253 Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Utilisation de la notion de convexité en analyse.

analysis

Soit $E$ un espace vectoriel sur $R$ ou $C$ .

Convexité d’une fonction, d’un ensemble

Ensembles convexes

Généralités

[GOU21]
p. 51

Définition 1.

Soient $a, b \in E$ . On appelle segment d’extrémités $a$ et $b$ , l’ensemble $[a, b] = {t a + (1 - t) b ∣ t \in [0, 1]}$
On dit qu’une partie $C$ de $E$ est convexe si $\forall a, b \in E, [a, b] \subseteq E$

Exemple 2. Un sous-espace vectoriel de $E$ est convexe.

Remarque 3. Une partie convexe est connexe.

[BMP]
p. 26

Proposition 4.

Dans $R$ , les intervalles sont à la fois les parties connexes et convexes.
Une intersection de parties convexes est convexe.

Enveloppes convexes

[GOU21]
p. 51

Définition 5. Soit $A \subseteq E$ . On appelle enveloppe convexe de $A$ le plus petit (au sens de l’inclusion) convexe contenant $A$ . On la note $Conv (A)$ .

Proposition 6. Soit $A \subseteq E$ . Alors, $x \in Conv (A) ⟺ x = i = 1 \sum n λ_{i} x_{i} avec x_{1}, \dots, x_{n} \in A et λ_{1}, \dots, λ_{n} \in R^{+} tels que i = 1 \sum n λ_{i} = 1$

p. 54

Théorème 7 (Carathéodory). Soit $A \subseteq E$ . On suppose que $E$ est un espace vectoriel normé de dimension finie $n$ . Alors, tout élément de $Conv (A)$ est combinaison convexe de $n + 1$ éléments de $A$ .

Application 8. Soit $A \subseteq E$ compact. On suppose que $E$ est un espace vectoriel normé de dimension finie. Alors $Conv (A)$ est compacte.

Proposition 9. On suppose que $E$ est un espace vectoriel normé. Alors, pour toute partie convexe $C$ de $E$ , $\overline{C}$ et $\overset{˚}{C}$ sont convexes.

[BMP]
p. 97

Théorème 10 (Hahn-Banach géométrique). On se place dans le cas où $E$ est un espace de Hilbert sur $R$ . Soit $C$ une partie de $E$ convexe compacte. Alors, si $x \in / C$ , il existe $f \in E^{'}$ et $α \in R$ tels que $\forall y \in C, f (x) < α < f (y)$

p. 133

Corollaire 11. On se place dans le cas où $E$ est un espace de Hilbert sur $R$ . Soit $A \subseteq E$ . Alors, $x \in \overline{Conv (A)} ⟺ \forall f \in H^{'}, f (x) \leq y \in A sup f (y)$

Fonctions convexes

On munit $E$ d’une norme $∥.∥$ . Soit $I$ une partie convexe de $E$ .

[ROM19-1]
p. 225

Définition 12.

Une fonction $f : I \to R$ est convexe si $\forall x, y \in I, \forall t \in [0, 1], f ((1 - t) x + t y) \leq (1 - t) f (x) + t f (y)$
Une fonction $f : I \to R$ est concave si $- f$ est convexe.

Remarque 13. Les définitions de $f$ strictement convexe et $f$ strictement concave s’obtiennent en remplaçant les inégalités larges par des inégalités strictes dans la définition précédente.

Exemple 14.

$x \mapsto ∥ x ∥$ est convexe sur $E$ .
$exp$ est convexe sur $R$ .

Proposition 15. Une fonction $f : I \to R$ est convexe si et seulement si son épigraphe est convexe dans $E \times R$ .

Théorème 16. Une fonction $f : I \to R$ est convexe si et seulement si $\forall x, y \in I$ , $t \mapsto f ((1 - t) x + t y)$ est convexe sur $[0, 1]$ .

Ce dernier théorème justifie que l’étude des fonctions convexes se ramène à l’étude des fonctions convexes sur un intervalle réel.

Proposition 17.

Une combinaison linéaire à coefficients positifs de fonctions convexes est convexe.
La composée $φ \circ g$ d’une fonction convexe croissante $φ : J \to R$ avec une fonction fonction convexe $g : I \to J$ est croissante.
Une limite simple d’une suite de fonctions convexes est convexe.

Fonctions log-convexes

p. 228

Définition 18. On dit qu’une fonction $f : I \to R_{*}^{+}$ est log-convexe si $ln \circ f$ est convexe sur $I$ .

Proposition 19. Une fonction log-convexe est convexe.

Contre-exemple 20. $x \mapsto x$ est convexe mais non log-convexe.

Théorème 21. Pour une fonction $f : I \to R_{*}^{+}$ , les assertions suivantes sont équivalentes :

$f$ est log-convexe.
$\forall α > 0, x \mapsto α^{x} f (x)$ est convexe.
$\forall x, y \in I, \forall t \in [0, 1], f ((1 - t) x + t y) \leq (f (x))^{1 - t} (f (y))^{t}$ .
$\forall α > 0, f^{α}$ est convexe.

p. 364

Lemme 22. La fonction $Γ$ définie pour tout $x > 0$ par $Γ (x) = \int_{0}^{+ \infty} t^{x - 1} e^{- t} d t$ vérifie :

$\forall x \in R_{*}^{+}$ , $Γ (x + 1) = x Γ (x)$ .
$Γ (1) = 1$ .
$Γ$ est log-convexe sur $R_{*}^{+}$ .

caracterisation-reelle-de-gamma

Théorème 23 (Bohr-Mollerup). Soit $f : R_{*}^{+} \to R^{+}$ vérifiant le Point 1, Point 2 et Point 3 du Lemme 22. Alors $f = Γ$ .

Remarque 24. À la fin de la preuve, on obtient une formule due à Gauss : $\forall x \in] 0, 1], Γ (x) = n \to + \infty lim \frac{n ^{x} n !}{( x + n ) \dots ( x + 1 ) x}$ que l’on peut aisément étendre à $R_{*}^{+}$ entier.

Inégalités de convexité

Inégalités pour des familles de réels

[GOU20]
p. 97

Proposition 25 (Inégalité de Hölder). Soient $p, q > 0$ tels que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ . Alors, $\forall a_{1}, \dots, a_{n}, b_{1}, \dots, b_{n} \geq 0, i = 1 \sum n a_{i} b_{i} \leq (i = 1 \sum n a_{i}^{p})^{\frac{1}{p}} (i = 1 \sum n b_{i}^{q})^{\frac{1}{q}}$

Proposition 26 (Inégalité de Minkowski). Soit $p \geq 1$ . Alors, $\forall x_{1}, \dots, x_{n}, y_{1}, \dots, y_{n} \geq 0, (i = 1 \sum n ∣ x_{i} + y_{i} ∣^{p})^{\frac{1}{p}} \leq (i = 1 \sum n x_{i}^{p})^{\frac{1}{p}} (i = 1 \sum n y_{i}^{p})^{\frac{1}{p}}$

[ROM19-1]
p. 242

Proposition 27 (Comparaison des moyennes harmonique, géométrique et arithmétique). Pour toute suite finie $x = (x_{i})$ de $n$ réels strictement positifs, on a : $\frac{n}{\sum _{i = 1}^{n} \frac{1}{x _{i}}} \leq (i = 1 \prod n x_{i})^{\frac{1}{n}} \leq \frac{1}{n} i = 1 \sum n x_{i}$

Inégalités en théorie de l’intégration

Proposition 28 (Inégalité de Jensen). Si $f : R \to R$ est convexe, alors pour toute fonction $u$ continue sur un intervalle $[a, b]$ , on a : $f (\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} u (t) d t) \leq \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f \circ u (t) d t$

[G-K]
p. 209

Théorème 29 (Inégalité de Hölder). Soient $p, q \in] 1, + \infty [$ tels que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ , $f \in L_{p}$ et $g \in L_{q}$ . Alors $f g \in L_{1}$ et $∥ f g ∥_{1} \leq ∥ f ∥_{p} ∥ g ∥_{q}$

Remarque 30. C’est encore vrai pour $q = + \infty$ en convenant que $\frac{1}{+ \infty} = 0$ .

Application 31. Dans un espace de mesure finie, $1 \leq p < q \leq + \infty ⟹ L_{q} \subseteq L_{p}$

Théorème 32 (Inégalité de Minkowski). $\forall f, g \in L_{p}, ∥ f + g ∥_{p} \leq ∥ f ∥_{p} + ∥ g ∥_{p}$

Convexité et optimisation

Pour les fonctions convexes

[ROM19-1]
p. 234

Soit $I \subseteq R$ un intervalle réel non réduit à un point.

Proposition 33. Une fonction $f : R \to R$ est constante si et seulement si elle est convexe et majorée.

Contre-exemple 34. La fonction $f$ définie sur $R^{+}$ par $f (x) = \frac{1}{1 + x}$ est convexe, majorée, mais non constante.

Proposition 35. Si $f : I \to R$ est convexe et est dérivable en un point $α \in \overset{˚}{I}$ tel que $f^{'} (α) = 0$ , alors $f$ admet un minimum global en $α$ .

Proposition 36. Si $f : I \to R$ est convexe et admet un minimum local, alors ce minimum est global.

Dans un espace de Hilbert

[LI]
p. 32

Pour toute la suite, on fixe $H$ un espace de Hilbert de norme $∥.∥$ et on note $⟨ ., . ⟩$ le produit scalaire associé.

Lemme 37 (Identité du parallélogramme). $\forall x, y \in H, ∥ x + y ∥^{2} + ∥ x - y ∥^{2} = 2 (∥ x ∥^{2} ∥ y ∥^{2})$ et cette identité caractérise les normes issues d’un produit scalaire.

projection-sur-un-convexe-ferme

Théorème 38 (Projection sur un convexe fermé). Soit $C \subseteq H$ un convexe fermé non-vide. Alors : $\forall x \in H, \exists! y \in C tel que d (x, C) = z \in C in f ∥ x - z ∥ = d (x, y)$ On peut donc noter $y = P_{C} (x)$ , le projeté orthogonal de $x$ sur $C$ . Il s’agit de l’unique point de $C$ vérifiant $\forall z \in C, ⟨ x - P_{C} (x), z - P_{C} (x)⟩ \leq 0$

Théorème 39. Si $F$ est un sous espace vectoriel fermé dans $H$ , alors $P_{F}$ est une application linéaire continue. De plus, pour tout $x \in H$ , $P_{F} (x)$ est l’unique point $y \in F$ tel que $x - y \in F^{⊥}$ .

Théorème 40. Si $F$ est un sous espace vectoriel fermé dans $H$ , alors $H = F \oplus F^{⊥}$ et $P_{F}$ est la projection sur $F$ parallèlement à $F^{⊥}$ : c’est la projection orthogonale sur $F$ .

Corollaire 41. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $H$ . Alors, $\overline{F} = H ⟺ F^{⊥} = 0$

Théorème 42 (de représentation de Riesz). $\forall φ \in H^{'}, \exists! y \in H, tel que \forall x \in H, φ (x) = ⟨ x, y ⟩$ et de plus, $∣∣∣ φ ∣∣∣ = ∥ y ∥$ .

Corollaire 43. $\forall T \in H^{'}, \exists! U \in H^{'} tel que \forall x, y \in H, ⟨ T (x), y ⟩ = ⟨ x, U (y)⟩$ On note alors $U = T^{*}$ : c’est l’adjoint de $T$ . On a alors $∣∣∣ T ∣∣∣ = ∣∣∣ T^{*} ∣∣∣$ .

[Z-Q]
p. 222

Application 44. L’application $φ : L_{q} g \to (L_{p})^{'} \mapsto (φ_{g} : f \mapsto \int_{X} f g d μ) o \overset{u}{ˋ} \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ est une isométrie linéaire surjective. C’est donc un isomorphisme isométrique.