243 Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

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Séries entières et rayons de convergence

Définitions

Définition 1. On appelle série entière toute série de fonctions de la forme est une variable complexe et où est une suite complexe.

Exemple 2. est une série entière.

Lemme 3 (Abel). Soient une série entière et tels que soit bornée. Alors :

  1. tel que , converge absolument.

  2. converge normalement dans .

Définition 4. Soit une série entière. Le nombre est le rayon de convergence de . On a :

  • tel que , converge absolument.

  • tel que , diverge.

  • , converge normalement sur .

Le disque est le disque de convergence de la série, le cercle est le cercle d’incertitude.

Comparaison de rayons de convergence

Soient et deux séries entières dont on note et les rayons de convergence respectifs.

Proposition 5.

  1. Si , on a , alors .

  2. Si , alors .

  3. Si , alors .

Exemple 6. La série entière a un rayon de convergence égal à .

Calcul du rayon de convergence

Proposition 7 (Règle de d’Alembert). Soit une série entière. Si avec , alors le rayon de convergence de est égal à .

Exemple 8. La série entière a un rayon de convergence infini.

Proposition 9 (Formule d’Hadamard). Le rayon de convergence d’une série entière est donné par

Exemple 10. La série entière a un rayon de convergence égal à .

Corollaire 11 (Règle de Cauchy). Soit une série entière. Si avec , alors le rayon de convergence de est égal à .

Exemple 12. La série entière a un rayon de convergence égal à .

Étude sur le cercle d’incertitude

Exemple 13. Le comportement d’une série entière peut varier sur le cercle d’incertitude suivant ses coefficients :

  • dont le rayon de convergence est égal à diverge en tout point de .

  • dont le rayon de convergence est égal à converge en tout point de .

  • dont le rayon de convergence est égal à converge en mais diverge en tout autre point de .

Théorème 14 (Abel angulaire). Soit une série entière de rayon de convergence supérieur ou égal à tel que converge. On note la somme de cette série sur le disque unité de . On fixe et on pose .

Alors .

Application 15.

Application 16.

Contre-exemple 17. La réciproque est fausse :

Théorème 18 (Taubérien faible). Soit une série entière de rayon de convergence . On note la somme de cette série sur . On suppose que Si , alors converge et .

Remarque 19. Ce dernier résultat est une réciproque partielle du Théorème 14. Il reste vrai en supposant (c’est le théorème Taubérien fort).

Propriétés

Opérations sur les séries entières

Soient et deux séries entières dont on note et les rayons de convergence respectifs.

Proposition 20. En multipliant par un scalaire, on ne change pas le rayon de convergence de la série initiale.

Définition 21. On appelle série entière somme la série entière .

Proposition 22. On note le rayon de convergence de la série somme. Alors avec égalité si .

Exemple 23. Les séries entières et ont leur rayon de convergence égal à et la série somme un rayon de convergence infini.

Définition 24. On appelle produit de Cauchy la série entière

Proposition 25. On note le rayon de convergence du produit de Cauchy . Alors,

  1. .

  2. .

Propriétés de la somme

Dans toute cette sous-partie, désigne une série entière de rayon de convergence . On note sa somme sur .

Proposition 26. est continue sur .

Exemple 27. La série entière est continue sur .

Corollaire 28. , admet un développement limité à l’ordre au voisinage de l’origine, dont la partie régulière est donnée par .

Proposition 29. Soit , alors

Corollaire 30. Les primitives de sont de la forme avec .

Proposition 31. est de classe sur et

Remarque 32. En particulier, , .

Exemple 33.

Développement en série entière

Définition 34. Soient un ouvert et . On dit que est développable en série entière en s’il existe et tels que et

Exemple 35. Tout polynôme est développable en série entière en tout point de .

Proposition 36. Soient et deux fonctions développables en séries entières en . Alors :

  1. , est développable en série entière et son développement est

  2. est développable en série entière et son développement est le produit de Cauchy des deux séries entières.

Proposition 37. Soit une fonction développable en série entière en . Alors avec tel que :

  1. est développable en série entière en son développement est

  2. est donc .

  3. est continue et si est une primitive de sur , est développable en série entière en son développement est

Exemple 38. Voici quelques développements en série entière usuels :

  • , .

  • , et .

  • , , .

Contre-exemple 39. La fonction est mais n’est pas développable en série entière en .

Applications

Analyse complexe

Définition 40. Soient un ouvert et . On dit que est analytique sur si est développable en série entière en tout point de .

Théorème 41. Soient une série entière de rayon de convergence et . On note . Alors est holomorphe en et .

Théorème 42 (Zéros isolés). Soient un ouvert connexe et . Si est une fonction analytique si n’est pas identiquement nulle, alors l’ensemble des zéros de n’admet pas de point d’accumulation dans .

Corollaire 43. Soient un ouvert connexe et . Alors admet un nombre fini de zéros dans tout compact de .

Corollaire 44. Deux séries entières dont les sommes coïncident sur un voisinage de dans sont égales.

Théorème 45. Soit une fonction holomorphe sur un disque ouvert de rayon centré en un point . Alors est analytique sur ce disque. De plus, on a convergence normale sur tout compact du disque.

Dénombrement

Application 46 (Nombres de Bell). Pour tout , on note le nombre de partitions de . Par convention on pose . Alors,

Application 47. Soit . est un dérangement de si , . Alors,

Équations différentielles

Proposition 48. Pour résoudre une équation différentielle linéaire à l’aide des séries entières :

  1. On suppose que est solution de et on l’introduit dans .

  2. On se ramène à où les dépendent des .

  3. On trouve une relation liant les et on vérifie que la série a un rayon de convergence non-nul.

Exemple 49. Les solutions de sont les fonctions (où ).

Annexes

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Illustration du théorème d’Abel angulaire