244 Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

analysis

La fonction exponentielle

Dans le champ complexe

Définition 1. On définit la fonction exponentielle complexe pour tout $z \in C$ par $n = 0 \sum + \infty \frac{z ^{n}}{n !}$ on note cette somme $e^{z}$ ou parfois $exp (z)$ .

Remarque 2. Cette somme est bien définie pour tout $z \in C$ d’après le critère de d’Alembert.

Proposition 3.

$\forall z, z^{'} \in C, e^{z + z^{'}} = e^{z} e^{z^{'}}$ .
$exp$ est holomorphe sur $C$ , de dérivée elle-même.
$exp$ ne s’annule jamais.
$∣ exp (z) ∣ = exp (Re (z))$ pour tout $z \in C$ .

Proposition 4. La fonction $φ : t \mapsto e^{i t}$ est un morphisme surjectif de $R$ sur $U$ .

Proposition 5. En reprenant les notations précédentes, $Ker (φ)$ est un sous-groupe fermé de $R$ , de la forme $Ker (φ) = a Z$ . On note $a = 2 π$ .

[R-R]
p. 259

Application 6. Pour tout $n \in N^{*}$ , il y a $n$ racines $n$ -ièmes de l’unité, données par $e^{\frac{2 ikπ}{n}} = cos (\frac{2 ikπ}{n}) + i sin (\frac{2 ikπ}{n})$ où $k$ parcourt les entiers de $0$ à $n - 1$ .

Corollaire 7. Tout nombre complexe non nul $α$ écrit $α = r e^{i θ}$ admet exactement $n$ racines $n$ -ièmes données par $n r e^{i \frac{θ}{n}} e^{\frac{2 ikπ}{n}}$ où $k$ parcourt les entiers de $0$ à $n - 1$ .

Dans le champ réel

[D-L]
p. 528

Définition 8. On a plusieurs définitions (équivalentes) de la fonction exponentielle réelle.

Vision moderne : Soit $x \in R$ . $exp (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x ^{k}}{k !}$ (restriction de la série entière de la Définition 1).
Vision pédagogique : $exp$ est l’unique solution au problème de Cauchy ${y^{'} = y y (0) = 1$
Vision historique : Soit $x \in R$ . $exp (x) = lim_{n \to + \infty} (1 + \frac{x}{n})^{n}$ .

[QUE]
p. 6

Théorème 9.

$exp$ est une bijection croissante de $R$ sur $R_{*}^{+}$ .
$lim_{x \to - \infty} exp (x) = 0$ et $lim_{x \to + \infty} exp (x) = + \infty$ .
$x < 0 ⟺ exp (x) < 1$ .

Fonctions trigonométriques

Définition 10. On définit les fonctions $sin$ et $cos$ sur $R$ par $\forall t \in R, sin (t) = Im (exp (i t)) et sin (t) = Re (exp (i t))$

[DAN]
p. 352

Proposition 11. Soit $t \in R$ .

$sin (t) = \frac{e ^{i t} - e ^{- i t}}{2 i} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{t ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!}$ .
$cos (t) = \frac{e ^{i t} + e ^{- i t}}{2} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{t ^{2 n}}{( 2 n )!}$ .
Ces fonctions sont réelles, $2 π$ -périodiques et admettent un développement en série entière de rayon de convergence infini. Ceci permet de les prolonger de manière unique sur tout le plan complexe.
$sin$ et $cos$ sont dérivables avec $cos^{'} = - sin$ et $sin^{'} = cos$ .
$cos$ est paire, $sin$ est impaire.

[ROM21]
p. 36

Proposition 12. L’application $exp (i θ) \mapsto (cos (θ) - sin (θ) sin (θ) cos (θ))$ définit un isomorphisme de $U$ dans $SO_{2} (R)$ .

Polynômes trigonométriques

[GOU20]
p. 268

Définition 13.

On appelle polynôme trigonométrique de degré inférieur à $N \in N$ toute fonction de la forme $x \mapsto \sum_{n = - N}^{N} c_{n} e^{in x}$ avec $\forall n \in [[- N, N]]$ , $c_{n} \in C$ .
On appelle série trigonométrique une série de fonctions de la variable réelle $x$ et de la forme $c_{n} + \sum_{n \in N^{*}} (c_{n} e^{in x} + c_{- n} e^{- in x})$ , notée $\sum_{n \in Z} c_{n} e^{in x}$ .

[AMR08]
p. 184

Exemple 14.

Pour tout $N \in N$ , la fonction $D_{N} = \sum_{n = - N}^{N} e_{N}$ est appelée noyau de Dirichlet d’ordre $N$ .
Pour tout $N \in N$ , la fonction $K_{N} = \frac{1}{N} \sum_{j = 0}^{N - 1} D_{j}$ est appelé noyau de Fejér d’ordre $N$ .

p. 190

Théorème 15 (Fejér). Soit $f : R \to C$ une fonction $2 π$ -périodique.

Si $f$ est continue, alors $∥ σ_{N} (f) ∥_{\infty} \leq ∥ f ∥_{\infty}$ et $(σ_{N} (f))$ converge uniformément vers $f$ .
Si $f \in L_{p}^{2 π}$ pour $p \in [1, + \infty [$ , alors $∥ σ_{N} (f) ∥_{p} \leq ∥ f ∥_{p}$ et $(σ_{N} (f))$ converge vers $f$ pour $∥. ∥_{p}$ .

Corollaire 16. L’espace des polynômes trigonométriques ${\sum_{n = - N}^{N} c_{n} e_{n} ∣ (c_{n}) \in C^{N}, N \in N}$ est dense dans l’espace des fonction continues $2 π$ -périodiques pour $∥. ∥_{\infty}$ et est dense dans $L_{p}^{2 π}$ pour $∥. ∥_{p}$ avec $p \in [1, + \infty [$ .

[GOU20]
p. 271

Théorème 17 (Dirichlet). Soient $f : R \to C$ $2 π$ -périodique, continue par morceaux sur $R$ et $t_{0} \in R$ tels que la fonction $h \mapsto \frac{f ( t _{0} + h ) + f ( t _{0} - h ) - f ( t _{0}^{+} ) - f ( t _{0}^{-} )}{h}$ est bornée au voisinage de $0$ . Alors, $S_{N} (f) (t_{0}) ⟶_{N \to + \infty} \frac{f ( t _{0}^{+} ) + f ( t _{0}^{-} )}{2}$

Contre-exemple 18. Soit $f : R \to R$ paire, $2 π$ -périodique telle que : $\forall x \in [0, π], f (x) = p = 1 \sum + \infty \frac{1}{p ^{2}} sin ((2^{p^{3}} + 1) \frac{x}{2})$ Alors $f$ est bien définie et continue sur $R$ . Cependant, sa série de Fourier diverge en $0$ .

Corollaire 19. Soient $f : R \to C$ $2 π$ -périodique, $C^{1}$ par morceaux sur $R$ . Alors, $\forall x \in R, S_{N} (f) (x) ⟶_{N \to + \infty} \frac{f ( x ^{+} ) + f ( x ^{-} )}{2}$ En particulier, si $f$ est continue en $x$ , la série de Fourier de $f$ converge vers $f (x)$ .

Exemple 20. On considère $f : x \mapsto 1 - \frac{x ^{2}}{π ^{2}}$ sur $[- π, π]$ . Alors, $\forall x \in [- π, π], f (x) = \frac{2}{3} - \frac{4}{π ^{2}} n = 1 \sum + \infty (- 1)^{n} \frac{cos ( n x )}{n ^{2}}$

p. 284

Théorème 21 (Formule sommatoire de Poisson). Soit $f : R \to C$ une fonction de classe $C^{1}$ telle que $f (x) = O (\frac{1}{x ^{2}})$ et $f^{'} (x) = O (\frac{1}{x ^{2}})$ quand $∣ x ∣ ⟶ + \infty$ . Alors : $\forall x \in R, n \in Z \sum f (x + n) = n \in Z \sum f (2 πn) e^{2 iπn x}$

Application 22 (Identité de Jacobi). $\forall s > 0, n = - \infty \sum + \infty e^{- π n^{2} s} = \frac{1}{s} n = - \infty \sum + \infty e^{- \frac{π n ^{2}}{s}}$

Logarithmes

Logarithme dans le champ réel

[DAN]
p. 346

Proposition 23. $exp$ réalise une bijection strictement croissante de $R$ sur $R_{*}^{+}$ .

Définition 24. La bijection réciproque de $exp : R \to R_{*}^{+}$ est appelée logarithme népérien et est notée $ln$ .

Théorème 25.

$\forall x \in R_{*}^{+}$ , $ln (x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{x} d x$ .
$\forall x, y \in R_{*}^{+}$ , $ln (x y) = ln (x) + ln (y)$ .

Remarque 26. La fonction $ln$ permet de définir la mise à la puissance par un réel : $\forall t \in R_{*}^{+}, \forall α \in R, t^{α} = e^{α l n (t)}$

Logarithmes dans le champ complexe

[QUE]
p. 81

Théorème 27. Soient $α \in R$ et $Ω_{α} = C ∖ R^{*} e^{i α}$ . Alors, il existe une fonction $L_{α}$ holomorphe sur $Ω_{α}$ . Elle vérifie :

$e^{L_{α} (z)} = z$ pour tout $z \in Ω_{α}$ .
$L_{α} (z) = ln (∣ z ∣) + i θ_{α} (z)$ avec $θ_{α} \in] α, α + 2 π [$ .
$L_{α}$ est dérivable dans $Ω_{α}$ avec $L^{'} (z) = \frac{1}{z}$ pour tout $z \in Ω_{α}$ .

Définition 28. La fonction $L_{α}$ précédente est appelée détermination d’ordre $α$ (ou détermination principale si $α = - π$ ) du logarithme.

Théorème 29. On pose $D = D (0, 1)$ et on définit $ℓ : D \to C$ par $ℓ : z \mapsto \sum_{n = 1}^{+ \infty} (- 1)^{n + 1} \frac{z ^{n}}{n}$ . Alors :

$1 + z = exp (ℓ (z))$ pour tout $z \in D$ .
$ℓ (z) = L_{- π} (1 + z)$ pour tout $z \in D$ .

La fonction $Γ$ d’Euler

Définition

[GOU20]
p. 162

Définition 30. On pose $\forall x > 0, Γ (x) = \int_{0}^{+ \infty} e^{- t} t^{x - 1} d t$

Proposition 31.

$Γ$ est $C^{\infty}$ sur $] 0, + \infty [$ et pour tout $n \in N^{*}$ , on a $\forall x \in R_{*}^{+}, Γ^{(n)} (x) = \int_{0}^{+ \infty} (ln (t))^{n} e^{- t} t^{x - 1} d t$
$Γ (\frac{1}{2}) = π$ .
$\forall x > 0, Γ (x + 1) = x Γ (x)$ et en particulier, $\forall n \in N, Γ (n) = n!$ .

[ROM19-1]
p. 364

Lemme 32. La fonction $Γ$ définie pour tout $x > 0$ par $Γ (x) = \int_{0}^{+ \infty} t^{x - 1} e^{- t} d t$ vérifie :

$\forall x \in R_{*}^{+}$ , $Γ (x + 1) = x Γ (x)$ .
$Γ (1) = 1$ .
$Γ$ est log-convexe sur $R_{*}^{+}$ .

caracterisation-reelle-de-gamma

Théorème 33 (Bohr-Mollerup). Soit $f : R_{*}^{+} \to R^{+}$ vérifiant le Point 1, Point 2 et Point 3 du Lemme 32. Alors $f = Γ$ .

Remarque 34. À la fin de la preuve, on obtient une formule due à Gauss : $\forall x \in] 0, 1], Γ (x) = n \to + \infty lim \frac{n ^{x} n !}{( x + n ) \dots ( x + 1 ) x}$ que l’on peut aisément étendre à $R_{*}^{+}$ entier.

[G-K]
p. 180

Lemme 35. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes telles que $X \sim Γ (a, γ)$ et $Y \sim Γ (b, γ)$ . Alors $Z = X + Y \sim Γ (a + b, γ)$ .

p. 556

formule-de-stirling

Application 36 (Formule de Stirling). $n! \sim 2 nπ (\frac{n}{e})^{n}$

Prolongement complexe

[Z-Q]
p. 314

On suppose ici que $E$ est un ouvert $Ω$ de $C$ .

Théorème 37 (Holomorphie sous le signe intégral). On suppose :

$\forall z \in Ω$ , $x \mapsto f (z, x) \in L_{1} (X)$ .
pp. en $x \in X$ , $z \mapsto f (z, x)$ est holomorphe dans $Ω$ . On notera $\frac{\partial f}{\partial z}$ cette dérivée définie presque partout.
$\forall K \subseteq Ω$ compact, $\exists g_{K} \in L_{1} (X)$ positive telle que $∣ f (x, z) ∣ \leq g_{K} (x) \forall z \in K, pp. en x$

Alors $F$ est holomorphe dans $Ω$ avec $\forall z \in Ω, F^{'} (z) = \int_{X} \frac{\partial f}{\partial z} (z, t) d μ (z)$

p. 318

Exemple 38. La fonction $Γ$ est holomorphe dans l’ouvert ${z \in C ∣ Re (z) > 0}$ .

Théorème 39. On peut prolonger $Γ$ en une fonction holomorphe non nulle sur $C ∖ - N$ .

[QUE]
p. 255

Théorème 40 (Formule des compléments). $\forall C ∖ Z, Γ (z) Γ (1 - z) = \frac{π}{sin ( π z )}$

La fonction $ζ$ de Riemann

Définition

[GOU20]
p. 302

Définition 41. Pour tout $s > 1$ , on pose $ζ (s) = n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{s}}$

Proposition 42. $ζ$ définit une fonction de classe $C^{\infty}$ sur $] 1, + \infty [$ et, $\forall p \in N^{*}, \forall s \in] 1, + \infty [, ζ^{(p)} (s) = n = 1 \sum + \infty \frac{ln ( n ) ^{p}}{n ^{s}}$

Proposition 43. $s \to + \infty lim ζ (s) = 1 et ζ (s) \sim_{1^{+}} \frac{1}{s - 1} + γ + o (1)$ où $γ$ désigne la constante d’Euler.

[G-K]
p. 108

Proposition 44. $\forall s > 1, ζ (s) Γ (s) = \int_{0}^{+ \infty} t^{s - 1} \frac{e ^{- t}}{1 - e ^{- t}} d t$

Prolongement complexe

[Z-Q]
p. 20

Proposition 45. On prolonge la définition de $ζ$ donnée à la Définition 41 en posant $ζ : {s \in C ∣ Re (s) > 0} s \mapsto \mapsto C \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n ^{s}}$

Proposition 46. $ζ$ est holomorphe sur ${s \in C ∣ Re (s) > 1}$ .

p. 28

Théorème 47. Il existe une fonction $ζ$ , holomorphe dans $C ∖ {1}$ telle que :

Pour tout $s \in C ∖ {1}$ , $ζ (s) = \frac{1}{s - 1} + η (s)$ avec $η$ holomorphe dans $C$ .
Pour tout $s \in C$ tel que $Re (s) > 1$ , $ζ (s) = ζ (s)$ .
En posant $I (s) = π^{\frac{s}{2}} Γ (\frac{s}{2}) ζ (s)$ , on a $I (s) = I (1 - s)$ .