244 Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

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La fonction exponentielle

Dans le champ complexe

Définition 1

On définit la fonction exponentielle complexe pour tout $z \in C$ par $n = 0 \sum + \infty \frac{z ^{n}}{n !}$ on note cette somme $e^{z}$ ou parfois $exp (z)$ .

Remarque 2

Cette somme est bien définie pour tout $z \in C$ d’après le critère de d’Alembert.

Proposition 3

$\forall z, z^{'} \in C, e^{z + z^{'}} = e^{z} e^{z^{'}}$ .
$exp$ est holomorphe sur $C$ , de dérivée elle-même.
$exp$ ne s’annule jamais.
$∣ exp (z) ∣ = exp (Re (z))$ pour tout $z \in C$ .

Proposition 4

La fonction $φ : t \mapsto e^{i t}$ est un morphisme surjectif de $R$ sur $U$ .

Proposition 5

En reprenant les notations précédentes, $Ker (φ)$ est un sous-groupe fermé de $R$ , de la forme $Ker (φ) = a Z$ . On note $a = 2 π$ .

[R-R]
p. 259

Application 6

Pour tout $n \in N^{*}$ , il y a $n$ racines $n$ -ièmes de l’unité, données par $e^{\frac{2 ik π}{n}} = cos (\frac{2 ik π}{n}) + i sin (\frac{2 ik π}{n})$ où $k$ parcourt les entiers de $0$ à $n - 1$ .

Corollaire 7

Tout nombre complexe non nul $α$ écrit $α = r e^{i θ}$ admet exactement $n$ racines $n$ -ièmes données par $n r e^{i \frac{θ}{n}} e^{\frac{2 ik π}{n}}$ où $k$ parcourt les entiers de $0$ à $n - 1$ .

Dans le champ réel

[D-L]
p. 528

Définition 8

On a plusieurs définitions (équivalentes) de la fonction exponentielle réelle.

Vision moderne : Soit $x \in R$ . $exp (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x ^{n}}{n !}$ (restriction de la série entière de la exponentielle complexe).
Vision pédagogique : $exp$ est l’unique solution au problème de Cauchy ${y^{'} = y y (0) = 1$
Vision historique : Soit $x \in R$ . $exp (x) = lim_{n \to + \infty} (1 + \frac{x}{n})^{n}$ .

[QUE]
p. 6

Théorème 9

$exp$ est une bijection croissante de $R$ sur $R_{*}^{+}$ .
$lim_{x \to - \infty} exp (x) = 0$ et $lim_{x \to + \infty} exp (x) = + \infty$ .
$x < 0 ⟺ exp (x) < 1$ .

Fonctions trigonométriques

Définition 10

On définit les fonctions $sin$ et $cos$ sur $R$ par $\forall t \in R, sin (t) = Im (exp (i t)) et cos (t) = Re (exp (i t))$

[DAN]
p. 352

Proposition 11

Soit $t \in R$ .

$sin (t) = \frac{e ^{i t} - e ^{- i t}}{2 i} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (- 1)^{n} \frac{t ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!}$ .
$cos (t) = \frac{e ^{i t} + e ^{- i t}}{2} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (- 1)^{n} \frac{t ^{2 n}}{( 2 n )!}$ .
Ces fonctions sont réelles, $2 π$ -périodiques et admettent un développement en série entière de rayon de convergence infini. Ceci permet de les prolonger de manière unique sur tout le plan complexe.
$sin$ et $cos$ sont dérivables avec $cos^{'} = - sin$ et $sin^{'} = cos$ .
$cos$ est paire, $sin$ est impaire.

[ROM21]
p. 36

Proposition 12

L’application $exp (i θ) \mapsto (cos (θ) - sin (θ) sin (θ) cos (θ))$ définit un isomorphisme de $U$ dans $SO_{2} (R)$ .

Polynômes trigonométriques

[GOU20]
p. 268

Définition 13

On appelle polynôme trigonométrique de degré inférieur à $N \in N$ toute fonction de la forme $x \mapsto \sum_{n = - N}^{N} c_{n} e^{in x}$ avec $\forall n \in [[- N, N]]$ , $c_{n} \in C$ .
On appelle série trigonométrique une série de fonctions de la variable réelle $x$ et de la forme $c_{n} + \sum_{n \in N^{*}} (c_{n} e^{in x} + c_{- n} e^{- in x})$ , notée $\sum_{n \in Z} c_{n} e^{in x}$ .

[AMR08]
p. 184

Exemple 14

Pour tout $N \in N$ , la fonction $D_{N} = \sum_{n = - N}^{N} e_{n}$ est appelée noyau de Dirichlet d’ordre $N$ .
Pour tout $N \in N^{*}$ , la fonction $K_{N} = \frac{1}{N} \sum_{j = 0}^{N - 1} D_{j}$ est appelé noyau de Fejér d’ordre $N$ .

p. 190

Théorème 15

Théorème de FejérSoit $f : R \to C$ une fonction $2 π$ -périodique.

Si $f$ est continue, alors $∥ σ_{N} (f) ∥_{\infty} \leq ∥ f ∥_{\infty}$ et $(σ_{N} (f))$ converge uniformément vers $f$ .
Si $f \in L_{p}^{2 π}$ pour $p \in [1, + \infty [$ , alors $∥ σ_{N} (f) ∥_{p} \leq ∥ f ∥_{p}$ et $(σ_{N} (f))$ converge vers $f$ pour $∥. ∥_{p}$ .

Corollaire 16

L’espace des polynômes trigonométriques ${\sum_{n = - N}^{N} c_{n} e_{n} ∣ (c_{n}) \in C^{N}, N \in N}$ est dense dans l’espace des fonctions continues $2 π$ -périodiques pour $∥. ∥_{\infty}$ et est dense dans $L_{p}^{2 π}$ pour $∥. ∥_{p}$ avec $p \in [1, + \infty [$ .

[GOU20]
p. 271

Théorème 17

Théorème de DirichletSoient $f : R \to C$ $2 π$ -périodique, continue par morceaux sur $R$ et $t_{0} \in R$ tels que la fonction $h \mapsto \frac{f ( t _{0} + h ) + f ( t _{0} - h ) - f ( t _{0}^{+} ) - f ( t _{0}^{-} )}{h}$ est bornée au voisinage de $0$ . Alors, $S_{N} (f) (t_{0}) ⟶_{N \to + \infty} \frac{f ( t _{0}^{+} ) + f ( t _{0}^{-} )}{2}$

Contre-exemple 18

Soit $f : R \to R$ paire, $2 π$ -périodique telle que : $\forall x \in [0, π], f (x) = p = 1 \sum + \infty \frac{1}{p ^{2}} sin ((2^{p^{3}} + 1) \frac{x}{2})$ Alors $f$ est bien définie et continue sur $R$ . Cependant, sa série de Fourier diverge en $0$ .

Corollaire 19

Soient $f : R \to C$ $2 π$ -périodique, $C^{1}$ par morceaux sur $R$ . Alors, $\forall x \in R, S_{N} (f) (x) ⟶_{N \to + \infty} \frac{f ( x ^{+} ) + f ( x ^{-} )}{2}$ En particulier, si $f$ est continue en $x$ , la série de Fourier de $f$ converge vers $f (x)$ .

Exemple 20

On considère $f : x \mapsto 1 - \frac{x ^{2}}{π ^{2}}$ sur $[- π, π]$ . Alors, $\forall x \in [- π, π], f (x) = \frac{2}{3} - \frac{4}{π ^{2}} n = 1 \sum + \infty (- 1)^{n} \frac{cos ( n x )}{n ^{2}}$

p. 284

Théorème 21

Formule sommatoire de PoissonSoit $f : R \to C$ une fonction de classe $C^{1}$ telle que $f (x) = O (\frac{1}{x ^{2}})$ et $f^{'} (x) = O (\frac{1}{x ^{2}})$ quand $∣ x ∣ ⟶ + \infty$ . Alors : $\forall x \in R, n \in Z \sum f (x + n) = n \in Z \sum f (2 π n) e^{2 iπ n x}$

Application 22

Identité de Jacobi $\forall s > 0, n = - \infty \sum + \infty e^{- π n^{2} s} = \frac{1}{s} n = - \infty \sum + \infty e^{- \frac{π n ^{2}}{s}}$

Logarithmes

Logarithme dans le champ réel

[DAN]
p. 346

Proposition 23

$exp$ réalise une bijection strictement croissante de $R$ sur $R_{*}^{+}$ .

Définition 24

La bijection réciproque de $exp : R \to R_{*}^{+}$ est appelée logarithme népérien et est notée $ln$ .

Théorème 25

$\forall x \in R_{*}^{+}$ , $ln (x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{x} d x$ .
$\forall x, y \in R_{*}^{+}$ , $ln (x y) = ln (x) + ln (y)$ .

Remarque 26

La fonction $ln$ permet de définir la mise à la puissance par un réel : $\forall t \in R_{*}^{+}, \forall α \in R, t^{α} = e^{α l n (t)}$

Logarithmes dans le champ complexe

[QUE]
p. 81

Théorème 27

Soient $α \in R$ et $Ω_{α} = C ∖ R^{*} e^{i α}$ . Alors, il existe une fonction $L_{α}$ holomorphe sur $Ω_{α}$ . Elle vérifie :

$e^{L_{α} (z)} = z$ pour tout $z \in Ω_{α}$ .
$L_{α} (z) = ln (∣ z ∣) + i θ_{α} (z)$ avec $θ_{α} \in] α, α + 2 π [$ .
$L_{α}$ est dérivable dans $Ω_{α}$ avec $L^{'} (z) = \frac{1}{z}$ pour tout $z \in Ω_{α}$ .

Définition 28

La fonction $L_{α}$ précédente est appelée détermination d’ordre $α$ (ou détermination principale si $α = - π$ ) du logarithme.

Théorème 29

On pose $D = D (0, 1)$ et on définit $ℓ : D \to C$ par $ℓ : z \mapsto \sum_{n = 1}^{+ \infty} (- 1)^{n + 1} \frac{z ^{n}}{n}$ . Alors :

$1 + z = exp (ℓ (z))$ pour tout $z \in D$ .
$ℓ (z) = L_{- π} (1 + z)$ pour tout $z \in D$ .

La fonction $Γ$ d’Euler

Définition

[GOU20]
p. 162

Définition 30

On pose $\forall x > 0, Γ (x) = \int_{0}^{+ \infty} e^{- t} t^{x - 1} d t$

Proposition 31

$Γ$ est $C^{\infty}$ sur $] 0, + \infty [$ et pour tout $n \in N^{*}$ , on a $\forall x \in R_{*}^{+}, Γ^{(n)} (x) = \int_{0}^{+ \infty} (ln (t))^{n} e^{- t} t^{x - 1} d t$
$Γ (\frac{1}{2}) = π$ .
$\forall x > 0, Γ (x + 1) = x Γ (x)$ et en particulier, $\forall n \in N, Γ (n) = n!$ .

[ROM19-1]
p. 364

Lemme 32

La fonction $Γ$ définie pour tout $x > 0$ par $Γ (x) = \int_{0}^{+ \infty} t^{x - 1} e^{- t} d t$ vérifie :

$\forall x \in R_{*}^{+}$ , $Γ (x + 1) = x Γ (x)$ .
$Γ (1) = 1$ .
$Γ$ est log-convexe sur $R_{*}^{+}$ .

caracterisation-reelle-de-gamma

Théorème 33

Théorème de Bohr-MollerupSoit $f : R_{*}^{+} \to R^{+}$ vérifiant le Point 1, Point 2 et Point 3 du 32. Alors $f = Γ$ .

Remarque 34

À la fin de la preuve, on obtient une formule due à Gauss : $\forall x \in] 0, 1], Γ (x) = n \to + \infty lim \frac{n ^{x} n !}{( x + n ) \dots ( x + 1 ) x}$ que l’on peut aisément étendre à $R_{*}^{+}$ entier.

[G-K]
p. 180

Lemme 35

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes telles que $X \sim Γ (a, γ)$ et $Y \sim Γ (b, γ)$ . Alors $Z = X + Y \sim Γ (a + b, γ)$ .

p. 556

formule-de-stirling

Application 36

Formule de Stirling $n! \sim 2 nπ (\frac{n}{e})^{n}$

Prolongement complexe

[Z-Q]
p. 314

On suppose ici que $E$ est un ouvert $Ω$ de $C$ .

Théorème 37

Holomorphie sous le signe intégralOn suppose :

$\forall z \in Ω$ , $x \mapsto f (z, x) \in L_{1} (X)$ .
pp. en $x \in X$ , $z \mapsto f (z, x)$ est holomorphe dans $Ω$ . On notera $\frac{\partial f}{\partial z}$ cette dérivée définie presque partout.
$\forall K \subseteq Ω$ compact, $\exists g_{K} \in L_{1} (X)$ positive telle que $∣ f (z, x) ∣ \leq g_{K} (x) \forall z \in K, pp. en x$

Alors $F$ est holomorphe dans $Ω$ avec $\forall z \in Ω, F^{'} (z) = \int_{X} \frac{\partial f}{\partial z} (z, x) d μ (x)$

p. 318

Exemple 38

La fonction $Γ$ est holomorphe dans l’ouvert ${z \in C ∣ Re (z) > 0}$ .

Théorème 39

On peut prolonger $Γ$ en une fonction holomorphe non nulle sur $C ∖ - N$ .

[QUE]
p. 255

Théorème 40

Formule des compléments $\forall z \in C ∖ Z, Γ (z) Γ (1 - z) = \frac{π}{sin ( π z )}$

La fonction $ζ$ de Riemann

Définition

[GOU20]
p. 302

Définition 41

Pour tout $s > 1$ , on pose $ζ (s) = n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{s}}$

Proposition 42

$ζ$ définit une fonction de classe $C^{\infty}$ sur $] 1, + \infty [$ et, $\forall p \in N^{*}, \forall s \in] 1, + \infty [, ζ^{(p)} (s) = (- 1)^{p} n = 1 \sum + \infty \frac{ln ( n ) ^{p}}{n ^{s}}$

Proposition 43

$s \to + \infty lim ζ (s) = 1 et, quand s ⟶ 1^{+}, ζ (s) = \frac{1}{s - 1} + γ + o (1)$ où $γ$ désigne la constante d’Euler.

[G-K]
p. 108

Proposition 44

$\forall s > 1, ζ (s) Γ (s) = \int_{0}^{+ \infty} t^{s - 1} \frac{e ^{- t}}{1 - e ^{- t}} d t$

Prolongement complexe

[Z-Q]
p. 20

Proposition 45

On prolonge la définition de $ζ$ donnée à la 41 en posant $ζ : {s \in C ∣ Re (s) > 0} s \to \mapsto C \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n ^{s}}$

Proposition 46

$ζ$ est holomorphe sur ${s \in C ∣ Re (s) > 1}$ .

p. 28

Théorème 47

Il existe une fonction $ζ$ , holomorphe dans $C ∖ {1}$ telle que :

Pour tout $s \in C ∖ {1}$ , $ζ (s) = \frac{1}{s - 1} + η (s)$ avec $η$ holomorphe dans $C$ .
Pour tout $s \in C$ tel que $Re (s) > 1$ , $ζ (s) = ζ (s)$ .
En posant $I (s) = π^{- \frac{s}{2}} Γ (\frac{s}{2}) ζ (s)$ , on a $I (s) = I (1 - s)$ par prolongement méromorphe.