, S^{(k)} (x) = k = 0 \sum + \infty \frac{k !}{( n - k )!} a_{n} x^{n - k}$

Remarque 32. En particulier, $\forall k \in N$ , $a_{k} = \frac{S ^{(k)} ( 0 )}{k !}$ .

Exemple 33. $\forall x \in] - 1, 1 [, n = 0 \sum + \infty (n + 1) x^{n} = \frac{1}{( 1 - x ) ^{2}}$

Développement en série entière

[BMP]
p. 46

Définition 34. Soient $U \subseteq C$ un ouvert et $f : U \to C$ . On dit que $f$ est développable en série entière en $a \in U$ s’il existe $r > 0$ et $(a_{n}) \in C^{N}$ tels que $D (a, r) \subseteq U$ et $\forall z \in D (a, r), f (z) = n = 0 \sum + \infty a_{n} (z - a)^{n}$

[AMR11]
p. 241

Exemple 35. Tout polynôme est développable en série entière en tout point de $R$ .

Proposition 36. Soient $f : x \mapsto \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ et $g : x \mapsto \sum_{n = 0}^{+ \infty} b_{n} x^{n}$ deux fonctions développables en séries entières en $0$ . Alors :

$\forall λ \in C$ , $λ f + g$ est développable en série entière et son développement est $n = 0 \sum + \infty (λ a_{n} + b_{n}) x^{n}$
$f g$ est développable en série entière et son développement est le produit de Cauchy des deux séries entières.

Proposition 37. Soit $f : x \mapsto \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ une fonction développable en série entière en $0$ . Alors $\exists I \subseteq R$ avec $0 \in I$ tel que :

$f^{'}$ est développable en série entière en $0$ son développement est $n = 0 \sum + \infty (n + 1) a_{n + 1} x^{n}$
$f$ est donc $C^{\infty}$ .
$f$ est continue et si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ , $F$ est développable en série entière en $0$ son développement est $F (0) + n = 0 \sum + \infty \frac{a _{n}}{n + 1} x^{n + 1}$

Exemple 38. Voici quelques développements en série entière usuels :

$\forall x \in R$ , $e^{x} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x ^{n}}{n !}$ .
$\forall x \in R$ , $cos (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n}}{( 2 n )!}$ et $sin (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!}$ .
$\forall α > 0$ , $\forall x \in] - 1, 1 [$ , $(1 + x)^{α} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - n + 1 )}{n !} x^{n}$ .

[BMP]
p. 55

Contre-exemple 39. La fonction $x \mapsto {e^{- \frac{1}{x ^{2}}} si x > 0 0 sinon$ est $C^{\infty}$ mais n’est pas développable en série entière en $0$ .

Applications

Analyse complexe

p. 46

Définition 40. Soient $U \subseteq C$ un ouvert et $f : U \to C$ . On dit que $f$ est analytique sur $U$ si $f$ est développable en série entière en tout point de $U$ .

Théorème 41. Soient $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R > 0$ et $z_{0} \in D (0, R)$ . On note $f : z \mapsto \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} z^{n}$ . Alors $f$ est holomorphe en $z_{0}$ et $f^{'} (z_{0}) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} n a_{n} z_{0}^{n - 1}$ .

Théorème 42 (Zéros isolés). Soient $U \subseteq C$ un ouvert connexe et $f : U \to C$ . Si $f$ est une fonction analytique si $f$ n’est pas identiquement nulle, alors l’ensemble des zéros de $f$ n’admet pas de point d’accumulation dans $U$ .

Corollaire 43. Soient $U \subseteq C$ un ouvert connexe et $f : U \to C$ . Alors $f$ admet un nombre fini de zéros dans tout compact de $U$ .

[GOU20]
p. 250

Corollaire 44. Deux séries entières dont les sommes coïncident sur un voisinage de $0$ dans $R$ sont égales.

[BMP]
p. 63

Théorème 45. Soit $f$ une fonction holomorphe sur un disque ouvert de rayon $ρ$ centré en un point $a$ . Alors $f$ est analytique sur ce disque. De plus, on a convergence normale sur tout compact du disque.

Dénombrement

[GOU20]
p. 314

nombres-de-bell

Application 46 (Nombres de Bell). Pour tout $n \in N^{*}$ , on note $B_{n}$ le nombre de partitions de $[[1, n]]$ . Par convention on pose $B_{0} = 1$ . Alors, $\forall k \in N^{*}, B_{k} = \frac{1}{e} n = 0 \sum + \infty \frac{n ^{k}}{n !}$

[DAN]
p. 336

Application 47. Soit $n \in N^{*}$ . $σ \in S_{n}$ est un dérangement de $S_{n}$ si $\forall k \in [[1, n]]$ , $σ (k) \neq = k$ . Alors, $d_{n} = n! k = 0 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k}}{k !}$

Équations différentielles

[AMR11]
p. 246

Proposition 48. Pour résoudre une équation différentielle linéaire $(L)$ à l’aide des séries entières :

On suppose que $φ (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ est solution de $(L)$ et on l’introduit dans $(L)$ .
On se ramène à $\sum_{n = 0}^{+ \infty} b_{n} x^{n} = 0$ où les $b_{n}$ dépendent des $a_{n}$ .
On trouve une relation liant les $a_{n}$ et on vérifie que la série $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ a un rayon de convergence non-nul.

p. 273

Exemple 49. Les solutions de $t^{2} (1 - t) y^{''} - t (1 + t) y^{'} + y = 0$ sont les fonctions $t \mapsto λ \frac{x}{1 - x}$ (où $λ \in R$ ).

Annexes

[GOU20]
p. 263

tikzpicture-1 — Illustration du théorème d’Abel angulaire.