243 Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

analysis

Séries entières et rayons de convergence

Définitions

Définition 1

On appelle série entière toute série de fonctions de la forme $\sum a_{n} z^{n}$ où $z$ est une variable complexe et où $(a_{n})$ est une suite complexe.

Exemple 2

$\sum \frac{z ^{n}}{n !}$ est une série entière.

Lemme 3

Lemme d’AbelSoient $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière et $z_{0} \in C$ tels que $(a_{n} z_{0}^{n})$ soit bornée. Alors :

$\forall z \in C$ tel que $∣ z ∣ < ∣ z_{0} ∣$ , $\sum a_{n} z^{n}$ converge absolument.
$\forall r \in] 0, ∣ z_{0} ∣ [, \sum a_{n} z^{n}$ converge normalement dans $\overline{D} (0, r) = {z \in C ∣ ∣ z ∣ \leq r}$ .

Définition 4

Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière. Le nombre $R = sup {r \geq 0 ∣ (∣ a_{n} ∣ r^{n}) est born \overset{e}{ˊ} e}$ est le rayon de convergence de $\sum a_{n} z^{n}$ . On a :

$\forall z \in C$ tel que $∣ z ∣ < R$ , $\sum a_{n} z^{n}$ converge absolument.
$\forall z \in C$ tel que $∣ z ∣ > R$ , $\sum a_{n} z^{n}$ diverge.
$\forall r \in [0, R [$ , $\sum a_{n} z^{n}$ converge normalement sur $\overline{D} (0, r)$ .

Le disque $D (0, R)$ est le disque de convergence de la série, le cercle $C (0, R)$ est le cercle d’incertitude.

Comparaison de rayons de convergence

[AMR11]
p. 234

Soient $\sum a_{n} z^{n}$ et $\sum b_{n} z^{n}$ deux séries entières dont on note $R_{a}$ et $R_{b}$ les rayons de convergence respectifs.

Proposition 5

Si $\forall n \in N$ , on a $∣ a_{n} ∣ \leq ∣ b_{n} ∣$ , alors $R_{a} \geq R_{b}$ .
Si $a_{n} = O (b_{n})$ , alors $R_{a} \geq R_{b}$ .
Si $a_{n} \sim b_{n}$ , alors $R_{a} = R_{b}$ .

Exemple 6

La série entière $\sum e^{c o s (n)} z^{n}$ a un rayon de convergence égal à $1$ .

Calcul du rayon de convergence

p. 233

Proposition 7

Règle de d’AlembertSoit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière telle que $a_{n} \neq = 0$ à partir d’un certain rang. Si $lim_{n \to + \infty} \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = λ$ avec $λ \in [0, + \infty]$ , alors le rayon de convergence de $\sum a_{n} z^{n}$ est égal à $\frac{1}{λ}$ .

Exemple 8

La série entière $\sum \frac{z ^{n}}{n !}$ a un rayon de convergence infini.

Proposition 9

Formule d’HadamardLe rayon de convergence d’une série entière $\sum a_{n} z^{n}$ est donné par $\frac{1}{ρ}$ où $ρ = n \to + \infty lim sup ∣ a_{n} ∣^{\frac{1}{n}}$

Exemple 10

La série entière $\sum 2^{n} z^{2 n}$ a un rayon de convergence égal à $\frac{1}{2}$ .

Corollaire 11

Règle de CauchySoit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière. Si $lim_{n \to + \infty} ∣ a_{n} ∣^{\frac{1}{n}} = λ$ avec $λ \in [0, + \infty]$ , alors le rayon de convergence de $\sum a_{n} z^{n}$ est égal à $\frac{1}{λ}$ .

Exemple 12

La série entière $\sum \frac{n}{2 ^{n}} z^{n}$ a un rayon de convergence égal à $2$ .

Étude sur le cercle d’incertitude

p. 231

Exemple 13

Le comportement d’une série entière peut varier sur le cercle d’incertitude suivant ses coefficients :

$\sum z^{n}$ dont le rayon de convergence est égal à $1$ diverge en tout point de $C (0, 1)$ .
$\sum \frac{1}{n ^{2}} z^{n}$ dont le rayon de convergence est égal à $1$ converge en tout point de $C (0, 1)$ .
$\sum \frac{1}{n} z^{n}$ dont le rayon de convergence est égal à $1$ diverge en $1$ mais converge en tout autre point de $C (0, 1)$ .

[GOU20]
p. 263

theoreme-d-abel-angulaire

Théorème 14

Abel angulaireSoit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence supérieur ou égal à $1$ telle que $\sum a_{n}$ converge. On note $f$ la somme de cette série sur le disque unité $D$ de $C$ . On fixe $θ_{0} \in [0, \frac{π}{2} [$ et on pose $Δ_{θ_{0}} = {z \in D ∣ \exists ρ > 0 et \exists θ \in [- θ_{0}, θ_{0}] tels que z = 1 - ρ e^{i θ}}$ .

Alors $lim_{z \to 1 z \in Δ_{θ_{0}}} f (z) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n}$ .

Application 15

$n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n + 1 )} = \frac{π}{4}$

Application 16

$n = 1 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} = ln (2)$

Contre-exemple 17

La réciproque est fausse : $z \to 1 ∣ z ∣ < 1 lim n = 0 \sum + \infty (- 1)^{n} z^{n} = z \to 1 ∣ z ∣ < 1 lim \frac{1}{1 + z} = \frac{1}{2}$ alors que la série $\sum_{n = 0}^{+ \infty} (- 1)^{n}$ diverge.

Théorème 18

Taubérien faibleSoit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $1$ . On note $f$ la somme de cette série sur $D (0, 1)$ . On suppose que $\exists S \in C tel que x \to 1 x < 1 lim f (x) = S$ Si $a_{n} = o (\frac{1}{n})$ , alors $\sum a_{n}$ converge et $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} = S$ .

Remarque 19

Ce dernier résultat est une réciproque partielle du 14. Il reste vrai en supposant $a_{n} = O (\frac{1}{n})$ (c’est le théorème Taubérien fort).

Propriétés

Opérations sur les séries entières

[AMR11]
p. 235

Soient $\sum a_{n} z^{n}$ et $\sum b_{n} z^{n}$ deux séries entières dont on note $R_{a}$ et $R_{b}$ les rayons de convergence respectifs.

Proposition 20

En multipliant $\sum a_{n} z^{n}$ par un scalaire non nul, on ne change pas le rayon de convergence de la série initiale.

Définition 21

On appelle série entière somme la série entière $\sum (a_{n} + b_{n}) z^{n}$ .

Proposition 22

On note $R_{a + b}$ le rayon de convergence de la série somme. Alors $R_{a + b} \geq min {R_{a}, R_{b}}$ avec égalité si $R_{a} \neq = R_{b}$ .

[GOU20]
p. 248

Exemple 23

Les séries entières $\sum z^{n}$ et $\sum - z^{n}$ ont leur rayon de convergence égal à $1$ et la série somme un rayon de convergence infini.

[AMR11]
p. 235

Définition 24

On appelle produit de Cauchy la série entière $\sum c_{n} z^{n}$ où $\forall n \in N, c_{n} = k = 0 \sum n a_{k} b_{n - k}$

Proposition 25

On note $R_{c}$ le rayon de convergence du produit de Cauchy $\sum c_{n} z^{n}$ . Alors,

$R_{c} \geq min {R_{a}, R_{b}}$ .
$\forall z \in D (0, min {R_{a}, R_{b}}), \sum_{n = 0}^{+ \infty} c_{n} z^{n} = (\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} z^{n}) (\sum_{n = 0}^{+ \infty} b_{n} z^{n})$ .

Propriétés de la somme

[AMR11]
p. 239

Dans toute cette sous-partie, $\sum a_{n} z^{n}$ désigne une série entière de rayon de convergence $R > 0$ . On note $S$ sa somme sur $D (0, R)$ .

Proposition 26

$S$ est continue sur $D (0, R)$ .

Exemple 27

La série entière $\sum \frac{z ^{n}}{n !}$ est continue sur $C$ .

Corollaire 28

$\forall p \in N$ , $S$ admet un développement limité à l’ordre $p$ au voisinage de l’origine, dont la partie régulière est donnée par $a_{0} + a_{1} z + \dots + a_{p} z^{p}$ .

Proposition 29

Soit $[a, b] \subseteq] - R, R [$ , alors $\int_{a}^{b} S (x) d x = n = 0 \sum + \infty a_{n} \int_{a}^{b} x^{n} d x$

Corollaire 30

Les primitives de $S$ sont de la forme $\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{a _{n}}{n + 1} x^{n + 1} + α$ avec $α \in C$ .

Proposition 31

$S$ est de classe $C^{\infty}$ sur $] - R, R [$ et $\forall k \in N, \forall x \in] - R, R [, S^{(k)} (x) = k = 0 \sum + \infty \frac{k !}{( n - k )!} a_{n} x^{n - k}$

Remarque 32

En particulier, $\forall k \in N$ , $a_{k} = \frac{S ^{(k)} ( 0 )}{k !}$ .

Exemple 33

$\forall x \in] - 1, 1 [, n = 0 \sum + \infty (n + 1) x^{n} = \frac{1}{( 1 - x ) ^{2}}$

Développement en série entière

[BMP]
p. 46

Définition 34

Soient $U \subseteq C$ un ouvert et $f : U \to C$ . On dit que $f$ est développable en série entière en $a \in U$ s’il existe $r > 0$ et $(a_{n}) \in C^{N}$ tels que $D (a, r) \subseteq U$ et $\forall z \in D (a, r), f (z) = n = 0 \sum + \infty a_{n} (z - a)^{n}$

[AMR11]
p. 241

Exemple 35

Tout polynôme est développable en série entière en tout point de $R$ .

Proposition 36

Soient $f : x \mapsto \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ et $g : x \mapsto \sum_{n = 0}^{+ \infty} b_{n} x^{n}$ deux fonctions développables en séries entières en $0$ . Alors :

$\forall λ \in C$ , $λ f + g$ est développable en série entière et son développement est $n = 0 \sum + \infty (λ a_{n} + b_{n}) x^{n}$
$f g$ est développable en série entière et son développement est le produit de Cauchy des deux séries entières.

Proposition 37

Soit $f : x \mapsto \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ une fonction développable en série entière en $0$ . Alors $\exists I \subseteq R$ avec $0 \in I$ tel que :

$f^{'}$ est développable en série entière en $0$ son développement est $n = 0 \sum + \infty (n + 1) a_{n + 1} x^{n}$
$f$ est donc $C^{\infty}$ .
$f$ est continue et si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ , $F$ est développable en série entière en $0$ son développement est $F (0) + n = 0 \sum + \infty \frac{a _{n}}{n + 1} x^{n + 1}$

Exemple 38

Voici quelques développements en série entière usuels :

$\forall x \in R$ , $e^{x} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x ^{n}}{n !}$ .
$\forall x \in R$ , $cos (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n}}{( 2 n )!}$ et $sin (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!}$ .
$\forall α > 0$ , $\forall x \in] - 1, 1 [$ , $(1 + x)^{α} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - n + 1 )}{n !} x^{n}$ .

[BMP]
p. 55

Contre-exemple 39

La fonction $x \mapsto {e^{- \frac{1}{x ^{2}}} si x > 0 0 sinon$ est $C^{\infty}$ mais n’est pas développable en série entière en $0$ .

Applications

Analyse complexe

p. 46

Définition 40

Soient $U \subseteq C$ un ouvert et $f : U \to C$ . On dit que $f$ est analytique sur $U$ si $f$ est développable en série entière en tout point de $U$ .

Théorème 41

Soient $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R > 0$ et $z_{0} \in D (0, R)$ . On note $f : z \mapsto \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} z^{n}$ . Alors $f$ est holomorphe en $z_{0}$ et $f^{'} (z_{0}) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} n a_{n} z_{0}^{n - 1}$ .

Théorème 42

Zéros isolésSoient $U \subseteq C$ un ouvert connexe et $f : U \to C$ . Si $f$ est une fonction analytique non identiquement nulle, alors l’ensemble des zéros de $f$ n’admet pas de point d’accumulation dans $U$ .

Corollaire 43

Soient $U \subseteq C$ un ouvert connexe et $f : U \to C$ une fonction analytique non identiquement nulle. Alors $f$ admet un nombre fini de zéros dans tout compact de $U$ .

[GOU20]
p. 250

Corollaire 44

Deux séries entières dont les sommes coïncident sur un voisinage de $0$ dans $R$ sont égales.

[BMP]
p. 63

Théorème 45

Soit $f$ une fonction holomorphe sur un disque ouvert de rayon $ρ$ centré en un point $a$ . Alors $f$ est analytique sur ce disque. De plus, on a convergence normale sur tout compact du disque.

Dénombrement

[GOU20]
p. 314

nombres-de-bell

Application 46

Nombres de BellPour tout $n \in N^{*}$ , on note $B_{n}$ le nombre de partitions de $[[1, n]]$ . Par convention on pose $B_{0} = 1$ . Alors, $\forall k \in N^{*}, B_{k} = \frac{1}{e} n = 0 \sum + \infty \frac{n ^{k}}{n !}$

[DAN]
p. 336

Application 47

Soit $n \in N^{*}$ . $σ \in S_{n}$ est un dérangement de $S_{n}$ si $\forall k \in [[1, n]]$ , $σ (k) \neq = k$ . Alors, $d_{n} = n! k = 0 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k}}{k !}$

Équations différentielles

[AMR11]
p. 246

Proposition 48

Pour résoudre une équation différentielle linéaire $(L)$ à l’aide des séries entières :

On suppose que $φ (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ est solution de $(L)$ et on l’introduit dans $(L)$ .
On se ramène à $\sum_{n = 0}^{+ \infty} b_{n} x^{n} = 0$ où les $b_{n}$ dépendent des $a_{n}$ .
On trouve une relation liant les $a_{n}$ et on vérifie que la série $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ a un rayon de convergence non-nul.

p. 273

Exemple 49

Les solutions de $t^{2} (1 - t) y^{''} - t (1 + t) y^{'} + y = 0$ sont les fonctions $t \mapsto λ \frac{x}{1 - x}$ (où $λ \in R$ ).

Annexes

[GOU20]
p. 263

tikzpicture-1 — Illustration du théorème d’Abel angulaire.