262 Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.

Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.

analysis

Soient un espace probabilisé et une suite de vecteurs aléatoires à valeurs dans .

Premiers modes de convergence

Convergence presque sûre

Définition 1. On dit que converge presque sûrement vers si On note cela .

Remarque 2. La convergence presque sûre d’une suite de vecteurs aléatoires équivaut à la convergence presque sûre de chacune des composantes. Pour cette raison, on peut se limiter à l’étude du cas .

Exemple 3. Si est telle que , alors .

Proposition 4. Si et , alors :

  1. .

  2. .

  3. .

Plus généralement, si , et sont à valeurs dans , alors pour toute fonction définie et continue sur .

Théorème 5 (1 lemme de Borel-Cantelli). Soit une suite d’événements. Si converge, alors

Remarque 6. Cela signifie que presque sûrement, seul un nombre fini d’événements se réalisent.

Corollaire 7. Si converge pour tout , alors .

Exemple 8. Si est telle que , et , alors la suite définie pour tout par est constante à partir d’un certain rang.

Théorème 9 (2 lemme de Borel-Cantelli). Soit une suite d’événements indépendants. Si diverge, alors

Remarque 10. Cela signifie que presque sûrement, un nombre infini d’événements se réalisent.

Exemple 11. On fait une infinité de lancers d’une pièce de monnaie équilibrée. Alors, la probabilité de l’événement on obtient une infinité de fois deux Face consécutifs est .

Corollaire 12 (Loi du - de Borel). Soit une suite d’événements indépendants, alors et elle vaut si et seulement si diverge.

Convergence en probabilité

Définition 13. On dit que converge en probabilité vers si On note cela .

Exemple 14. On suppose que est une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées telle que et . On définit la suite par et la suite par . On a .

Proposition 15. Si et , alors :

  1. .

  2. .

Théorème 16. La convergence presque sûre implique la convergence en probabilité.

Contre-exemple 17. La suite de l’Exemple 14 ne converge pas vers presque sûrement.

Théorème 18. Si , alors il existe une sous-suite de telle que .

Corollaire 19. On suppose . Si , et sont à valeurs dans , alors pour toute fonction définie et continue sur .

Lois des grands nombres

Théorème 20 (Loi faible des grands nombres). Soit une suite de variables aléatoires deux à deux indépendantes de même loi et . On pose . Alors,

Théorème 21 (Loi forte des grands nombres). Soit une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes de même loi. On pose . Alors, Dans ce cas, on a .

Application 22 (Bernstein). Soit continue. On note le -ième polynôme de Bernstein associé à . Alors le suite de fonctions converge uniformément vers .

Corollaire 23 (Weierstrass). Toute fonction continue (avec tels que ) est limite uniforme de fonctions polynômiales sur .

Convergence

Définition 24. On dit que converge dans vers si On note cela .

Proposition 25. Comme les espaces sont de mesure finie,

Corollaire 26. Pour , la convergence dans implique la convergence dans qui implique elle-même la convergence dans .

Contre-exemple 27. Si, alors, converge dans mais pas dans .

Théorème 28 (Convergence dominée). Si et telle que , alors .

Contre-exemple 29. On se place dans le cas où . Si , alors converge vers presque sûrement, mais pas dans .

Proposition 30. Si , alors il existe une sous-suite de telle que .

Théorème 31. La convergence dans (pour ) implique la convergence en probabilité.

Exemple 32. La convergence en probabilité de l’Exemple 14 est en fait une convergence dans .

Contre-exemple 33. Soit une variable aléatoire de densité . On pose . Alors converge vers en probabilité, mais pas dans .

Convergence en loi

Définition et premières propriétés

Définition 34. On dit que converge en loi vers si On note cela .

Exemple 35. Si , suit une loi uniforme sur , alors converge en loi vers la loi uniforme sur .

Proposition 36. Si et , alors :

  1. La limite est unique.

  2. .

Plus généralement, si , et sont à valeurs dans , alors pour toute fonction définie et continue sur .

Théorème 37 (Lemme de Scheffé). On suppose :

  • .

  • .

Alors, .

Corollaire 38. On suppose :

  • , admet une densité .

  • converge presque partout vers une fonction .

  • Il existe une variable aléatoire admettant pour densité.

Alors, .

Corollaire 39. Si et sont des variables aléatoires à valeurs dans un ensemble dénombrable pour tout , en supposant alors .

Application 40. Soit, pour , une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres et . On suppose que . Alors, suit une loi de Poisson de paramètre .

Théorème 41. En notant la fonction de répartition d’une variable aléatoire , on a, en tout point est continue.

Théorème 42. Soit une variable aléatoire.

  1. Si converge en probabilité vers , alors converge en loi vers .

  2. Si converge en loi vers une constante (ou de manière équivalente, vers une masse de Dirac ), alors converge en probabilité vers .

Contre-exemple 43. Si est une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées de loi , alors converge en loi vers , mais pas en probabilité.

Théorème central limite et applications

Théorème 44 (Slutsky). Si et est un vecteur constant, alors :

  1. .

  2. .

Notation 45. Si est une variable aléatoire réelle, on note sa fonction caractéristique.

Théorème 46 (Lévy). On suppose que est une suite de variables aléatoires réelles et une variable aléatoire réelle. Alors :

Théorème 47 (Central limite). On suppose que est une suite de variables aléatoires réelles indépendantes de même loi admettant un moment d’ordre . On note l’espérance et la variance commune à ces variables. On pose . Alors,

Application 48 (Théorème de Moivre-Laplace). On suppose que est une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi . Alors,

Lemme 49. Soient et deux variables aléatoires indépendantes telles que et . Alors .

Application 50 (Formule de Stirling).

Annexes

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Liens entre les différents modes de convergence