250 Transformation de Fourier. Applications.

Transformation de Fourier. Applications.

analysis

Transformation de Fourier dans $L_{1} (R^{d})$

Définitions et premières propriétés

Définition 1. Soit $f : R^{d} \to C$ une fonction mesurable. On définit, lorsque cela a un sens, sa transformée de Fourier, notée $f$ par $f : R^{d} ξ \to \mapsto C \int_{R^{d}} f (x) e^{- i ⟨ x, ξ ⟩} d x$

Exemple 2 (Densité de Poisson). On pose $\forall x \in R$ , $p (x) = \frac{1}{2} e^{- ∣ x ∣}$ . Alors $p \in L_{1} (R)$ et, $\forall ξ \in R$ , $p (ξ) = \frac{1}{1 + ξ ^{2}}$ .

p. 156

transformee-de-fourier-d-une-gaussienne

Exemple 3 (Transformée de Fourier d’une gaussienne). On définit $\forall a \in R_{*}^{+}$ , $γ_{a} : R x \to \mapsto R e^{- a x^{2}}$ Alors, $\forall ξ \in R, γ_{a} (ξ) = \frac{π}{a} e^{\frac{- ξ ^{2}}{4 a}}$

p. 109

Lemme 4 (Riemann-Lebesgue). Soit $f \in L_{1} (R^{d})$ , $f$ existe et $∥ ξ ∥ \to + \infty lim f (ξ)$

Remarque 5. La transformée de Fourier d’une fonction intégrable n’est pas forcément intégrable.

Théorème 6. $\forall f \in L_{1} (R^{d})$ , $f$ est continue, bornée par $∥ f ∥_{1}$ . Donc la transformation de Fourier $F : L_{1} (R^{d}) f \to \mapsto C_{0} (R^{d}) f$ est bien définie.

Corollaire 7. La transformation de Fourier $F : L_{1} (R^{d}) \to C_{0} (R^{d})$ est une application linéaire continue.

Proposition 8. Soit $f \in L_{1} (R^{d})$ . Alors :

$F (x \mapsto f (- x)) = ξ \mapsto F (f) (- ξ)$ .
$F (\overline{f}) = ξ \mapsto \overline{F (f) (- ξ)}$ .
Pour tout $λ \in R_{*}$ , et $ξ \in R^{d}$ , $F (x \mapsto f (λ x)) = \frac{1}{∣ λ ∣ ^{d}} F (f) (\frac{ξ}{λ})$
Pour tout $a \in R^{d}$ , $F (x \mapsto f (x - a)) = e^{- i ⟨ a, ξ ⟩} F (f) et F (x \mapsto e^{- i ⟨ a, ξ ⟩} f (x)) = ξ \mapsto F (f) (ξ - a)$

p. 120

Proposition 9. Soit $f \in L_{1} (R^{d})$ .

On suppose $f \in C^{1} (R^{d})$ et $\frac{\partial f}{\partial x _{j}} \in L_{1} (R^{d})$ . Alors, $\forall ξ = (ξ_{1}, \dots, ξ_{d}) \in R^{d}, \frac{\partial f}{\partial x _{j}} (ξ) = i ξ_{j} f (ξ)$
On suppose $y_{j} f \in L_{1} (R^{d})$ . Alors, la $j$ -ième dérivée partielle de $f$ existe, et, $\forall ξ \in R^{d}, \frac{\partial f}{\partial x _{j}} (ξ) = - i (y_{j} f) (ξ)$

[GOU20]
p. 169

Application 10. On considère $f : x \mapsto e^{- α x^{2}}$ pour $α > 0$ . Alors, $f$ vérifie $\forall x \in R, f (ξ) = \frac{1}{i ξ} f (ξ)$ ce qui permet de retrouver l’Exemple 3.

Convolution

[AMR08]
p. 75

Définition 11. Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $R^{d}$ dans $R$ . On dit que la convolée (ou le produit de convolution) de $f$ et $g$ en $x \in R$ existe si la fonction $R t \to \mapsto C f (x - t) g (t)$ est intégrable sur $R^{d}$ pour la mesure de Lebesgue. On pose alors : $(f * g) (x) = \int_{R^{d}} f (x - t) g (t) d t$

Exemple 12. Soient $a < b \in R_{*}^{+}$ . Alors $1_{[- a, a]} * 1_{[- b, b]}$ existe pour tout $x \in R$ et $(1_{[- a, a]} * 1_{[- b, b]}) (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 a b + a - ∣ x ∣ 0 si 0 \leq ∣ x ∣ \leq b - a si b - a \leq ∣ x ∣ \leq b + a sinon$

Proposition 13. Dans $L_{1} (R^{d})$ , dès qu’il a un sens, le produit de convolution de deux fonctions est commutatif, bilinéaire et associatif.

Théorème 14 (Convolution dans $L_{1} (R^{d})$ ). Soient $f, g \in L_{1} (R^{d})$ . Alors :

pp. en $x \in R^{d}$ , $t \mapsto f (x - t) g (t)$ est intégrable sur $R^{d}$ .
$f * g$ est intégrable sur $R^{d}$ .
$∥ f * g ∥_{1} \leq ∥ f ∥_{1} ∥ g ∥_{1}$ .
L’espace vectoriel normé $(L_{1} (R^{d}), ∥. ∥_{1})$ muni de $*$ est une algèbre de Banach commutative.

p. 114

Proposition 15. $\forall f, g \in L_{1} (R^{d}), f * g = f g$ ie. $F : (L_{1} (R^{d}), +, *, \cdot) \to (C_{0} (R^{d}), +, \times, \cdot)$ est un morphisme d’algèbres.

Corollaire 16. L’algèbre $(L_{1} (R^{d}), +, *, \cdot)$ n’a pas d’élément unité.

Application 17. $f * f = f ⟺ f = 0$

Théorème 18 (Formule de dualité). $\forall f, g \in L_{1} (R^{d}), \int_{R^{d}} f (t) g (t) d t = \int_{R^{d}} f (t) g (t) d t$

Inversion

Théorème 19 (Formule d’inversion de Fourier). Si $f \in L_{1} (R^{d})$ est telle que $f \in L_{1} (R^{d})$ , alors $f (x) = (2 π)^{d} f (x) pp. en x \in R^{d}$

Exemple 20. Une solution de l’équation intégrale d’inconnue $y$ : $\int_{R} \frac{y ( t )}{( x - t ) ^{2} + a ^{2}} = \frac{1}{x ^{2} + b ^{2}}$ est $x \mapsto \frac{a ( b - a )}{bπ ( x ^{2} + ( b - a ) ^{2} )}$ pour $0 < a < b$ .

Corollaire 21. La transformation de Fourier $F : L_{1} (R^{d}) \to C_{0} (R^{d})$ est une application injective.

Proposition 22. Soient $g \in L_{1} (R^{d})$ et $f \in L_{1} (R^{d})$ telle que $f \in L_{1} (R^{d})$ , alors $f g = \frac{1}{( 2 π ) ^{d}} f * g$

Transformation de Fourier dans d’autres espaces

Dans $L_{2} (R^{d})$

p. 122

Théorème 23 (Plancherel-Parseval). $\forall f \in L_{1} (R^{d}) \cap L_{2} (R^{d}), ∥ f ∥_{2}^{2} = (2 π)^{d} ∥ f ∥_{2}^{2}$

Remarque 24. En termes de produit scalaire, la formule précédente s’écrit $\forall f, g \in L_{2} (R^{d}), \int_{R^{d}} f (ξ) \overline{g (ξ)} d ξ = (2 π)^{d} \int_{R^{d}} f (x) \overline{g (x)} d x$

Théorème 25. Soit $f \in L_{2} (R^{d})$ . Alors :

Il existe une suite $(f_{n})$ de $L_{1} (R^{d}) \cap L_{2} (R^{d})$ qui converge vers $f$ dans $L_{2} (R^{d})$ .
Pour une telle suite $(f_{n})$ , la suite $(f_{n})$ converge dans $L_{2} (R^{d})$ vers une limite $f$ indépendante de la suite choisie.

Définition 26. La limite $f$ est la transformée de Fourier de $f$ dans $L_{2} (R^{d})$ .

Proposition 27. Les transformations de Fourier $L_{1} (R^{d})$ et $L_{2} (R^{d})$ coïncident sur $L_{1} (R^{d}) \cap L_{2} (R^{d})$ .

Remarque 28. On a prolongé $F$ à $L_{2} (R^{d})$ , mais il faut prendre garde au fait que $F$ désigne deux applications distinctes : $F : L_{1} (R^{d}) \to C_{0} (R^{d})$ et $F : L_{2} (R^{d}) \to L_{2} (R^{d})$ , ces deux applications ne coïncidant que sur $L_{1} (R^{d}) \cap L_{2} (R^{d})$ .

Proposition 29. Soit $f \in L_{2} (R)$ . On a les relations suivantes : $A \to + \infty lim ∥ φ_{A} - f ∥_{2} = 0 et A \to + \infty lim ∥ ψ_{A} - f ∥_{2} = 0$ où $φ_{A} (ξ) = \int_{- A}^{A} f (x) e^{- i x ξ} d x et ψ_{A} (ξ) = \frac{1}{2 π} \int_{- A}^{A} f (ξ) e^{- i x ξ} d ξ$

Corollaire 30. Lorsque $f \in L_{2} (R)$ et $f \in L_{1} (R)$ , on a $pp. en x \in R, f (x) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} f (ξ) e^{- i x ξ} d ξ$

Théorème 31 (Formule d’inversion de Fourier-Plancherel). L’opérateur de Fourier-Plancherel $P : L_{2} (R^{d}) f \to \mapsto L_{2} (R^{d}) \frac{1}{( 2 π ) ^{d}} F (f)$ est un automorphisme d’inverse $P^{- 1} = \overline{P}$ .

[D-L]
p. 451

Exemple 32. On pose $f = 1_{[- a, a]}$ et on a $\forall ξ \neq = 0, f (ξ) = \frac{2 s i n ( a ξ )}{ξ}$ . Or, $f \in L_{2} (R) ∖ L_{1} (R)$ . On peut calculer sa transformée de Fourier dans $L_{2} (R)$ : $\forall x \in R, f (x) = (f) (x) = f (- x) = 1_{[- a, a]} (x)$

Dans $S (R^{d})$

[AMR08]
p. 133

Définition 33. Une fonction $f : R^{d} \to C$ est dite à décroissance rapide si $\forall α \in N^{d}, ∥ x ∥ \to + \infty lim ∣ x^{α} f (x) ∣ = 0$ où $(x_{1}, \dots, x_{d})^{(α_{1}, \dots, α_{d})} = x_{1}^{α_{1}} \dots x_{d}^{α_{d}}$ .

Exemple 34. $x \mapsto e^{- ∣ x ∣}$ est à décroissance rapide sur $R$ .

Définition 35. On appelle classe de Schwartz, noté $S (R^{d})$ , l’espaces des fonctions de $f : R^{d} \to C$ telles que :

$f \in C^{\infty} (R^{d})$ .
$f$ est à décroissance rapide ainsi que toutes ses dérivées.

Proposition 36. $S (R^{d})$ est un espace vectoriel stable par dérivation, par multiplication par un polynôme, par produit, par conjugaison et par translation.

Théorème 37.

$S (R^{d}) \subseteq L_{1} (R^{d})$ .
$F (S (R^{d})) \subseteq S (R^{d})$ .

Théorème 38. $F : S (R^{d}) \to S (R^{d})$ est un automorphisme bicontinu de $S (R^{d})$ dont l’inverse est donné par $F^{- 1} = \frac{1}{( 2 π ) ^{d}} \overline{F}$

Applications

Séries de fonctions

[GOU20]
p. 284

Théorème 39 (Formule sommatoire de Poisson). Soit $f : R \to C$ une fonction de classe $C^{1}$ telle que $f (x) = O (\frac{1}{x ^{2}})$ et $f^{'} (x) = O (\frac{1}{x ^{2}})$ quand $∣ x ∣ ⟶ + \infty$ . Alors : $\forall x \in R, n \in Z \sum f (x + n) = n \in Z \sum f (2 πn) e^{2 iπn x}$

Application 40 (Identité de Jacobi). $\forall s > 0, n = - \infty \sum + \infty e^{- π n^{2} s} = \frac{1}{s} n = - \infty \sum + \infty e^{- \frac{π n ^{2}}{s}}$

Bases hilbertiennes

[BMP]
p. 110

Soit $I$ un intervalle de $R$ . On pose $\forall n \in N$ , $g_{n} : x \mapsto x^{n}$ .

Définition 41. On appelle fonction poids une fonction $ρ : I \to R$ mesurable, positive et telle que $\forall n \in N, ρ g_{n} \in L_{1} (I)$ .

Soit $ρ : I \to R$ une fonction poids.

Notation 42. On note $L_{2} (I, ρ)$ l’espace des fonctions de carré intégrable pour la mesure de densité $ρ$ par rapport à la mesure de Lebesgue.

Proposition 43. Muni de $⟨ ., . ⟩ : (f, g) \mapsto \int_{I} f (x) \overline{g (x)} ρ (x) d x$ $L_{2} (I, ρ)$ est un espace de Hilbert.

Théorème 44. Il existe une unique famille $(P_{n})$ de polynômes unitaires orthogonaux deux-à-deux telle que $de g (P_{n}) = n$ pour tout entier $n$ . C’est la famille de polynômes orthogonaux associée à $ρ$ sur $I$ .

Exemple 45 (Polynômes de Hermite). Si $\forall x \in I, ρ (x) = e^{- x^{2}}$ , alors $\forall n \in N, \forall x \in I, P_{n} (x) = \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 ^{n}} e^{x^{2}} \frac{\partial}{\partial x ^{n}} (e^{- x^{2}})$

p. 140

Lemme 46. On suppose que $\forall n \in N$ , $g_{n} \in L_{1} (I, ρ)$ et on considère $(P_{n})$ la famille des polynômes orthogonaux associée à $ρ$ sur $I$ . Alors $\forall n \in N$ , $g_{n} \in L_{2} (I, ρ)$ . En particulier, l’algorithme de Gram-Schmidt a bien du sens et $(P_{n})$ est bien définie.

densite-des-polynomes-orthogonaux

Application 47. On considère $(P_{n})$ la famille des polynômes orthogonaux associée à $ρ$ sur $I$ et on suppose qu’il existe $a > 0$ tel que $\int_{I} e^{a ∣ x ∣} ρ (x) d x < + \infty$ alors $(P_{n})$ est une base hilbertienne de $L_{2} (I, ρ)$ pour la norme $∥. ∥_{2}$ .

Contre-exemple 48. On considère, sur $I = R_{*}^{+}$ , la fonction poids $ρ : x \mapsto x^{- l n (x)}$ . Alors, la famille des $g_{n}$ n’est pas totale. La famille des polynômes orthogonaux associée à ce poids particulier n’est donc pas totale non plus : ce n’est pas une base hilbertienne.

En probabilités

[G-K]
p. 239

Soit $X : (Ω, A, P) \to (R^{d}, B (R^{d}))$ un vecteur aléatoire.

Définition 49. On appelle fonction caractéristique de $X$ , notée $ϕ_{X}$ , la transformée de Fourier de la loi $P_{X}$ (définie à un signe près) : $ϕ_{X} : t \mapsto E (e^{i ⟨ t, x ⟩})$

p. 165

Remarque 50. Si $X$ est un vecteur aléatoire réel admettant $f$ pour densité, alors $\forall t \in R^{d}, ϕ_{X} (t) = \int_{R^{d}} e^{i ⟨ t, x ⟩} f (x) d P (x)$

p. 239

Théorème 51. Soient $X$ et $Y$ deux vecteurs aléatoires réels. Alors, $ϕ_{X} = ϕ_{Y} ⟺ P_{X} = P_{Y}$

Exemple 52.

$X \sim U ([- 1, 1]) ⟺ \forall t \in R, ϕ_{X} (t) = {\frac{s i n ( t )}{t} si t \neq = 0 1 sinon$
$X \sim E (λ) ⟺ \forall t \in R, ϕ_{X} (t) = \frac{1}{1 - i t}$ .
$X (Ω) \subseteq N ⟹ \forall t \in R, ϕ_{X} (t) = G_{X} (e^{i t})$ où $G_{X}$ est la fonction génératrice de $X$ .

Théorème 53. Soit $N \in N^{*}$ , alors dans pour une variable aléatoire réelle, $E (∣ X ∣^{N}) < + \infty ⟹ ϕ_{X} \in C^{n} (R)$

Corollaire 54. On se place dans le cadre du théorème précédent. On a : $\forall k \in [[0, N]], ϕ_{X}^{(k)} (0) = i^{k} E (X^{k})$

Théorème 55. Si $X$ et $Y$ sont deux vecteurs aléatoires réels indépendants :

$ϕ_{X + Y} = ϕ_{X} ϕ_{Y}$ .
$\forall s, t \in R^{d}, ϕ_{(X, Y)} (s, t) = ϕ_{X} (s) ϕ_{Y} (t)$ .