245 Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de . Exemples et applcations.

Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de . Exemples et applcations.

analysis

Soit un ouvert. Soit .

Dérivabilité au sens complexe

Définition 1. On dit que est holomorphe en s’il existe un complexe tel que On dit que est holomorphe sur si elle l’est en tout point de et on note la fonction ainsi que l’ensemble des fonctions holomorphes sur .

Exemple 2.

  • est holomorphe sur , de dérivée .

  • n’est holomorphe en aucun point de .

Proposition 3.

  1. est une algèbre sur avec pour tout et :

    • .

    • .

    • .

    • quand ne s’annule pas sur .

  2. Pour tout ,

  3. Soit holomorphe bijective d’inverse . On suppose continue en et . Alors est holomorphe en et

Théorème 4 (Conditions de Cauchy-Riemann). On pose et . On suppose -différentiable en . Alors, les propositions suivantes sont équivalentes :

  1. est holomorphe en .

  2. est -linéaire.

  3. .

  4. et .

Exemple 5. et ne sont holomorphes en aucun point de .

Théorème 6 (Weierstrass). Une suite de fonctions holomorphes qui converge uniformément sur tout compact de a une limite holomorphe sur . De plus, la suite des dérivées -ième converge uniformément sur tout compact vers la dérivée -ième de la limite pour tout .

Séries entières et analycité

Généralités sur les séries entières

Définition 7. On appelle série entière toute série de fonctions de la forme est une variable complexe et où est une suite complexe.

Lemme 8 (Abel). Soient une série entière et tels que soit bornée. Alors :

  1. tel que , converge absolument.

  2. converge normalement dans .

Définition 9. En reprenant les notations précédentes, le nombre est le rayon de convergence de .

Exemple 10.

  • a un rayon de convergence égal à .

  • a un rayon de convergence infini. On note la fonction somme.

Proposition 11. Soit une série entière de rayon de convergence . Alors et, pour tout .

Plus précisément, pour tout , est fois dérivable avec

Analycité

Définition 12. On dit que est analytique sur si, pour tout , il existe et une série entière de rayon de convergence , tels que ie. est développable en série entière en tout point de . On note l’ensemble des fonctions analytiques sur .

Proposition 13. Soit une série entière de rayon de convergence . Alors et, si : (où désigne la -ième dérivée complexe de , voir la section suivante).

Proposition 14. .

Proposition 15. Si est une fraction rationnelle, alors est développable en série entière au voisinage de chaque point qui n’est pas un pôle de (cf. Définition 40).

Théorème 16 (Zéros isolés). On suppose connexe et . Si n’est pas identiquement nulle sur , alors l’ensemble des zéros de n’admet pas de point d’accumulation dans .

Corollaire 17. est une algèbre intègre.

Remarque 18 (Prolongement analytique). Reformulé de manière équivalente au Théorème 16, si deux fonctions analytiques coïncident sur un sous-ensemble de qui possède un point d’accumulation dans , alors elles sont égales sur .

Exemple 19. Il existe une unique fonction holomorphe sur telle que et c’est la fonction identité.

Contre-exemple 20. Il existe au moins deux fonctions holomorphes sur telles que

Holomorphie et intégration

Intégration sur une courbe

Définition 21.

  • Un chemin est une application (où est un segment de ) continue.

  • Si , on dit que est fermé.

  • Si est un chemin par morceaux, on dit que est une courbe.

  • On appelle l’image de .

Exemple 22. Soient et . Alors, est une courbe fermée (c’est la paramétrisation du cercle de centre et de rayon ).

Définition 23. Soit une courbe. L’intégrale curviligne le long de est

Proposition 24. Soit une courbe de longueur , alors,

Proposition 25. Soit une courbe. On suppose , holomorphe sur telle que est continue sur . Alors,

Théorie de Cauchy et lien avec l’analycité

Définition 26. Soit une courbe telle que . L’indice de par rapport à , noté , est défini par

Remarque 27. En reprenant les notations précédentes, compte le nombre de tours orientés que fait autour de . En particulier :

  1. On a toujours .

  2. On note l’image de . est nulle sur la composante connexe non bornée de .

Théorème 28 (Cauchy homologique). Soit un cycle homologue à zéro dans (ie. tel que ). On suppose . Alors,

Corollaire 29 (Formule intégrale de Cauchy). Soit un cycle homologue à zéro dans . On suppose . Alors,

Corollaire 30. On a . De plus, si et que l’on pose , on a

Conséquences

Proposition 31 (Inégalités de Cauchy). On suppose holomorphe au voisinage du disque . On note les coefficients du développement en série entière de en . Alors, .

Corollaire 32 (Théorème de Liouville). On suppose holomorphe sur tout entier. Si est bornée, alors est constante.

Théorème 33 (Principe du maximum). On suppose borné et holomorphe dans et continue dans . On note le de sur la frontière (compacte) de . Alors,

Holomorphie d’une intégrale à paramètre

Théorème 34 (Holomorphie sous le signe intégral). On suppose :

  1. , .

  2. pp. en , est holomorphe dans . On notera cette dérivée définie presque partout.

  3. compact, positive telle que

Alors est holomorphe dans avec

Application 35. Soit ainsi que sa transformée de Fourier . Alors .

Application 36. définit une fonction holomorphe sur qui coïncide avec la transformée de Fourier de sur . On trouve en particulier,

Notation 37. Soient un intervalle de et une fonction poids. On note :

  • , .

  • l’espace des fonctions de carré intégrable pour la mesure de densité par rapport à la mesure de Lebesgue.

Lemme 38. On suppose que , et on considère la famille des polynômes orthogonaux associée à sur . Alors , . En particulier, l’algorithme de Gram-Schmidt a bien du sens et est bien définie.

Application 39. Soient un intervalle de et une fonction poids. On considère la famille des polynômes orthogonaux associée à sur .

On suppose qu’il existe tel que alors est une base hilbertienne de pour la norme .

Méromorphie

Singularités

Définition 40. Soit . On suppose .

  • On dit que est une singularité effaçable pour s’il existe tel que pour tout .

  • On dit que est un pôle d’ordre s’il existe des scalaires avec tels que ait une singularité effaçable en .

  • est la partie principale de en et est le résidu de en noté .

Exemple 41.

  • a une singularité effaçable en .

  • a un pôle d’ordre (simple) en avec partie principale égale à et .

Définition 42. On dit que est méromorphe sur s’il existe tel que :

  • n’a que des points isolés dans (en particulier, est au plus dénombrable et est ouvert).

  • .

  • a un pôle en chaque point de .

Exemple 43. est méromorphe dans et en reprenant les notations précédentes, .

Exemple 44. La fonction définie par se prolonge en une fonction méromorphe sur .

Proposition 45. On suppose et sont holomorphes en un voisinage de avec un zéro simple de et . Alors, est un pôle simple de de résidu

Exemple 46. Le résidu de en est égal à .

Théorème des résidus

Théorème 47 (des résidus). On suppose méromorphe sur et on note l’ensemble de ses pôles. Soit une courbe homologue à zéro dans et ne rencontrant pas . Alors,

Exemple 48.

Exemple 49 (Intégrale de Dirichlet).

Exemple 50 (Transformée de Fourier d’une gaussienne). On définit , Alors,

Application 51 (Théorème de Kronecker). On suppose holomorphe sur et non identiquement nulle dans . Soit une courbe homologue à zéro dans et qui ne rencontre pas l’ensemble des zéros de . Alors, le nombre des zéros de à l’intérieur de comptés avec multiplicités vérifie

Application 52 (Théorème de Rouché). Soient un cycle homologue à zéro dans et . On suppose Alors,

Exemple 53. a trois zéros dans .