246 Séries de Fourier. Exemples et applications.

Séries de Fourier. Exemples et applications.

analysis

Coefficients de Fourier

Définitions

Notation 1.

  • Pour tout , on note l’espace des fonctions , -périodiques et mesurables, telles que .

  • Pour tout , on note la fonction -périodique définie pour tout par .

Remarque 2.

Proposition 3. est un espace de Hilbert pour le produit scalaire

Définition 4. Soit . On appelle :

  • Coefficients de Fourier complexes, les complexes définis par

  • Coefficients de Fourier réels, les complexes définis par

Remarque 5. Soit .

  • On utilise en général les coefficients réels lorsque est à valeurs réelles.

  • Si est paire (resp. impaire), les coefficients (resp. ) sont nuls.

  • et .

  • On pourrait plus généralement définir les coefficients de Fourier d’une fonction -périodique pour toute période .

Exemple 6. On définit . Alors,

Propriétés

L’algèbre

Proposition 7. Tout comme sur , on a un opérateur de convolution sur : qui munit d’une structure d’algèbre normée.

Proposition 8. Soient , et .

  1. .

  2. .

  3. .

  4. .

  5. .

  6. .

  7. si est continue et par morceaux.

Lemme 9 (Riemann-Lebesgue). Soit . Alors tend vers lorsque tend vers .

Théorème 10. Soit l’espace des suites de complexes qui convergent vers en et . L’application est un morphisme d’algèbres de dans continu, de norme .

Propriétés hilbertiennes de

Théorème 11. Soit un espace de Hilbert et une famille orthonormée dénombrable de . Les propriétés suivantes sont équivalentes :

  1. La famille orthonormée est une base hilbertienne de .

  2. .

  3. .

Remarque 12. L’égalité du Théorème 11 Point 4 est appelée égalité de Parseval.

Théorème 13. La famille est une base hilbertienne de .

Corollaire 14.

Exemple 15. On considère sur . Alors,

Remarque 16. L’égalité du Corollaire 14 est valable dans , elle signifie donc que

Séries de Fourier

Définition 17. Soit . On appelle série de Fourier associée à la série définie par

Remarque 18. L’égalité de la définition précédente est justifiée car,

Divers modes de convergence

Nous avons vu que pour , il y a convergence dans de vers . Cette section est dédiée à l’étude d’autres modes de convergence. En particulier, nous allons nous poser plusieurs questions :

  • Pour quelles fonctions y a-t-il convergence de ?

  • Y a-t-il convergence vers ?

  • De quel type de convergence s’agit-il ?

Convergence au sens de Cesàro

Définition 19. Pour tout , la fonction est appelé noyau de Dirichlet d’ordre .

Proposition 20. Soit .

  1. est une fonction paire, -périodique, et de norme .

  2. Pour tout .

Définition 21. Pour tout , la fonction est appelé noyau de Fejér d’ordre .

Notation 22. Pour tout , on note la somme de Cesàro d’ordre de la série de Fourier d’une fonction .

Proposition 23. Soient et .

  1. est une fonction positive et de norme .

  2. .

  3. .

Théorème 24 (Fejér). Soit une fonction -périodique.

  1. Si est continue, alors et converge uniformément vers .

  2. Si pour , alors et converge vers pour .

Corollaire 25. L’espace des polynômes trigonométriques est dense dans l’espace des fonction continues -périodiques pour et est dense dans pour avec .

Application 26. L’application du Théorème 10 est injective.

Application 27 (Théorème de Weierstrass). Toute fonction continue sur un intervalle compact est limite uniforme sur d’une suite de polynômes.

Convergence ponctuelle

Théorème 28 (Dirichlet). Soient -périodique, continue par morceaux sur et tels que la fonction est bornée au voisinage de . Alors,

Contre-exemple 29. Soit paire, -périodique telle que : Alors est bien définie et continue sur . Cependant, sa série de Fourier diverge en .

Corollaire 30. Soient -périodique, par morceaux sur . Alors, En particulier, si est continue en , la série de Fourier de converge vers .

Exemple 31. En reprenant la fonction de l’Exemple 15,

Convergence normale

Proposition 32. Soit et telle que sa série de Fourier converge normalement. Alors, la somme est une fonction continue -périodique presque partout égale à . De plus, si est continue, l’égalité est vraie pour tout .

Proposition 33. Soit -périodique continue et par morceaux sur . Alors converge normalement vers .

Application 34 (Développement eulérien de la cotangente).

Applications

Calcul de sommes, de produits et d’intégrales

Application 35. En utilisant l’Exemple 31, avec , on retrouve

Application 36.

Application 37 (Sommes de Gauss).

Application 38 (Intégrales de Fresnel).

Application 39. Soit . En considérant la fonction , on en déduit que

Équations fonctionnelles

Théorème 40 (Formule sommatoire de Poisson). Soit une fonction de classe telle que et quand . Alors : désigne la transformée de Fourier de .

Application 41 (Identité de Jacobi).

Inégalités remarquables

Application 42 (Inégalité isopérimétrique). Soit une courbe de Jordan (ie. , est injective sur et ) de classe de longueur et enfermant une surface . Alors, avec égalité si et seulement si définit un cercle.

Application 43 (Inégalité de Wirtinger). Soit de classe telle que . Alors, De plus, la constante est optimale.

Application 44 (Inégalité de Bernstein). Soient et distincts et tels que . On définit Alors et sa dérivée sont bornées et on a :

Annexes

Hypothèses sur Convergence de sa série de Fourier
Convergence pour .
continue Convergence uniforme au sens de Cesàro.
() Convergence pour au sens de Cesàro.
par morceaux Convergence ponctuelle vers une valeur moyenne.
continue et par morceaux Convergence normale.
Convergence d’une série de Fourier selon les hypothèses sur la fonction de départ