261 Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.

Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.

analysis

Soit $(Ω, A, P)$ un espace probabilisé.

Loi d’une variable aléatoire

Définitions

Préliminaires théoriques

Définition 1. Soient $(E, F)$ un espace probabilisable. On appelle variable aléatoire toute fonction $X : Ω \to E$ mesurable. On appelle loi de $X$ la mesure image de $P$ par $X$ , définie par $P_{X} : F F \to \mapsto [0, 1] P (X^{- 1} (F))$

Notation 2. Pour alléger les notations, on écrira ${X \in F}$ pour désigner l’ensemble $X^{- 1} (F)$ . Ainsi, $P (X^{- 1} (F))$ devient $P (X \in F)$ . De même, ${X = x}$ désigne l’ensemble $X^{- 1} ({x})$ , ${X \leq a}$ désigne l’ensemble $X^{- 1} (] - \infty, a])$ (dans le cas réel), etc.

[G-K]
p. 118

Exemple 3. On se place dans $(R, B (R), P)$ où $P = \frac{1}{3} δ_{- 1} + \frac{1}{2} δ_{0} + \frac{1}{6} δ_{1}$ et on considère la fonction réelle $X : ω \mapsto ω$ . Alors, $X$ est une variable aléatoire, dont la loi est $P_{X} = P$ .

[GOU21]
p. 334

Définition 4. Une variable aléatoire $X$ est dite réelle si son espace d’arrivée est $(R, B (R))$ .

Lois discrètes

[G-K]
p. 335

Définition 5.

On dit qu’une loi $μ$ est discrète s’il existe un ensemble $D$ fini tel que $μ (D) = 1$ .
On dit que la variable aléatoire $X$ est discrète si sa loi $P_{X}$ est discrète.

[GOU21]
p. 335

Remarque 6. Cela revient à dire que $X (Ω)$ est fini ou est dénombrable.

Exemple 7. On pose $Ω = {(ω_{n}) \in R^{n} ∣ ω_{n} \in {0, 1} \forall n \in N}$ et $X : (ω_{n}) \mapsto in f {n \in N ∣ ω_{n} = 0}$ . Alors $X$ est une variable aléatoire discrète, à valeurs dans $N \cup {+ \infty}$ .

[G-K]
p. 131

Proposition 8. Si $X$ est une variable aléatoire discrète à valeurs dans un ensemble dénombrable $D$ , alors :

$\forall A \in B (R), P_{X} (A) = \sum_{i \in D \cap A} P (X = i)$ .
$P_{X} = \sum_{i \in D} P (X = i) δ_{i}$ où les $δ_{i}$ sont des masses de Dirac (voir Exemple 9 Point 1).

p. 137

Exemple 9. Soit $X : Ω \to R$ une variable aléatoire réelle. Voici quelques exemples de lois discrètes classiques.

Si $x \in Ω$ , on pose $δ_{x} : A \mapsto 1_{A} (x)$ . C’est une loi discrète sur $P (Ω)$ .
Soit $E \subseteq Ω$ fini. On appelle loi uniforme sur $E$ la loi discrète définie sur $P (Ω)$ par $P (Ω) A \to \mapsto [[0, 1]] \frac{∣ A \cap E ∣}{∣ E ∣}$
$X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p \in [0, 1]$ , notée $B (p)$ , si $P (X = 1) = p$ et $P (X = 0) = 1 - p$ . Dans ce cas, $X$ est bien une loi discrète et on a $P_{X} = (1 - p) δ_{0} + p δ_{1}$
$X$ suit une loi de binomiale de paramètres $n \in N$ et $p \in [0, 1]$ , notée $B (n, p)$ , si $X$ est la somme de $n$ variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois de Bernoulli de paramètre $p$ . Dans ce cas, $X$ est bien une loi discrète et on a $\forall k \in N, P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$
$X$ suit une loi géométrique de paramètre $p \in] 0, 1]$ , notée $G (p)$ , si l’on a $\forall k \in N^{*}, P (X = k) = p (1 - p)^{k - 1}$
$X$ suit une loi de Poisson de paramètre $λ > 0$ , notée $P (λ)$ , si l’on a $\forall k \in N^{*}, P (X = k) = e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !}$

Lois à densité

p. 134

Définition 10. On dit qu’une loi réelle $μ$ est à densité s’il existe une fonction mesurable $f$ telle que $\forall A \in B (R), μ (A) = \int_{A} f d λ$

Proposition 11. Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$ .

Pour tout $a, b \in R$ tels que $a \leq b$ , $P (a \leq X \leq b) = P (a \leq X < b) = P (a < X \leq b) = P (a < X < b) = \int_{[a, b]} f d λ$
Pour tout $a \in R$ , $P (a \leq X) = P (a < X) = \int_{[a, + \infty [} f d λ = \int_{] a, + \infty [} f d λ$ et $P (a \geq X) = P (a > X) = \int_{] - \infty, a]} f d λ = \int_{] - \infty, a [} f d λ$
$\int_{R} f d λ = 1$

p. 141

Exemple 12. Soit $X : Ω \to R$ une variable aléatoire réelle. Voici quelques exemples de lois à densité classiques.

$X$ suit une loi uniforme sur un compact $K$ de $R$ si elle admet la densité $x \mapsto \frac{1}{λ ( K )} 1_{K} (x)$
$X$ suit une loi gaussienne de paramètres $m \in R$ et $σ^{2} > 0$ , notée $N (m, σ^{2})$ si elle admet la densité $x \mapsto \frac{1}{2 π σ} e^{- \frac{( x - m ) ^{2}}{2 σ ^{2}}}$
$X$ suit une loi exponentielle de paramètre $a > 0$ , notée $E (a)$ si elle admet la densité $x \mapsto a e^{- a x} 1_{R^{+}} (x)$
$X$ suit une loi Gamma de paramètres $a, γ > 0$ , notée $Γ (a, γ)$ si elle admet la densité $x \mapsto \frac{γ ^{a}}{Γ ( a )} x^{a - 1} e^{- γ x} 1_{R_{*}^{+}} (x)$ où $Γ (a)$ est la valeur au point $a$ de la fonction $Γ$ d’Euler.

p. 179

Théorème 13. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles indépendantes de densités respectives $f$ et $g$ . Alors, $X + Y$ admet comme densité la fonction $f * g : x \mapsto \int_{R} f (x - t) g (t) d t$ .

Espérance

p. 159

Définition 14.

On note $L_{1} (Ω, A, P)$ (ou simplement $L_{1} (Ω)$ voire $L_{1}$ s’il n’y a pas d’ambiguïté) l’espace des variables aléatoires intégrables sur $(Ω, A, P)$ .
Si $X \in L_{1}$ , on peut définir son espérance $E (X) = \int_{Ω} X (ω) d P (ω)$

p. 164

Théorème 15 (Transfert). Si $X$ est une variable aléatoire dont la loi $P_{X}$ admet une densité $f$ par rapport à $P$ et si $g$ est une fonction mesurable, alors $g (X) \in L_{1} ⟺ \int_{R} ∣ g (x) ∣ f (x) d P (x) < + \infty$ et dans ce cas, $E (g (X)) = \int_{R} g (x) f (x) d P (x)$

Corollaire 16. Soit $g$ une fonction mesurable. Si $X$ est une variable aléatoire discrète telle que $X (Ω) = D$ , alors $g (X) \in L_{1} ⟺ i \in D \sum ∣ g (i) ∣ P (X = i) < + \infty$ et dans ce cas, $E (g (X)) = i \in D \sum g (i) P (X = i)$

Remarque 17. En reprenant les notations précédentes, et avec $g : x \mapsto x$ , on a $X \in L_{1} ⟺ i \in D \sum ∣ i ∣ P (X = i) < + \infty$ et dans ce cas, $E (X) = i \in D \sum i P (X = i)$

Corollaire 18. Soit $g$ une fonction mesurable. Si $X$ est une variable aléatoire admettant $f$ comme densité, alors $g (X) \in L_{1} ⟺ \int_{R} ∣ g ∣ f d λ < + \infty$ et dans ce cas, $E (g (X)) = \int_{R} ∣ g ∣ f d λ$

Remarque 19. En reprenant les notations précédentes, et avec $g : x \mapsto x$ , on a $X \in L_{1} ⟺ \int_{R} ∣ x ∣ f (x) d x < + \infty$ et dans ce cas, $E (X) = \int_{R} ∣ x ∣ f (x) d x$

p. 187

Exemple 20. Soit $X : Ω \to R$ une variable aléatoire réelle.

$E (1_{A}) = P (A)$ .
$X \sim B (n, p) ⟹ E (X) = n p$ .
$X \sim G (p) ⟹ E (X) = \frac{1}{p}$ .
$X \sim P (λ) ⟹ E (X) = λ$ .

Indépendance

p. 126

Définition 21. Soient $(E, F)$ un espace probabilisable. On dit que deux variables aléatoires $X : Ω \to E$ et $Y : Ω \to E$ sont indépendantes si les tribus qu’elles engendrent sont indépendantes ie. $\forall A, B \in F, P ({X \in A} \cap {X \in B}) = P_{X} (A) P_{X} (B)$

Proposition 22. Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes, alors $f (X)$ et $g (Y)$ sont indépendantes pour toutes fonctions mesurables $f$ et $g$ .

Théorème 23. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires. Alors, $X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si $P_{(X, Y)} = P_{X} \otimes P_{Y}$ .

Corollaire 24. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes. Alors, $P_{X + Y} = P_{X} * P_{Y}$ .

Caractérisation de la loi par des fonctions

Soit $X : Ω \to R^{d}$ .

Fonctions de répartition

p. 118

Définition 25. On appelle fonction de répartition de $X$ , notée $F_{X}$ la fonction définie sur $R^{d}$ par $\forall (t_{1}, \dots, t_{d}) \in R^{d}, F_{X} (t_{1}, \dots, t_{d}) = P (X_{1} \leq t_{1}, \dots, X_{d})$ où l’on a noté $X = (X_{1}, \dots, X_{d})$ .

p. 143

Exemple 26. Si $X \sim E (λ)$ , alors $\forall t \in R, F_{X} (t) = 1 - e^{λ t} 1_{R^{+}} (t)$

p. 118

Théorème 27. Si deux variables (ou vecteurs) aléatoires ont la même fonction de répartition, alors elles ont même loi.

Théorème 28.

$F_{X}$ est à valeurs dans $[0, 1]$ .
$F_{X}$ est croissante sur $R$ .
$lim_{t \to - \infty} F_{X} (t) = 0$ et $lim_{t \to + \infty} F_{X} (t) = 1$ .
En tout point $x$ de $R$ , $F_{X}$ est continue à droite et admet une limite à gauche, qui vaut $F_{X} (x)$ si et seulement si $P (X = x) = 0$ .
L’ensemble des points de discontinuité de $F$ est fini ou dénombrable.

Théorème 29. Soit $F : R \to R$ croissante, continue à droite et telle que $lim_{t \to - \infty} F (t) = 0$ et $lim_{t \to + \infty} F (t) = 1$ . Alors, il existe une mesure de probabilité sur $R$ dont $F$ est la fonction de répartition.

Fonctions caractéristiques

p. 239

Définition 30. On appelle fonction caractéristique de $X$ la fonction $ϕ_{X}$ définie sur $R^{d}$ par $ϕ_{X} : t \mapsto E (e^{i ⟨ t, X ⟩})$

[AMR08]
p. 156

Exemple 31. Si $X \sim N (0, σ^{2})$ , alors $\forall t \in R, ϕ_{X} (t) = e^{- \frac{( x t ) ^{2}}{2}}$

[G-K]
p. 239

Théorème 32. Si deux variables (ou vecteurs) aléatoires ont la même fonction caractéristique, alors elles ont même loi.

Théorème 33.

$ϕ_{X} (0) = 1$ .
$∣ ϕ_{X} ∣ \leq 1$ .
$ϕ$ est uniformément continue sur $R^{d}$ .

Théorème 34. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes et $L_{1}$ . Alors, $E (X Y) = E (X) E (Y)$

Corollaire 35. Si deux variables aléatoires réelles $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $ϕ_{X + Y} = ϕ_{X} ϕ_{Y}$ .

Théorème 36. Si $X$ admet un moment d’ordre $N$ (ie. $E (∥ X ∥^{N})) < + \infty$ ), alors $ϕ_{X}$ est $C^{N}$ et, si $d = 1$ , $\forall k \in [[1, N]], ϕ_{X}^{(k)} (0) = i^{k} E (X^{k})$

Exemple 37. Si $X$ admet un moment d’ordre $2$ et est centrée avec une variance $σ^{2}$ , on a alors $ϕ_{X} (t) = 1 - \frac{σ ^{2} t ^{2}}{2} + o (t^{2})$ quand $t$ tend vers $0$ .

Fonctions génératrices

On suppose dans cette sous-section que $X$ est à valeurs dans $(N, P (N))$ .

p. 235

Définition 38. On appelle fonction génératrice de $X$ la fonction $G_{X} : [- 1, 1] z \to \mapsto R \sum_{k = 0}^{+ \infty} P (X = k) z^{k}$

p. 246

Remarque 39. $\forall t \in R, ϕ_{X} (t) = G_{X} (e^{i t})$

p. 236

Exemple 40.

$X \sim B (p) ⟹ \forall s \in [- 1, 1], G_{X} (s) = (1 - p) + p s$ .
$X \sim B (n, p) ⟹ \forall s \in [- 1, 1], G_{X} (s) = ((1 - p) + p s)^{n}$ .
$X \sim G (p) ⟹ \forall s \in [- 1, 1], G_{X} (s) = \frac{p s}{1 - ( 1 - p ) s}$ .
$X \sim P (λ) ⟹ \forall s \in [- 1, 1], G_{X} (s) = e^{- λ (1 - s)}$ .

Proposition 41. Soient $X_{1}$ et $X_{2}$ deux variables aléatoires indépendantes et à valeurs dans $N$ . Alors, $G_{X_{1} X_{2}} = G_{X_{1}} + G_{X_{2}}$

Théorème 42. Sur $[0, 1]$ , la fonction $G_{X}$ est infiniment dérivable et ses dérivées sont toutes positives, avec $G_{X}^{(n)} (s) = E (X (X - 1) \dots (X - n + 1) s^{X - n})$ En particulier, $P (X = n) = \frac{G _{X}^{(n)} ( 0 )}{n !}$ ce qui montre que la fonction génératrice caractérise la loi.

[GOU21]
p. 346

Exemple 43. Si $X_{1} \sim B (n, p)$ et $X_{2} \sim B (m, p)$ sont indépendantes, alors $X_{1} + X_{2} \sim B (n + m, p)$ .

[G-K]
p. 238

Théorème 44. $X \in L_{1}$ si et seulement si $G_{X}$ admet une dérivée à gauche en $1$ . Dans ce cas, $G_{X}^{'} (1) = E (X)$ .

Convergence en loi

Soit $(X_{n})$ une suite de vecteurs aléatoires à valeurs dans $(R^{d}, B (R^{d}))$ .

Définition et premières propriétés

p. 295

Définition 45. On dit que $(X_{n})$ converge en loi vers $X : Ω \to R^{d}$ si $\forall f \in C_{b} (R^{d}, R), E (f (X_{n})) ⟶_{n \to + \infty} E (f (X))$ On note cela $X_{n} ⟶ (d) X$ .

p. 313

Exemple 46. Si $\forall n \geq 1$ , $X_{n}$ suit une loi uniforme sur $[[1, n - 1]]$ , alors $\frac{X _{n}}{n}$ converge en loi vers la loi uniforme sur $[0, 1]$ .

p. 295

Proposition 47. Si $X_{n} ⟶ (d) X$ et $Y_{n} ⟶ (d) Y$ , alors :

La limite $X$ est unique.
$⟨ X_{n}, Y_{n} ⟩ ⟶ (d) ⟨ X, Y ⟩$ .

Plus généralement, si $\forall n \in N$ , $X_{n}$ et $X$ sont à valeurs dans $E$ , alors $f (X_{n}) ⟶ (d) f (X)$ pour toute $f$ fonction définie et continue sur $E$ .

Théorème 48 (Lemme de Scheffé). On suppose :

$X_{n} ⟶ (p s .) X$ .
$lim_{n \to + \infty} \int_{Ω} X_{n} d P = \int_{Ω} X d P$ .

Alors, $X_{n} ⟶ (L_{1}) X$ .

Corollaire 49. On suppose :

$\forall n \in N$ , $X_{n}$ admet une densité $f_{n}$ .
$(f_{n})$ converge presque partout vers une fonction $f$ .
Il existe une variable aléatoire $X$ admettant $f$ pour densité.

Alors, $X_{n} ⟶ (d) X$ .

Corollaire 50. Si $X$ et $X_{n}$ sont des variables aléatoires à valeurs dans un ensemble dénombrable $D$ pour tout $n \in N$ , en supposant $\forall k \in D, P (X_{n} = k) = P (X = k)$ alors $X_{n} ⟶ (d) X$ .

Application 51. Soit, pour $n \geq 1$ , une variable aléatoire $X_{n}$ suivant la loi binomiale de paramètres $n$ et $p_{n}$ . On suppose que $lim_{n \to + \infty} n p_{n} = λ > 0$ . Alors, $X_{n} ⟶ (d) X$ où $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $λ$ .

p. 302

Théorème 52. En notant $F_{X}$ la fonction de répartition d’une variable aléatoire $X$ , on a, $X_{n} ⟶ (d) X ⟺ F_{X_{n}} (x) ⟶_{n \to + \infty} F_{X} (x)$ en tout point $x$ où $F_{X}$ est continue.

Théorème 53. Soit $X : Ω \to R^{d}$ une variable aléatoire.

Si $(X_{n})$ converge en probabilité vers $X$ , alors $(X_{n})$ converge en loi vers $X$ .
Si $(X_{n})$ converge en loi vers une constante $a$ (ou de manière équivalente, vers une masse de Dirac $δ_{a}$ ), alors $(X_{n})$ converge en probabilité vers $a$ .

[HAU]
p. 362

Contre-exemple 54. Si $(X_{n})$ est une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées de loi $B (p)$ , alors $(X_{n})$ converge en loi vers $B (2 p (1 - p))$ , mais pas en probabilité.

Théorème central limite et applications

[G-K]
p. 305

Théorème 55 (Slutsky). Si $X_{n} ⟶ (d) X$ et $Y_{n} ⟶ (d) c$ où $c$ est un vecteur constant, alors :

$X_{n} + Y_{n} ⟶ (d) X + c$ .
$⟨ X_{n}, Y_{n} ⟩ ⟶ (d) ⟨ X, c ⟩$ .

[Z-Q]
p. 544

Théorème 56 (Lévy). On suppose que $(X_{n})$ est une suite de variables aléatoires réelles et $X$ une variable aléatoire réelle. Alors : $X_{n} ⟶ (d) X ⟺ ϕ_{X_{n}} converge simplement vers ϕ_{X}$

[G-K]
p. 307

theoreme-central-limite

Théorème 57 (Central limite). On suppose que $(X_{n})$ est une suite de variables aléatoires réelles indépendantes de même loi admettant un moment d’ordre $2$ . On note $m$ l’espérance et $σ^{2}$ la variance commune à ces variables. On pose $S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n} - nm$ . Alors, $(\frac{S _{n}}{n}) ⟶ (d) N (0, σ^{2})$

Application 58 (Théorème de Moivre-Laplace). On suppose que $(X_{n})$ est une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi $B (p)$ . Alors, $\frac{\sum _{k = 1}^{n} X _{k} - n p}{n} ⟶ (d) N (0, p (1 - p))$

p. 180

Lemme 59. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes telles que $X \sim Γ (a, γ)$ et $Y \sim Γ (b, γ)$ . Alors $Z = X + Y \sim Γ (a + b, γ)$ .

p. 556

Application 60 (Formule de Stirling). $n! \sim 2 nπ (\frac{n}{e})^{n}$

p. 390

theoreme-des-evenements-rares-de-poisson

Application 61 (Théorème des événements rares de Poisson). Soit $(N_{n})_{n \geq 1}$ une suite d’entiers tendant vers l’infini. On suppose que pour tout $n$ , $A_{n, N_{1}}, \dots, A_{n, N_{n}}$ sont des événements indépendants avec $P (A_{n, N_{k}}) = p_{n, k}$ . On suppose également que :

$lim_{n \to + \infty} s_{n} = λ > 0$ où $\forall n \in N, s_{n} = \sum_{k = 1}^{N_{n}} p_{n, k}$ .
$lim_{n \to + \infty} sup_{k \in [[1, N_{n}]]} p_{n, k} = 0$ .

Alors, la suite de variables aléatoires $(S_{n})$ définie par $\forall n \in N^{*}, S_{n} = k = 1 \sum n 1_{A_{n, k}}$ converge en loi vers la loi de Poisson de paramètre $λ$ .