245 Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de $C$ . Exemples et applications.

Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de $C$ . Exemples et applications.

analysis

Soit $Ω \subseteq C$ un ouvert. Soit $f : Ω \to C$ .

Dérivabilité au sens complexe

Définition 1. On dit que $f$ est holomorphe en $a \in Ω$ s’il existe un complexe $f^{'} (a)$ tel que $f^{'} (a) = h \to 0 h \neq = 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ On dit que $f$ est holomorphe sur $Ω$ si elle l’est en tout point de $Ω$ et on note $f^{'}$ la fonction $f^{'} : z \mapsto f^{'} (z)$ ainsi que $H (Ω)$ l’ensemble des fonctions holomorphes sur $Ω$ .

Exemple 2.

$z \mapsto z^{2}$ est holomorphe sur $C$ , de dérivée $z \mapsto 2 z$ .
$z \mapsto \overline{z}$ n’est holomorphe en aucun point de $C$ .

Proposition 3.

$H (Ω)$ est une algèbre sur $C$ avec pour tout $g, h \in H (Ω)$ et $λ \in C$ :
- $(g + h)^{'} = g^{'} + h^{'}$ .
- $(λ g)^{'} = λ g^{'}$ .
- $(g h)^{'} = g^{'} h + g h^{'}$ .
- $(\frac{g}{h})^{'} = \frac{g ^{'} h - g h ^{'}}{g ^{2}}$ quand $g$ ne s’annule pas sur $Ω$ .
Pour tout $g \in H (Ω)$ , $h \in H (Ω_{1})$ où $g (Ω) \subseteq Ω_{1}$ $h \circ g \in H (Ω) et (h \circ g)^{'} = (h^{'} \circ g) g^{'}$
Soit $g \in H (Ω)$ holomorphe bijective d’inverse $h$ . On suppose $h$ continue en $b = g (a)$ et $g^{'} (a) \neq = 0$ . Alors $h$ est holomorphe en $b$ et $h^{'} (b) = \frac{1}{g ^{'} ( a )}$

[BMP]
p. 57

Théorème 4 (Conditions de Cauchy-Riemann). On pose $u = Re (f)$ et $v = Im (f)$ . On suppose $f$ $R$ -différentiable en $a \in Ω$ . Alors, les propositions suivantes sont équivalentes :

$f$ est holomorphe en $a$ .
$d f_{a}$ est $C$ -linéaire.
$\frac{\partial f}{\partial y} (a) = i \frac{\partial f}{\partial x} (a)$ .
$\frac{\partial u}{\partial x} (a) = \frac{\partial v}{\partial y} (a)$ et $\frac{\partial u}{\partial y} (a) = - \frac{\partial v}{\partial x} (a)$ .

[QUE]
p. 115

Exemple 5. $z \mapsto Re (z)$ et $z \mapsto Im (z)$ ne sont holomorphes en aucun point de $C$ .

[BMP]
p. 69

Théorème 6 (Weierstrass). Une suite de fonctions holomorphes qui converge uniformément sur tout compact de $Ω$ a une limite holomorphe sur $Ω$ . De plus, la suite des dérivées $k$ -ième converge uniformément sur tout compact vers la dérivée $k$ -ième de la limite pour tout $k \in N$ .

Séries entières et analycité

Généralités sur les séries entières

[GOU20]
p. 247

Définition 7. On appelle série entière toute série de fonctions de la forme $\sum a_{n} z^{n}$ où $z$ est une variable complexe et où $(a_{n})$ est une suite complexe.

Lemme 8 (Abel). Soient $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière et $z_{0} \in C$ tels que $(a_{n} z_{0}^{n})$ soit bornée. Alors :

$\forall z \in C$ tel que $∣ z ∣ < ∣ z_{0} ∣$ , $\sum a_{n} z^{n}$ converge absolument.
$\forall r \in] 0, z_{0} [, \sum a_{n} z^{n}$ converge normalement dans $\overline{D} (0, r) = {z \in C ∣ ∣ z ∣ \leq r}$ .

Définition 9. En reprenant les notations précédentes, le nombre $R = sup {r \geq 0 ∣ (∣ a_{n} ∣ r^{n}) est born \overset{e}{ˊ} e}$ est le rayon de convergence de $\sum a_{n} z^{n}$ .

p. 255

Exemple 10.

$\sum n^{2} z^{n}$ a un rayon de convergence égal à $1$ .
$\sum \frac{z ^{n}}{n !}$ a un rayon de convergence infini. On note $z \mapsto e^{z}$ la fonction somme.

[QUE]
p. 57

Proposition 11. Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $r \neq = 0$ . Alors $S \in H (D (0, r))$ et, $S^{'} (z) = n = 0 \sum + \infty n a_{n} z^{n - 1}$ pour tout $z \in D (0, r)$ .

Plus précisément, pour tout $k \in N$ , $S$ est $k$ fois dérivable avec $S^{(k)} (z) = n = k \sum + \infty n (n - 1) \dots (n - k + 1) a_{n} z^{n - k}$

Analycité

p. 57

Définition 12. On dit que $f$ est analytique sur $Ω$ si, pour tout $a \in Ω$ , il existe $r > 0$ et une série entière $\sum a_{n} z^{n}$ de rayon de convergence $\geq r$ , tels que $D (a, r) \subseteq Ω et \forall z \in D (a, r), f (z) = n = 0 \sum + \infty a_{n} z^{n}$ ie. $f$ est développable en série entière en tout point de $Ω$ . On note $A (Ω)$ l’ensemble des fonctions analytiques sur $Ω$ .

Proposition 13. Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $r \neq = 0$ . Alors $S \in A (D (0, r))$ et, si $∣ z - a ∣ \leq r - ∣ a ∣$ : $f (z) = k = 0 \sum + \infty \frac{S ^{(k)} ( a )}{k !} (z - a)^{k}$ (où $S^{(k)}$ désigne la $k$ -ième dérivée complexe de $S$ ).

p. 85

Proposition 14. $A (Ω) \subseteq H (Ω)$ .

p. 78

Proposition 15. Si $f = P / Q$ est une fraction rationnelle, alors $f$ est développable en série entière au voisinage de chaque point qui n’est pas un pôle de $f$ (cf. Définition 40).

[BMP]
p. 53

Théorème 16 (Zéros isolés). On suppose $Ω$ connexe et $f \in A (Ω)$ . Si $f$ n’est pas identiquement nulle sur $Ω$ , alors l’ensemble des zéros de $f$ n’admet pas de point d’accumulation dans $Ω$ .

p. 73

Corollaire 17. $A (Ω)$ est une algèbre intègre.

p. 53

Remarque 18 (Prolongement analytique). Reformulé de manière équivalente au Théorème 16, si deux fonctions analytiques coïncident sur un sous-ensemble de $Ω$ qui possède un point d’accumulation dans $Ω$ , alors elles sont égales sur $Ω$ .

p. 77

Exemple 19. Il existe une unique fonction $g$ holomorphe sur $C$ telle que $\forall n \in N^{*}, g (\frac{1}{n}) = \frac{1}{n}$ et c’est la fonction identité.

Contre-exemple 20. Il existe au moins deux fonctions $g$ holomorphes sur $Ω = {z \in C ∣ Re (z) > 0}$ telles que $\forall n \in N^{*}, g (\frac{1}{n}) = 0$

Holomorphie et intégration

Intégration sur une courbe

[QUE]
p. 85

Définition 21.

Un chemin est une application $γ : [a, b] \to C$ (où $[a, b]$ est un segment de $R$ ) continue.
Si $γ (a) = γ (b)$ , on dit que $γ$ est fermé.
Si $γ$ est un chemin $C^{1}$ par morceaux, on dit que $γ$ est une courbe.
On appelle $γ^{*} = γ ([a, b])$ l’image de $γ$ .

Exemple 22. Soient $ω \in C$ et $r \in R_{*}^{+}$ . Alors, $γ : [0, 2 π] t \to \mapsto C ω + r e^{i t}$ est une courbe fermée (c’est la paramétrisation du cercle de centre $ω$ et de rayon $r$ ).

Définition 23. Soit $γ : [a, b] \to Ω$ une courbe. L’intégrale curviligne le long de $γ$ est $\int_{γ} f (z) d z = \int_{b}^{a} f (γ (t)) γ^{'} (t) d t$

Proposition 24. Soit $γ : [a, b] \to Ω$ une courbe de longueur $L (γ) = \int_{a}^{b} ∣ γ^{'} (t) ∣ d t$ , alors, $\int_{γ} f (z) d z \leq z \in γ^{*} sup ∣ f (z) ∣ \times L (γ)$

Proposition 25. Soit $γ : [a, b] \to Ω$ une courbe. On suppose $γ^{*} \subseteq Ω$ , $f$ holomorphe sur $Ω$ telle que $f^{'}$ est continue sur $γ^{*}$ . Alors, $\int_{γ} f^{'} (z) d z = f (γ (b)) - f (γ (a))$

Théorie de Cauchy et lien avec l’analycité

Définition 26. Soit $γ : [a, b] \to Ω$ une courbe telle que $ω \in / γ^{*}$ . L’indice de $ω$ par rapport à $γ$ , noté $I (ω, γ)$ , est défini par $I (ω, γ) = \frac{1}{2 iπ} \int_{γ} \frac{1}{z - a} d z = \frac{1}{2 iπ} \int_{b}^{a} \frac{1}{γ ( t ) - a} γ^{'} (t) d t$

Remarque 27. En reprenant les notations précédentes, $I (ω, γ)$ compte le nombre de tours orientés que $γ$ fait autour de $ω$ . En particulier :

On a toujours $I (ω, γ) \in Z$ .
On note $γ^{*} = γ ([a, b])$ l’image de $γ$ . $I (ω, γ)$ est nulle sur la composante connexe non bornée de $C ∖ γ^{*}$ .

p. 134

Théorème 28 (Cauchy homologique). Soit $Γ$ un cycle homologue à zéro dans $Ω$ (ie. tel que $z \in / Ω ⟹ I (a, Γ) = 0$ ). On suppose $f \in H (Ω)$ . Alors, $\int_{Γ} f (z) d z = 0$

Corollaire 29 (Formule intégrale de Cauchy). Soit $Γ$ un cycle homologue à zéro dans $Ω$ . On suppose $f \in H (Ω)$ . Alors, $z_{0} \in Ω ∖ Γ^{*} ⟹ \frac{1}{2 iπ} \int_{Γ} \frac{f ( z )}{z - z _{0}} d z = I (z_{0}, γ) f (z_{0})$

p. 85

[BMP]
p. 64

Corollaire 30. On a $H (Ω) \subseteq A (Ω)$ . De plus, si $a \in Ω$ et que l’on pose $d = d (a, C ∖ Ω)$ , on a $f (a + h) = n = 0 \sum + \infty a_{n} h^{n} pour ∣ h ∣ < d avec a_{n} = \frac{f ^{(n)} ( a )}{n !} = \frac{1}{2 iπ} \int_{C^{+} (a, d)} \frac{f ( z )}{( z - a ) ^{n + 1}} d z$

Conséquences

[QUE]
p. 102

Proposition 31 (Inégalités de Cauchy). On suppose $f$ holomorphe au voisinage du disque $\overline{D} (a, R)$ . On note $c_{n}$ les coefficients du développement en série entière de $f$ en $a$ . Alors, $\forall n \in N, \forall r \in [0, R], ∣ c_{n} ∣ \leq \frac{M ( r )}{r ^{n}}$ où $M (r) = sup_{∣ z - a ∣ = r} ∣ f (z) ∣$ .

Corollaire 32 (Théorème de Liouville). On suppose $f$ holomorphe sur $C$ tout entier. Si $f$ est bornée, alors $f$ est constante.

p. 107

Théorème 33 (Principe du maximum). On suppose $Ω$ borné et $f$ holomorphe dans $Ω$ et continue dans $\overline{Ω}$ . On note $M$ le $sup$ de $f$ sur la frontière (compacte) de $Ω$ . Alors, $\forall z \in Ω, ∣ f (z) ∣ \leq M$

Holomorphie d’une intégrale à paramètre

p. 101

Théorème 34 (Holomorphie sous le signe intégral). On suppose :

$\forall z \in Ω$ , $x \mapsto f (z, x) \in L_{1} (X)$ .
pp. en $x \in X$ , $z \mapsto f (z, x)$ est holomorphe dans $Ω$ . On notera $\frac{\partial f}{\partial z}$ cette dérivée définie presque partout.
$\forall K \subseteq Ω$ compact, $\exists g_{K} \in L_{1} (X)$ positive telle que $∣ f (x, z) ∣ \leq g_{K} (x) \forall z \in K, pp. en x$

Alors $F$ est holomorphe dans $Ω$ avec $\forall z \in Ω, F^{'} (z) = \int_{X} \frac{\partial f}{\partial z} (z, t) d μ (z)$

p. 115

Application 35. Soit $f \in L_{1} (R)$ ainsi que sa transformée de Fourier $f : x \mapsto \int_{R} f (t) e^{- i x t} d t$ . Alors $f = 0$ .

[BMP]
p. 83

Application 36. $F : z \mapsto \int_{R} e^{z x} e^{- x^{2}} d x$ définit une fonction holomorphe sur $C$ qui coïncide avec la transformée de Fourier de $f : x \mapsto e^{- x^{2}}$ sur $R$ . On trouve en particulier, $\forall t \in R, f (t) = F (i t) = π e^{- \frac{t ^{2}}{4}}$

p. 110

Notation 37. Soient $I$ un intervalle de $R$ et $ρ : I \to R$ une fonction poids. On note :

$\forall n \in N$ , $g_{n} : x \mapsto x^{n}$ .
$L_{2} (I, ρ)$ l’espace des fonctions de carré intégrable pour la mesure de densité $ρ$ par rapport à la mesure de Lebesgue.

p. 140

Lemme 38. On suppose que $\forall n \in N$ , $g_{n} \in L_{1} (I, ρ)$ et on considère $(P_{n})$ la famille des polynômes orthogonaux associée à $ρ$ sur $I$ . Alors $\forall n \in N$ , $g_{n} \in L_{2} (I, ρ)$ . En particulier, l’algorithme de Gram-Schmidt a bien du sens et $(P_{n})$ est bien définie.

densite-des-polynomes-orthogonaux

Application 39. Soient $I$ un intervalle de $R$ et $ρ$ une fonction poids. On considère $(P_{n})$ la famille des polynômes orthogonaux associée à $ρ$ sur $I$ .

On suppose qu’il existe $a > 0$ tel que $\int_{I} e^{a ∣ x ∣} ρ (x) d x < + \infty$ alors $(P_{n})$ est une base hilbertienne de $L_{2} (I, ρ)$ pour la norme $∥. ∥_{2}$ .

Méromorphie

Singularités

[QUE]
p. 165

Définition 40. Soit $a \in Ω$ . On suppose $f \in H (Ω ∖ {a})$ .

On dit que $a$ est une singularité effaçable pour $f$ s’il existe $g \in H (Ω)$ tel que $f (z) = g (z)$ pour tout $z \in Ω ∖ {a}$ .
On dit que $a$ est un pôle d’ordre $m$ s’il existe des scalaires $c_{- 1}, \dots, c_{- m}$ avec $c_{- m} \neq = 0$ tels que $z \mapsto f (z) - \sum_{k = 1}^{m} \frac{c _{- k}}{( z - a ) ^{k}}$ ait une singularité effaçable en $a$ .
$\sum_{k = 1}^{m} \frac{c _{- k}}{( z - a ) ^{k}}$ est la partie principale de $f$ en $a$ et $c_{- 1}$ est le résidu de $f$ en $a$ noté $Res (f, a)$ .

Exemple 41.

$z \mapsto \frac{s i n ( z )}{z}$ a une singularité effaçable en $0$ .
$z \mapsto \frac{e ^{z}}{z}$ a un pôle d’ordre $1$ (simple) en $0$ avec partie principale égale à $\frac{1}{z}$ et $Res (f, 0) = 1$ .

Définition 42. On dit que $f$ est méromorphe sur $Ω$ s’il existe $A \subseteq Ω$ tel que :

$A$ n’a que des points isolés dans $Ω$ (en particulier, $A$ est au plus dénombrable et $Ω ∖ A$ est ouvert).
$f \in H (Ω ∖ A)$ .
$f$ a un pôle en chaque point de $a$ .

Exemple 43. $z \mapsto \frac{1}{s i n ( z )}$ est méromorphe dans $C$ et en reprenant les notations précédentes, $A = {kπ ∣ k \in Z}$ .

[BMP]
p. 82

Exemple 44. La fonction $Γ$ définie par $Γ : {z \in C ∣ Re (z) > 0} z \to \mapsto C \int_{0}^{+ \infty} e^{- t} t^{z - 1} d t$ se prolonge en une fonction méromorphe sur $C ∖ N$ .

[QUE]
p. 168

Proposition 45. On suppose $f = \frac{g}{h}$ où $g$ et $h$ sont holomorphes en un voisinage de $a \in Ω$ avec $a$ un zéro simple de $h$ et $g (a) \neq = 0$ . Alors, $a$ est un pôle simple de $f$ de résidu $Res (f, a) = \frac{g ( a )}{h ^{'} ( a )}$

Exemple 46. Le résidu de $z \mapsto \frac{z ^{2}}{( z + 1 ) ( z - 1 ) ^{2}}$ en $1$ est égal à $\frac{3}{4}$ .

Théorème des résidus

Théorème 47 (des résidus). On suppose $f$ méromorphe sur $Ω$ et on note $A$ l’ensemble de ses pôles. Soit $γ$ une courbe homologue à zéro dans $Ω$ et ne rencontrant pas $A$ . Alors, $\int_{γ} f (z) d z = 2 iπ a \in A \sum I (a, γ) Res (f, a)$

p. 173

Exemple 48. $\int_{0}^{2 π} \frac{1}{3 + 2 cos ( t )} d t = \frac{2 π}{5}$

Exemple 49 (Intégrale de Dirichlet). $\int_{0}^{+ \infty} \frac{sin ( x )}{x} d x = \frac{π}{2}$

[AMR08]
p. 156

transformee-de-fourier-d-une-gaussienne

Exemple 50 (Transformée de Fourier d’une gaussienne). On définit $\forall a \in R_{*}^{+}$ , $γ_{a} : R x \to \mapsto R e^{- a x^{2}}$ Alors, $\forall ξ \in R, γ_{a} (ξ) = \frac{π}{a} e^{\frac{- ξ ^{2}}{4 a}}$

[QUE]
p. 171

Application 51 (Théorème de Kronecker). On suppose $f$ holomorphe sur $Ω$ et non identiquement nulle dans $Ω$ . Soit $γ$ une courbe homologue à zéro dans $Ω$ et qui ne rencontre pas l’ensemble des zéros de $f$ . Alors, le nombre $Z = Z (f)$ des zéros de $f$ à l’intérieur de $γ$ comptés avec multiplicités vérifie $Z = \frac{1}{2 iπ} \int_{γ} \frac{f ^{'} ( z )}{f ( z )} d z$

Application 52 (Théorème de Rouché). Soient $γ$ un cycle homologue à zéro dans $Ω$ et $g, h \in H (Ω)$ . On suppose $z \in γ^{*} ⟹ ∣ g (z) ∣ \leq ∣ f (z) ∣$ Alors, $Z (g) = Z (g + h)$