244 Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

analysis

La fonction exponentielle

Dans le champ complexe

Définition 1. On définit la fonction exponentielle complexe pour tout par on note cette somme ou parfois .

Remarque 2. Cette somme est bien définie pour tout d’après le critère de d’Alembert.

Proposition 3.

  1. .

  2. est holomorphe sur , de dérivée elle-même.

  3. ne s’annule jamais.

  4. pour tout .

Proposition 4. La fonction est un morphisme surjectif de sur .

Proposition 5. En reprenant les notations précédentes, est un sous-groupe fermé de , de la forme . On note .

Application 6. Pour tout , il y a racines -ièmes de l’unité, données par parcourt les entiers de à .

Corollaire 7. Tout nombre complexe non nul écrit admet exactement racines -ièmes données par parcourt les entiers de à .

Dans le champ réel

Définition 8. On a plusieurs définitions (équivalentes) de la fonction exponentielle réelle.

  • Vision moderne : Soit . (restriction de la série entière de la Définition 1).

  • Vision pédagogique : est l’unique solution au problème de Cauchy

  • Vision historique : Soit . .

Théorème 9.

  1. est une bijection croissante de sur .

  2. et .

  3. .

Fonctions circulaires

Définition 10. On définit les fonctions et sur par

Proposition 11. Soit .

  1. .

  2. .

  3. Ces fonctions sont réelles, -périodiques et admettent un développement en série entière de rayon de convergence infini. Ceci permet de les prolonger de manière unique sur tout le plan complexe.

  4. et sont dérivables avec et .

  5. est paire, est impaire.

Proposition 12. L’application définit un isomorphisme de dans .

Polynômes trigonométriques

Définition 13.

  • On appelle polynôme trigonométrique de degré inférieur à toute fonction de la forme avec , .

  • On appelle série trigonométrique une série de fonctions de la variable réelle et de la forme , notée .

Exemple 14.

  • Pour tout , la fonction est appelée noyau de Dirichlet d’ordre .

  • Pour tout , la fonction est appelé noyau de Fejér d’ordre .

Théorème 15 (Fejér). Soit une fonction -périodique.

  1. Si est continue, alors et converge uniformément vers .

  2. Si pour , alors et converge vers pour .

Corollaire 16. L’espace des polynômes trigonométriques est dense dans l’espace des fonction continues -périodiques pour et est dense dans pour avec .

Théorème 17 (Dirichlet). Soient -périodique, continue par morceaux sur et tels que la fonction est bornée au voisinage de . Alors,

Contre-exemple 18. Soit paire, -périodique telle que : Alors est bien définie et continue sur . Cependant, sa série de Fourier diverge en .

Corollaire 19. Soient -périodique, par morceaux sur . Alors, En particulier, si est continue en , la série de Fourier de converge vers .

Exemple 20. On considère sur . Alors,

Théorème 21 (Formule sommatoire de Poisson). Soit une fonction de classe telle que et quand . Alors :

Application 22 (Identité de Jacobi).

Logarithmes

Logarithme dans le champ réel

Proposition 23. réalise une bijection strictement croissante de sur .

Définition 24. La bijection réciproque de est appelée logarithme népérien et est notée .

Théorème 25.

  1. , .

  2. , .

Remarque 26. La fonction permet de définir la mise à la puissance par un réel :

Logarithmes dans le champ complexe

Théorème 27. Soient et . Alors, il existe une fonction holomorphe sur . Elle vérifie :

  1. pour tout .

  2. avec .

  3. est dérivable dans avec pour tout .

Définition 28. La fonction précédente est appelée détermination d’ordre (ou détermination principale si ) du logarithme.

Théorème 29. On pose et on définit par . Alors :

  1. pour tout .

  2. pour tout .

La fonction d’Euler

Définition

Définition 30. On pose

Proposition 31.

  1. est sur et pour tout , on a

  2. .

  3. et en particulier, .

Lemme 32. La fonction définie pour tout par vérifie :

  1. , .

  2. .

  3. est log-convexe sur .

Théorème 33 (Bohr-Mollerup). Soit vérifiant le Point 1, Point 2 et Point 3 du Lemme 32. Alors .

Remarque 34. À la fin de la preuve, on obtient une formule due à Gauss : que l’on peut aisément étendre à entier.

Lemme 35. Soient et deux variables aléatoires indépendantes telles que et . Alors .

Application 36 (Formule de Stirling).

Prolongement complexe

On suppose ici que est un ouvert de .

Théorème 37 (Holomorphie sous le signe intégral). On suppose :

  1. , .

  2. pp. en , est holomorphe dans . On notera cette dérivée définie presque partout.

  3. compact, positive telle que

Alors est holomorphe dans avec

Exemple 38. La fonction est holomorphe dans l’ouvert .

Théorème 39. On peut prolonger en une fonction holomorphe non nulle sur .

Théorème 40 (Formule des compléments).

La fonction de Riemann

Définition

Définition 41. Pour tout , on pose

Proposition 42. définit une fonction de classe sur et,

Proposition 43. désigne la constante d’Euler.

Proposition 44.

Prolongement complexe

Proposition 45. On prolonge la définition de donnée à la Définition 41 en posant

Proposition 46. est holomorphe sur .

Théorème 47. Il existe une fonction , holomorphe dans telle que :

  1. Pour tout , avec holomorphe dans .

  2. Pour tout tel que , .

  3. En posant , on a .