246 Séries de Fourier. Exemples et applications.

Séries de Fourier. Exemples et applications.

analysis

Coefficients de Fourier

Définitions

Notation 1.

Pour tout $p \in [1, + \infty]$ , on note $L_{p}^{2 π}$ l’espace des fonctions $f : R \to C$ , $2 π$ -périodiques et mesurables, telles que $∥ f ∥_{p} < + \infty$ .
Pour tout $n \in Z$ , on note $e_{n}$ la fonction $2 π$ -périodique définie pour tout $t \in R$ par $e_{n} (t) = e^{in t}$ .

Remarque 2. $1 \leq p < q \leq + \infty ⟹ L_{q}^{2 π} \subseteq L_{p}^{2 π} et ∥. ∥_{p} \leq ∥. ∥_{q}$

Proposition 3. $L_{2}^{2 π}$ est un espace de Hilbert pour le produit scalaire $⟨ ., . ⟩ : (f, g) \mapsto \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (t) \overline{g (t)} d t$

[GOU20]
p. 268

Définition 4. Soit $f \in L_{1}^{2 π}$ . On appelle :

Coefficients de Fourier complexes, les complexes définis par $\forall n \in Z, c_{n} (f) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (t) e^{- in t} d t = ⟨ f, e_{n} ⟩$
Coefficients de Fourier réels, les complexes définis par $\forall n \in N, a_{n} (f) = \frac{1}{π} \int_{0}^{2 π} f (t) cos (n t) d t et \forall n \in N^{*}, b_{n} (f) = \frac{1}{π} \int_{0}^{2 π} f (t) sin (n t) d t$

Remarque 5. Soit $f \in L_{1}^{2 π}$ .

On utilise en général les coefficients réels lorsque $f$ est à valeurs réelles.
Si $f$ est paire (resp. impaire), les coefficients $b_{n} (f)$ (resp. $a_{n} (f)$ ) sont nuls.
$\forall n \in N, a_{n} (f) = c_{n} (f) + c_{- n} (f)$ et $\forall n \in N^{*}, b_{n} (f) = i (c_{n} (f) + c_{- n} (f))$ .
On pourrait plus généralement définir les coefficients de Fourier d’une fonction $T$ -périodique pour toute période $T > 0$ .

p. 273

Exemple 6. On définit $\forall α \in R ∖ Z, f_{α} : t \mapsto cos (α t)$ . Alors, $\forall n \in N, a_{n} (f_{α}) = (- 1)^{n} \frac{2 α sin ( α π )}{π ( α ^{2} - n ^{2} )} et \forall n \in N^{*}, b_{n} (f_{α}) = 0$

Propriétés structurelles des espaces $L_{p}^{2 π}$

L’algèbre $L_{1}^{2 π}$

[BMP]
p. 125

Proposition 7. Tout comme sur $L_{1} (R)$ , on a un opérateur de convolution sur $L_{1}^{2 π}$ : $\forall f, g \in L_{1}^{2 π}, \forall x \in R, f * g (x) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (y) g (x - y) d y$ qui munit $L_{1}^{2 π}$ d’une structure d’algèbre normée.

[AMR08]
p. 174

Proposition 8. Soient $f \in L_{1}^{2 π}$ , $a \in R$ et $k, n \in Z$ .

$f * e_{n} = c_{n} (f) e_{n}$ .
$∣ c_{n} (f) ∣ \leq ∥ f ∥_{1}$ .
$c_{- n} (f) = c_{n} (x \mapsto f (- x))$ .
$c_{n} (\overline{f}) = \overline{c_{- n} (f)}$ .
$c_{n} (x \mapsto f (x - a)) = e_{n} (a) c_{n} (f)$ .
$c_{n} (e_{k} f) = c_{n - k} (f) e_{n}$ .
$c_{n} (f^{'}) = in c_{n} (f)$ si $f$ est continue et $C^{1}$ par morceaux.

[BMP]
p. 126

Lemme 9 (Riemann-Lebesgue). Soit $f \in L_{1}^{2 π}$ . Alors $(c_{n} (f))$ tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers $\pm \infty$ .

Théorème 10. Soit $c_{0}$ l’espace des suites de complexes qui convergent vers $0$ en $- \infty$ et $+ \infty$ . L’application $F : L_{1}^{2 π} f \to \mapsto c_{0} (c_{n} (f))_{n \in Z}$ est un morphisme d’algèbres de $(L_{1}^{2 π}, +, *, ∥. ∥_{1})$ dans $(c_{0}, +, \cdot, ∥. ∥_{\infty})$ continu, de norme $1$ .

Propriétés hilbertiennes de $L_{2}^{2 π}$

p. 109

Théorème 11. Soit $H$ un espace de Hilbert et $(ϵ_{n})_{n \in I}$ une famille orthonormée dénombrable de $H$ . Les propriétés suivantes sont équivalentes :

La famille orthonormée $(ϵ_{n})_{n \in I}$ est une base hilbertienne de $H$ .
$\forall x \in H, x = \sum_{n = 0}^{+ \infty} ⟨ x, ϵ_{n} ⟩ ϵ_{n}$ .
$\forall x \in H, ∥ x ∥_{2} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} ∣ ⟨ x, ϵ_{n} ⟩ ∣^{2}$ .

Remarque 12. L’égalité du Théorème 11 Point 3 est appelée égalité de Parseval.

p. 123

Théorème 13. La famille $(e_{n})_{n \in Z}$ est une base hilbertienne de $L_{2}^{2 π}$ .

Corollaire 14. $\forall f \in L_{2}^{2 π}, f = n = - \infty \sum + \infty c_{n} (f) e_{n}$

[GOU20]
p. 272

Exemple 15. On considère $f : x \mapsto 1 - \frac{x ^{2}}{π ^{2}}$ sur $[- π, π]$ . Alors, $\frac{π ^{4}}{90} = ∥ f ∥_{2} = n = 0 \sum + \infty \frac{1}{n ^{4}}$

[BMP]
p. 124

Remarque 16. L’égalité du Corollaire 14 est valable dans $L_{2}^{2 π}$ , elle signifie donc que $n = - N \sum N c_{n} (f) e_{n} - f_{2} ⟶_{N \to + \infty} 0$

Séries de Fourier

[GOU20]
p. 269

Définition 17. Soit $f \in L_{1}^{2 π}$ . On appelle série de Fourier associée à $f$ la série $(S_{N} (f))$ définie par $\forall N \in N, S_{N} (f) = n = - N \sum N c_{n} (f) e_{n} = (*) \frac{a _{0} ( f )}{2} + n = 1 \sum N (a_{n} (f) cos (n x) + b_{n} (f) sin (n x))$

Remarque 18. L’égalité $(*)$ de la définition précédente est justifiée car, $\forall n \in N^{*}, \forall x \in R, c_{n} (f) e^{in x} + c_{- n} (f) e^{- in x} = a_{n} (f) cos (n x) + b_{n} (f) sin (n x)$

Divers modes de convergence

[AMR08]
p. 178

Nous avons vu que pour $f \in L_{2}^{2 π}$ , il y a convergence dans $L_{2}^{2 π}$ de $(S_{N} (f))$ vers $f$ . Cette section est dédiée à l’étude d’autres modes de convergence. En particulier, nous allons nous poser plusieurs questions :

Pour quelles fonctions $f$ y a-t-il convergence de $(S_{N} (f))$ ?
Y a-t-il convergence vers $f$ ?
De quel type de convergence s’agit-il ?

Convergence au sens de Cesàro

p. 184

Définition 19. Pour tout $N \in N$ , la fonction $D_{N} = \sum_{n = - N}^{N} e_{N}$ est appelé noyau de Dirichlet d’ordre $N$ .

Proposition 20. Soit $N \in N$ .

$D_{N}$ est une fonction paire, $2 π$ -périodique, et de norme $1$ .
$\forall x \in R ∖ 2 π Z, D_{N} (x) = \frac{sin ( ( N + \frac{1}{2} ) x )}{sin ( \frac{x}{2} )}$
Pour tout $f \in L_{1}^{2 π}, S_{N} (f) = f * D_{N}$ .

Définition 21. Pour tout $N \in N$ , la fonction $K_{N} = \frac{1}{N} \sum_{j = 0}^{N - 1} D_{j}$ est appelé noyau de Fejér d’ordre $N$ .

Notation 22. Pour tout $N \in N^{*}$ , on note $σ_{N} = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} S_{n} (f)$ la somme de Cesàro d’ordre $N$ de la série de Fourier d’une fonction $f \in L_{1}^{2 π}$ .

Proposition 23. Soient $N \in N^{*}$ et $f \in L_{1}^{2 π}$ .

$K_{N}$ est une fonction positive et de norme $1$ .
$\forall x \in R ∖ 2 π Z, K_{N} (x) = \frac{1}{N} (\frac{sin ( \frac{N x}{2} )}{sin ( \frac{x}{2} )})^{2}$
$K_{N} = \sum_{n = - N}^{N} (1 - \frac{∣ n ∣}{N}) e_{n}$ .
$σ_{N} (f) = f * K_{N}$ .

p. 190

theoreme-de-fejer

Théorème 24 (Fejér). Soit $f : R \to C$ une fonction $2 π$ -périodique.

Si $f$ est continue, alors $∥ σ_{N} (f) ∥_{\infty} \leq ∥ f ∥_{\infty}$ et $(σ_{N} (f))$ converge uniformément vers $f$ .
Si $f \in L_{p}^{2 π}$ pour $p \in [1, + \infty [$ , alors $∥ σ_{N} (f) ∥_{p} \leq ∥ f ∥_{p}$ et $(σ_{N} (f))$ converge vers $f$ pour $∥. ∥_{p}$ .

Corollaire 25. L’espace des polynômes trigonométriques ${\sum_{n = - N}^{N} c_{n} e_{n} ∣ (c_{n}) \in C^{N}, N \in N}$ est dense dans l’espace des fonction continues $2 π$ -périodiques pour $∥. ∥_{\infty}$ et est dense dans $L_{p}^{2 π}$ pour $∥. ∥_{p}$ avec $p \in [1, + \infty [$ .

[BMP]
p. 128

Application 26. L’application $F$ du Théorème 10 est injective.

[AMR08]
p. 192

Application 27 (Théorème de Weierstrass). Toute fonction continue sur un intervalle compact $[a, b]$ est limite uniforme sur $[a, b]$ d’une suite de polynômes.

Convergence ponctuelle

[GOU20]
p. 271

Théorème 28 (Dirichlet). Soient $f : R \to C$ $2 π$ -périodique, continue par morceaux sur $R$ et $t_{0} \in R$ tels que la fonction $h \mapsto \frac{f ( t _{0} + h ) + f ( t _{0} - h ) - f ( t _{0}^{+} ) - f ( t _{0}^{-} )}{h}$ est bornée au voisinage de $0$ . Alors, $S_{N} (f) (t_{0}) ⟶_{N \to + \infty} \frac{f ( t _{0}^{+} ) + f ( t _{0}^{-} )}{2}$

Contre-exemple 29. Soit $f : R \to R$ paire, $2 π$ -périodique telle que : $\forall x \in [0, π], f (x) = p = 1 \sum + \infty \frac{1}{p ^{2}} sin ((2^{p^{3}} + 1) \frac{x}{2})$ Alors $f$ est bien définie et continue sur $R$ . Cependant, sa série de Fourier diverge en $0$ .

Corollaire 30. Soient $f : R \to C$ $2 π$ -périodique, $C^{1}$ par morceaux sur $R$ . Alors, $\forall x \in R, S_{N} (f) (x) ⟶_{N \to + \infty} \frac{f ( x ^{+} ) + f ( x ^{-} )}{2}$ En particulier, si $f$ est continue en $x$ , la série de Fourier de $f$ converge vers $f (x)$ .

Exemple 31. En reprenant la fonction de l’Exemple 15, $\forall x \in [- π, π], f (x) = \frac{2}{3} - \frac{4}{π ^{2}} n = 1 \sum + \infty (- 1)^{n} \frac{cos ( n x )}{n ^{2}}$

Convergence normale

[BMP]
p. 128

Proposition 32. Soit $f \in L_{1}^{2 π}$ et telle que sa série de Fourier converge normalement. Alors, la somme $g : x \mapsto \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} c_{n} (f) e_{n} (x)$ est une fonction continue $2 π$ -périodique presque partout égale à $f$ . De plus, si $f$ est continue, l’égalité $f (x) = g (x)$ est vraie pour tout $x$ .

Proposition 33. Soit $f : R \to C$ $2 π$ -périodique continue et $C^{1}$ par morceaux sur $R$ . Alors $(S_{N} (f))$ converge normalement vers $f$ .

[AMR08]
p. 211

Application 34 (Développement eulérien de la cotangente). $\forall u \in R ∖ π Z, cotan (u) = \frac{1}{u} + n = 1 \sum + \infty \frac{2 u}{u ^{2} - n ^{2} π ^{2}}$

Applications

Calcul de sommes, de produits et d’intégrales

[GOU20]
p. 272

Application 35. En utilisant l’Exemple 31, avec $x = π$ , on retrouve $n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6}$

Application 36. $\forall t \in] - π, π [, sin (t) = t n = 1 \prod + \infty (1 - \frac{t ^{2}}{n ^{2} π ^{2}})$

[AMR08]
p. 221

Application 37 (Sommes de Gauss). $\forall m \in N^{*}, n = 0 \sum m - 1 e^{\frac{2 iπ n ^{2}}{m}} = \frac{1 + i ^{- m}}{1 + i ^{- 1}}$

Application 38 (Intégrales de Fresnel). $\int_{- \infty}^{+ \infty} cos (2 π u^{2}) d u = \int_{- \infty}^{+ \infty} sin (2 π u^{2}) d u = \frac{1}{2}$

[AMR11]
p. 325

Application 39. Soit $a > 0$ . En considérant la fonction $t \mapsto \frac{1}{c o s h ( a ) + c o s ( t )}$ , on en déduit que $\forall n \in N, \int_{0}^{π} \frac{cos ( n t )}{cosh ( a ) + cos ( t )} d t = (- 1)^{n} \frac{π e ^{- na}}{sinh ( a )}$

Équations fonctionnelles

[GOU20]
p. 284

formule-sommatoire-de-poisson

Théorème 40 (Formule sommatoire de Poisson). Soit $f : R \to C$ une fonction de classe $C^{1}$ telle que $f (x) = O (\frac{1}{x ^{2}})$ et $f^{'} (x) = O (\frac{1}{x ^{2}})$ quand $∣ x ∣ ⟶ + \infty$ . Alors : $\forall x \in R, n \in Z \sum f (x + n) = n \in Z \sum f (2 πn) e^{2 iπn x}$ où $f$ désigne la transformée de Fourier de $f$ .

Application 41 (Identité de Jacobi). $\forall s > 0, n = - \infty \sum + \infty e^{- π n^{2} s} = \frac{1}{s} n = - \infty \sum + \infty e^{- \frac{π n ^{2}}{s}}$

Inégalités remarquables

[AMR08]
p. 215

Application 42 (Inégalité isopérimétrique). Soit $γ : [0, 1] \to R^{2}$ une courbe de Jordan (ie. $γ (0) = γ (1)$ , $γ$ est injective sur $] 0, 1 [$ et $γ^{'} \neq = 0$ ) de classe $C^{1}$ de longueur $L$ et enfermant une surface $S$ . Alors, $S \leq \frac{L ^{2}}{4 π}$ avec égalité si et seulement si $γ$ définit un cercle.

Application 43 (Inégalité de Wirtinger). Soit $f : [a, b] \to C$ de classe $C^{1}$ telle que $f (a) = f (b) = 0$ . Alors, $\int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣^{2} d x \leq \frac{( b - a ) ^{2}}{π}^{2} \int_{a}^{b} ∣ f^{'} (x) ∣^{2} d x$ De plus, la constante $\frac{( b - a ) ^{2}}{π}^{2}$ est optimale.

[Z-Q]
p. 106

Application 44 (Inégalité de Bernstein). Soient $λ > 0$ et $λ_{1}, \dots, λ_{n} \in R$ distincts et tels que $max_{j \in [[1, n]]} ∣ λ_{j} ∣ < λ$ . On définit $h : t \mapsto j = 1 \sum n a_{j} e^{i λ_{j} t} o \overset{u}{ˋ} a_{1}, \dots, a_{n} \in C$ Alors $h$ et sa dérivée $h^{'}$ sont bornées et on a : $∥ h^{'} ∥_{\infty} \leq λ ∥ h ∥_{\infty}$

Annexes

Hypothèses sur $f$	Convergence de sa série de Fourier $(S_{N} (f))$
$f \in L_{2}^{2 π}$	Convergence pour $∥. ∥_{2}$ .
$f$ continue	Convergence uniforme au sens de Cesàro.
$f \in L_{p}^{2 π}$ ( $p \in L_{p} [1, + \infty [$ )	Convergence pour $∥. ∥_{p}$ au sens de Cesàro.
$f$ $C^{1}$ par morceaux	Convergence ponctuelle vers une valeur moyenne.
$f$ continue et $C^{1}$ par morceaux	Convergence normale.

Convergence d’une série de Fourier selon les hypothèses sur la fonction de départ.