262 Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.

Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.

analysis

Soient $(Ω, A, P)$ un espace probabilisé et $(X_{n})$ une suite de vecteurs aléatoires à valeurs dans $(R^{d}, B (R^{d}))$ .

Premiers modes de convergence

Convergence presque sûre

[G-K]
p. 265

Définition 1. On dit que $(X_{n})$ converge presque sûrement vers $X : Ω \to R^{d}$ si $P ({ω \in Ω ∣ X_{n} (ω) ⟶_{n \to + \infty} X (ω)}) = 1$ On note cela $X_{n} ⟶ (p s .) X$ .

Remarque 2. La convergence presque sûre d’une suite de vecteurs aléatoires équivaut à la convergence presque sûre de chacune des composantes. Pour cette raison, on peut se limiter à l’étude du cas $d = 1$ .

p. 285

Exemple 3. Si $(X_{n})$ est telle que $\forall n \geq 1, P (X_{n} = \pm n) = \frac{1}{2}$ , alors $\frac{1}{n ^{2}} \sum_{k = 1}^{n} X_{k}^{2} ⟶ (p s .) 0$ .

p. 265

Proposition 4. Si $X_{n} ⟶ (p s .) X$ et $Y_{n} ⟶ (p s .) Y$ , alors :

$\forall a \in R, a X_{n} ⟶ (p s .) a X$ .
$X_{n} + Y_{n} ⟶ (p s .) X + Y$ .
$X_{n} Y_{n} ⟶ (p s .) X Y$ .

Plus généralement, si $\forall n \in N$ , $X_{n}$ et $X$ sont à valeurs dans $E$ , alors $f (X_{n}) ⟶ (p s .) f (X)$ pour toute $f$ fonction définie et continue sur $E$ .

p. 272

Théorème 5 (1 lemme de Borel-Cantelli). Soit $(A_{n})$ une suite d’événements. Si $\sum P (A_{n})$ converge, alors $P (n \to + \infty lim sup A_{n}) = 0$

Remarque 6. Cela signifie que presque sûrement, seul un nombre fini d’événements $A_{n}$ se réalisent.

Corollaire 7. Si $\sum P (∣ X_{n} - X ∣ > ϵ)$ converge pour tout $ϵ > 0$ , alors $X_{n} ⟶ (p s .) X$ .

p. 285

Exemple 8. Si $(X_{n})$ est telle que $\forall n \geq 1$ , $P (X_{n} = n) = P (X_{n} = \pm n) = \frac{1}{2 n ^{2}}$ et $P (X_{n} = 0) = 1 - \frac{1}{2 n ^{2}}$ , alors la suite $(S_{n})$ définie pour tout $n \geq 1$ par $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} X_{k}$ est constante à partir d’un certain rang.

p. 273

Théorème 9 (2 lemme de Borel-Cantelli). Soit $(A_{n})$ une suite d’événements indépendants. Si $\sum P (A_{n})$ diverge, alors $P (n \to + \infty lim sup A_{n}) = 1$

Remarque 10. Cela signifie que presque sûrement, un nombre infini d’événements $A_{n}$ se réalisent.

p. 286

Exemple 11. On fait une infinité de lancers d’une pièce de monnaie équilibrée. Alors, la probabilité de l’événement on obtient une infinité de fois deux Face consécutifs est $1$ .

Corollaire 12 (Loi du $0$ - $1$ de Borel). Soit $(A_{n})$ une suite d’événements indépendants, alors $P (n \to + \infty lim sup A_{n}) = 0 ou 1$ et elle vaut $1$ si et seulement si $\sum P (A_{n})$ diverge.

Convergence en probabilité

p. 268

Définition 13. On dit que $(X_{n})$ converge en probabilité vers $X : Ω \to R^{d}$ si $\forall ϵ, P (∣ X_{n} - X ∣ \geq ϵ) = 0$ On note cela $X_{n} ⟶ (p) X$ .

p. 285

Exemple 14. On suppose que $(X_{n})$ est une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées telle que $P (X_{1} = 1) = p$ et $P (X_{1} = 0) = 1 - p$ . On définit la suite $(Y_{n})$ par $\forall n \geq 1, Y_{n} = {0 si X_{k} = X_{k + 1} 1 sinon$ et la suite $(S_{n})$ par $\forall n \geq 1, M_{n} = \frac{Y _{1} + \dots + Y _{n}}{n}$ . On a $M_{n} - 2 p (1 - p) ⟶ (p) 0$ .

p. 268

Proposition 15. Si $X_{n} ⟶ (p) X$ et $Y_{n} ⟶ (p) Y$ , alors :

$(X_{n}, Y_{n}) ⟶ (p) (X, Y)$ .
$X_{n} + Y_{n} ⟶ (p) X + Y$ .

Théorème 16. La convergence presque sûre implique la convergence en probabilité.

p. 285

Contre-exemple 17. La suite $(M_{n} - 2 p (1 - p))$ de l’Exemple 14 ne converge pas vers $0$ presque sûrement.

p. 274

Théorème 18. Si $X_{n} ⟶ (p) X$ , alors il existe une sous-suite $(X_{n_{k}})$ de $(X_{n})$ telle que $X_{n_{k}} ⟶ (p s .) X$ .

Corollaire 19. On suppose $X_{n} ⟶ (p) X$ . Si $\forall n \in N$ , $X_{n}$ et $X$ sont à valeurs dans $E$ , alors $f (X_{n}) ⟶ (p) f (X)$ pour toute $f$ fonction définie et continue sur $E$ .

Lois des grands nombres

p. 270

Théorème 20 (Loi faible des grands nombres). Soit $(X_{n})$ une suite de variables aléatoires deux à deux indépendantes de même loi et $L_{1}$ . On pose $M_{n} = \frac{X _{1} + \dots + X _{n}}{n}$ . Alors, $M_{n} ⟶ (p) E (X_{1})$

[Z-Q]
p. 532

Théorème 21 (Loi forte des grands nombres). Soit $(X_{n})$ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes de même loi. On pose $M_{n} = \frac{X _{1} + \dots + X _{n}}{n}$ . Alors, $X_{1} \in L_{1} ⟺ M_{n} ⟶ (p s .) ℓ \in R$ Dans ce cas, on a $ℓ = E (X_{1})$ .

[G-K]
p. 195

Application 22 (Théorème de Bernstein). Soit $f : [0, 1] \to R$ continue. On note $\forall n \in N^{*}, B_{n} (f) : x \mapsto k = 0 \sum n (k n) f (\frac{k}{n}) x^{k} (1 - x)^{n - k}$ le $n$ -ième polynôme de Bernstein associé à $f$ . Alors le suite de fonctions $(B_{n} (f))$ converge uniformément vers $f$ .

Corollaire 23 (Théorème de Weierstrass). Toute fonction continue $f : [a, b] \to R$ (avec $a, b \in R$ tels que $a \leq b$ ) est limite uniforme de fonctions polynômiales sur $[a, b]$ .

Convergence $L_{p}$

p. 268

Définition 24. On dit que $(X_{n})$ converge dans $L_{p}$ vers $X : Ω \to R^{d}$ si $\forall n \in N, X_{n} \in L_{p}, X \in L_{p} et E (∣ X_{n} - X ∣^{p})$ On note cela $X_{n} ⟶ (L_{p}) X$ .

[D-L]
p. 510

Proposition 25. Comme les espaces sont de mesure finie, $p \geq q ⟹ L_{p} (Ω, A, P) \subseteq L_{q} (Ω, A, P)$

Corollaire 26. Pour $1 \leq p \leq q$ , la convergence dans $L_{q}$ implique la convergence dans $L_{p}$ qui implique elle-même la convergence dans $L_{1}$ .

[HAU]
p. 365

Contre-exemple 27. Si, $\forall n \in N, \forall ω \in Ω, X_{n} (ω) = n 1_{[0, \frac{1}{n}]}$ alors, $(X_{n})$ converge dans $L_{1}$ mais pas dans $L_{2}$ .

[G-K]
p. 65

Théorème 28 (Convergence dominée). Si $X_{n} ⟶ (p s .) X$ et $\exists g \in L_{1}$ telle que $∥ X_{n} ∥_{1} \leq g$ , alors $X_{n} ⟶ (L_{1}) X$ .

[HAU]
p. 365

Contre-exemple 29. On se place dans le cas où $(Ω, A, P) = ([0, 1 [, B ([0, 1 [), λ_{[0, 1 [})$ . Si $\forall n \geq 1, X_{n} = n 1_{] 0, \frac{1}{n} [}$ , alors $(X_{n})$ converge vers $0$ presque sûrement, mais pas dans $L_{1}$ .

[G-K]
p. 265

Proposition 30. Si $X_{n} ⟶ (L_{p}) X$ , alors il existe une sous-suite $(X_{n_{k}})$ de $(X_{n})$ telle que $X_{n_{k}} ⟶ (p s .) X$ .

Théorème 31. La convergence dans $L_{p}$ (pour $p \geq 1$ ) implique la convergence en probabilité.

Exemple 32. La convergence en probabilité de l’Exemple 14 est en fait une convergence dans $L_{2}$ .

p. 281

Contre-exemple 33. Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f : x \mapsto e^{- x} 1_{R^{+}}$ . On pose $\forall n \geq 1, Y_{n} = X 1_{[0, n [} (X) + e^{2 n} 1_{[n, + \infty [} (X)$ . Alors $(Y_{n})$ converge vers $X$ en probabilité, mais pas dans $L_{1}$ .

Convergence en loi

Définition et premières propriétés

p. 295

Définition 34. On dit que $(X_{n})$ converge en loi vers $X : Ω \to R^{d}$ si $\forall f \in C_{b} (R^{d}, R), E (f (X_{n})) ⟶_{n \to + \infty} E (f (X))$ On note cela $X_{n} ⟶ (d) X$ .

p. 313

Exemple 35. Si $\forall n \geq 1$ , $X_{n}$ suit une loi uniforme sur $[[1, n - 1]]$ , alors $\frac{X _{n}}{n}$ converge en loi vers la loi uniforme sur $[0, 1]$ .

p. 295

Proposition 36. Si $X_{n} ⟶ (d) X$ et $Y_{n} ⟶ (d) Y$ , alors :

La limite $X$ est unique.
$⟨ X_{n}, Y_{n} ⟩ ⟶ (d) ⟨ X, Y ⟩$ .

Plus généralement, si $\forall n \in N$ , $X_{n}$ et $X$ sont à valeurs dans $E$ , alors $f (X_{n}) ⟶ (d) f (X)$ pour toute $f$ fonction définie et continue sur $E$ .

Théorème 37 (Lemme de Scheffé). On suppose :

$X_{n} ⟶ (p s .) X$ .
$lim_{n \to + \infty} \int_{Ω} X_{n} d P = \int_{Ω} X d P$ .

Alors, $X_{n} ⟶ (L_{1}) X$ .

Corollaire 38. On suppose :

$\forall n \in N$ , $X_{n}$ admet une densité $f_{n}$ .
$(f_{n})$ converge presque partout vers une fonction $f$ .
Il existe une variable aléatoire $X$ admettant $f$ pour densité.

Alors, $X_{n} ⟶ (d) X$ .

Corollaire 39. Si $X$ et $X_{n}$ sont des variables aléatoires à valeurs dans un ensemble dénombrable $D$ pour tout $n \in N$ , en supposant $\forall k \in D, P (X_{n} = k) = P (X = k)$ alors $X_{n} ⟶ (d) X$ .

Application 40. Soit, pour $n \geq 1$ , une variable aléatoire $X_{n}$ suivant la loi binomiale de paramètres $n$ et $p_{n}$ . On suppose que $lim_{n \to + \infty} n p_{n} = λ > 0$ . Alors, $X_{n} ⟶ (d) X$ où $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $λ$ .

p. 302

Théorème 41. En notant $F_{X}$ la fonction de répartition d’une variable aléatoire $X$ , on a, $X_{n} ⟶ (d) X ⟺ F_{X_{n}} (x) ⟶_{n \to + \infty} F_{X} (x)$ en tout point $x$ où $F_{X}$ est continue.

Théorème 42. Soit $X : Ω \to R^{d}$ une variable aléatoire.

Si $(X_{n})$ converge en probabilité vers $X$ , alors $(X_{n})$ converge en loi vers $X$ .
Si $(X_{n})$ converge en loi vers une constante $a$ (ou de manière équivalente, vers une masse de Dirac $δ_{a}$ ), alors $(X_{n})$ converge en probabilité vers $a$ .

[HAU]
p. 362

Contre-exemple 43. Si $(X_{n})$ est une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées de loi $B (p)$ , alors $(X_{n})$ converge en loi vers $B (2 p (1 - p))$ , mais pas en probabilité.

Théorème central limite et applications

[G-K]
p. 305

Théorème 44 (Slutsky). Si $X_{n} ⟶ (d) X$ et $Y_{n} ⟶ (d) c$ où $c$ est un vecteur constant, alors :

$X_{n} + Y_{n} ⟶ (d) X + c$ .
$⟨ X_{n}, Y_{n} ⟩ ⟶ (d) ⟨ X, c ⟩$ .

Notation 45. Si $X$ est une variable aléatoire réelle, on note $ϕ_{X}$ sa fonction caractéristique.

[Z-Q]
p. 544

Théorème 46 (Lévy). On suppose que $(X_{n})$ est une suite de variables aléatoires réelles et $X$ une variable aléatoire réelle. Alors : $X_{n} ⟶ (d) X ⟺ ϕ_{X_{n}} converge simplement vers ϕ_{X}$

[G-K]
p. 307

theoreme-central-limite

Théorème 47 (Central limite). On suppose que $(X_{n})$ est une suite de variables aléatoires réelles indépendantes de même loi admettant un moment d’ordre $2$ . On note $m$ l’espérance et $σ^{2}$ la variance commune à ces variables. On pose $S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n} - nm$ . Alors, $(\frac{S _{n}}{n}) ⟶ (d) N (0, σ^{2})$

Application 48 (Théorème de Moivre-Laplace). On suppose que $(X_{n})$ est une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi $B (p)$ . Alors, $\frac{\sum _{k = 1}^{n} X _{k} - n p}{n} ⟶ (d) N (0, p (1 - p))$

p. 180

Lemme 49. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes telles que $X \sim Γ (a, γ)$ et $Y \sim Γ (b, γ)$ . Alors $Z = X + Y \sim Γ (a + b, γ)$ .

p. 556

Application 50 (Formule de Stirling). $n! \sim 2 nπ (\frac{n}{e})^{n}$

p. 390

theoreme-des-evenements-rares-de-poisson

Application 51 (Théorème des événements rares de Poisson). Soit $(N_{n})_{n \geq 1}$ une suite d’entiers tendant vers l’infini. On suppose que pour tout $n$ , $A_{n, N_{1}}, \dots, A_{n, N_{n}}$ sont des événements indépendants avec $P (A_{n, N_{k}}) = p_{n, k}$ . On suppose également que :

$lim_{n \to + \infty} s_{n} = λ > 0$ où $\forall n \in N, s_{n} = \sum_{k = 1}^{N_{n}} p_{n, k}$ .
$lim_{n \to + \infty} sup_{k \in [[1, N_{n}]]} p_{n, k} = 0$ .

Alors, la suite de variables aléatoires $(S_{n})$ définie par $\forall n \in N^{*}, S_{n} = k = 1 \sum n 1_{A_{n, k}}$ converge en loi vers la loi de Poisson de paramètre $λ$ .