264 Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

analysis

Soient $(Ω, A, P)$ un espace probabilisé et $X : Ω \to R$ une variable aléatoire réelle. On munit $R$ de sa tribu borélienne $B (R)$ .

Généralités

Définitions

[G-K]
p. 335

Définition 1.

On dit qu’une loi $μ$ est discrète s’il existe un ensemble $D$ fini tel que $μ (D) = 1$ .
On dit que la variable aléatoire $X$ est discrète si sa loi $P_{X}$ est discrète.

[GOU21]
p. 335

Remarque 2. Cela revient à dire que $X (Ω)$ est fini ou est dénombrable.

Exemple 3. On pose $Ω = {(ω_{n}) \in R^{n} ∣ ω_{n} \in {0, 1} \forall n \in N}$ et $X : (ω_{n}) \mapsto in f {n \in N ∣ ω_{n} = 0}$ . Alors $X$ est une variable aléatoire discrète, à valeurs dans $N \cup {+ \infty}$ .

[G-K]
p. 131

Proposition 4. Si $X$ est une variable aléatoire discrète à valeurs dans un ensemble dénombrable $D$ , alors :

$\forall A \in B (R), P_{X} (A) = \sum_{i \in D \cap A} P (X = i)$ .
$P_{X} = \sum_{i \in D} P (X = i) δ_{i}$ où les $δ_{i}$ sont des masses de Dirac (voir Exemple 7).

Remarque 5. Si $D$ est un ensemble fini ou dénombrable et $(p_{i})_{i \in D}$ est une famille de réels positifs de somme égale à $1$ , alors en posant $Ω = D$ , $A = P (D)$ , $X : ω \mapsto ω$ et $P = \sum_{i \in D} P (X = i) δ_{i}$ , on a construit une variable aléatoire discrète $X$ sur $(Ω, A, P)$ .

Lois discrètes usuelles

p. 137

Définition 6. Si $A \subseteq Ω$ , l’application $1_{A}$ , appelée indicatrice de $A$ est définie sur $Ω$ par $1_{A} : Ω x \to \mapsto {0; 1} {1 si x \in A 0 sinon$

Exemple 7 (Mesure de Dirac). Si $x \in Ω$ , on pose $δ_{x} : A \mapsto 1_{A} (x)$ . C’est une loi discrète sur $P (Ω)$ .

Exemple 8 (Loi uniforme). Soit $E \subseteq Ω$ fini. On appelle loi uniforme sur $E$ la loi discrète définie sur $P (Ω)$ par $P (Ω) A \to \mapsto [[0, 1]] \frac{∣ A \cap E ∣}{∣ E ∣}$

Remarque 9. Il s’agit du nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles. Ainsi, $X$ suit la loi uniforme sur $E$ si on a $\forall x \in E, P (X = x) = \frac{1}{∣ E ∣}$ et $\forall x \in / E, P (X = x) = 0$ .

C’est, par exemple, la loi suivie par une variable aléatoire représentant le lancer d’un dé non truqué avec $E = [[1, 6]]$ .

Exemple 10 (Loi de Bernoulli). $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p \in [0, 1]$ , notée $B (p)$ , si $P (X = 1) = p$ et $P (X = 0) = 1 - p$ . Dans ce cas, $X$ est bien une loi discrète et on a $P_{X} = (1 - p) δ_{0} + p δ_{1}$

Exemple 11 (Loi binomiale). $X$ suit une loi de binomiale de paramètres $n \in N$ et $p \in [0, 1]$ , notée $B (n, p)$ , si $X$ est la somme de $n$ variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois de Bernoulli de paramètre $p$ . Dans ce cas, $X$ est bien une loi discrète et on a $\forall k \in N, P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$

Remarque 12. Il s’agit du nombre de succès pour $n$ tentatives.

C’est, par exemple, la loi suivie par une variable aléatoire représentant le nombre de Pile obtenus lors d’un lancer de pièce équilibrée.

Exemple 13 (Loi géométrique). $X$ suit une loi géométrique de paramètre $p \in] 0, 1]$ , notée $G (p)$ , si l’on a $\forall k \in N^{*}, P (X = k) = p (1 - p)^{k - 1}$

Remarque 14. Il s’agit d’une succession de $k - 1$ échecs consécutifs suivie d’un succès.

C’est, par exemple, la loi suivie par une variable aléatoire représentant le nombre de lancers effectués avant d’obtenir Pile lors d’un lancer de pièce équilibrée.

Exemple 15 (Loi de Poisson). $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $λ > 0$ , notée $P (λ)$ , si l’on a $\forall k \in N^{*}, P (X = k) = e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !}$

p. 298

Remarque 16. Cette loi est une bonne modélisation pour le nombre de fois où un événement rare survient (par exemple, un tremblement de terre).

Propriétés spécifiques aux variables aléatoires discrètes

Indépendance

p. 128

Définition 17. On dit que des variables aléatoires $X_{1}, \dots X_{n}$ , sont indépendantes si $P_{(X_{1}, \dots, X_{n})} = i = 1 ⨂ n P_{X_{i}}$

p. 238

Exemple 18. Si $X_{1}$ et $X_{2}$ sont des variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs $λ$ et $μ$ , alors $X_{1} + X_{2}$ suit une loi de Poisson de paramètre $λ + μ$ .

Contre-exemple 19. Soient $X_{1}$ et $X_{2}$ deux variables aléatoires indépendantes telles que $\forall i \in [[1, 2]], P (X_{i} = 1) = P (X_{i} = - 1) = \frac{1}{2}$ On pose $X_{3} = X_{1} X_{2}$ . Alors, $X_{2}$ et $X_{3}$ sont indépendantes, $X_{1}$ et $X_{3}$ aussi, mais $X_{1}$ , $X_{2}$ et $X_{3}$ ne le sont pas.

[GOU21]
p. 337

Proposition 20. Des variables aléatoires discrètes $X_{1}, \dots, X_{n}$ sont indépendantes si et seulement si $\forall j \in [[, 1, n]], \forall x_{j} \in X_{j} (Ω), P (X_{1} = x_{1}, \dots, X_{n} = x_{n}) = j = 1 \prod n P (X = x_{i})$

Proposition 21. Soient $X_{1}, \dots, X_{n}$ des variables aléatoires discrètes définies sur $(Ω, A, P)$ , $f : X_{1} (Ω) \times \dots \times X_{m} (Ω) \to F$ et $g : X_{m + 1} (Ω) \times \dots \times X_{n} (Ω) \to F^{'}$ deux fonctions. Si $X_{1}, \dots, X_{n}$ sont indépendantes, alors il en est de même de $f (X_{1}, \dots, X_{m})$ et $g (X_{m + 1}, \dots, X_{n})$ .

Espérance

[G-K]
p. 159

Définition 22.

On note $L_{1} (Ω, A, P)$ (ou simplement $L_{1} (Ω)$ voire $L_{1}$ s’il n’y a pas d’ambiguïté) l’espace des variables aléatoires intégrables sur $(Ω, A, P)$ .
Si $X \in L_{1}$ , on peut définir son espérance $E (X) = \int_{Ω} X (ω) d P (ω)$

p. 164

Théorème 23 (Transfert). Si $X$ est une variable aléatoire dont la loi $P_{X}$ admet une densité $f$ par rapport à $P$ et si $g$ est une fonction mesurable, alors $g (X) \in L_{1} ⟺ \int_{R} ∣ g (x) ∣ f (x) d P (x) < + \infty$ et dans ce cas, $E (g (X)) = \int_{R} g (x) f (x) d P (x)$

Corollaire 24. Soit $g$ une fonction mesurable. Si $X$ est une variable aléatoire discrète telle que $X (Ω) = D$ , alors $g (X) \in L_{1} ⟺ i \in D \sum ∣ g (i) ∣ P (X = i) < + \infty$ et dans ce cas, $E (g (X)) = i \in D \sum g (i) P (X = i)$

Remarque 25. En reprenant les notations précédentes, et avec $g : x \mapsto x$ , on a $X \in L_{1} ⟺ i \in D \sum ∣ i ∣ P (X = i) < + \infty$ et dans ce cas, $E (X) = i \in D \sum i P (X = i)$

p. 187

Exemple 26.

$E (1_{A}) = P (A)$ .
$X \sim B (n, p) ⟹ E (X) = n p$ .
$X \sim G (p) ⟹ E (X) = \frac{1}{p}$ .
$X \sim P (λ) ⟹ E (X) = λ$ .

p. 171

Proposition 27. Si $X$ est à valeurs dans $(N, P (N))$ , alors $E (X) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} P (X > k)$ .

Fonctions génératrices

On suppose dans cette sous-section que $X$ est à valeurs dans $(N, P (N))$ .

p. 235

Définition 28. On appelle fonction génératrice de $X$ la fonction $G_{X} : [- 1, 1] z \to \mapsto R \sum_{k = 0}^{+ \infty} P (X = k) z^{k}$

Exemple 29.

$X \sim B (p) ⟹ \forall s \in [- 1, 1], G_{X} (s) = (1 - p) + p s$ .
$X \sim B (n, p) ⟹ \forall s \in [- 1, 1], G_{X} (s) = ((1 - p) + p s)^{n}$ .
$X \sim G (p) ⟹ \forall s \in [- 1, 1], G_{X} (s) = \frac{p s}{1 - ( 1 - p ) s}$ .
$X \sim P (λ) ⟹ \forall s \in [- 1, 1], G_{X} (s) = e^{- λ (1 - s)}$ .

Théorème 30. Soient $X_{1}$ et $X_{2}$ deux variables aléatoires indépendantes et $L_{1}$ . Alors, $E (X_{1} X_{2}) = E (X_{1}) E (X_{2})$

Corollaire 31. Soient $X_{1}$ et $X_{2}$ deux variables aléatoires indépendantes et à valeurs dans $N$ . Alors, $G_{X_{1} X_{2}} = G_{X_{1}} + G_{X_{2}}$

Théorème 32. Sur $[0, 1]$ , la fonction $G_{X}$ est infiniment dérivable et ses dérivées sont toutes positives, avec $G_{X}^{(n)} (s) = E (X (X - 1) \dots (X - n + 1) s^{X - n})$ En particulier, $P (X = n) = \frac{G _{X}^{(n)} ( 0 )}{n !}$ ce qui montre que la fonction génératrice caractérise la loi.

[GOU21]
p. 346

Exemple 33. Si $X_{1} \sim B (n, p)$ et $X_{2} \sim B (m, p)$ sont indépendantes, alors $X_{1} + X_{2} \sim B (n + m, p)$ .

[G-K]
p. 238

Théorème 34. $X \in L_{1}$ si et seulement si $G_{X}$ admet une dérivée à gauche en $1$ . Dans ce cas, $G_{X}^{'} (1) = E (X)$ .

Application en analyse réelle

p. 171

Définition 35. On dit que $X$ admet un moment d’ordre $2$ si elle est de carré intégrable, ie. $X^{2} \in L_{1}$ . On note $L_{1} (Ω, A, P)$ (ou simplement $L_{1} (Ω)$ voire $L_{1}$ s’il n’y a pas d’ambiguïté) l’espace des variables aléatoires de carré intégrable.

Proposition 36. $X_{1}, X_{2} \in L_{2} ⟹ X_{1} X_{2} \in L_{1}$ En particulier, $X_{1} \in L_{2} ⟹ X_{1} \in L_{1}$ .

Définition 37. Soient $X_{1}$ et $X_{2}$ deux variables aléatoires admettant chacune un moment d’ordre $2$ .

On appelle covariance du couple $(X_{1}, X_{2})$ le réel $Covar (X_{1}, X_{2}) = E ((X_{1} - E (X_{1})) (X_{2} - E (X_{2})))$
On appelle variance de $X_{1}$ le réel positif $Var (X_{1}) = Covar (X_{1}, X_{1}) = E (X_{1} - E (X_{1}))^{2} = E (X_{1}^{2}) - (E (X_{1}))^{2}$

[GOU21]
p. 346

Proposition 38. Si $X$ est à valeurs dans $N$ , alors $X \in L_{2}$ si et seulement si $G_{X} \in C^{2} ([0, 1])$ , et dans ce cas, $Var (X) = G_{X}^{''} (1) + G_{X}^{'} (1) - G_{X}^{'} (1)^{2}$

[G-K]
p. 186

Exemple 39.

$Var (1_{A}) = P (A)$ .
$X \sim B (n, p) ⟹ Var (X) = n p (1 - p)$ .
$X \sim G (p) ⟹ Var (X) = \frac{1 - p}{p ^{2}}$ .
$X \sim P (λ) ⟹ Var (X) = λ$ .

p. 177

Proposition 40 (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev). On suppose $X \in L_{2}$ . Alors, $\forall a > 0, P (∣ X - E (X) ∣ \geq a) \leq \frac{Var ( X )}{a ^{2}}$

p. 195

theoreme-de-weierstrass-par-les-probabilites

Théorème 41 (Bernstein). Soit $f : [0, 1] \to R$ continue. On note $\forall n \in N^{*}, B_{n} (f) : x \mapsto k = 0 \sum n (k n) f (\frac{k}{n}) x^{k} (1 - x)^{n - k}$ le $n$ -ième polynôme de Bernstein associé à $f$ . Alors le suite de fonctions $(B_{n} (f))$ converge uniformément vers $f$ .

Théorème 42 (Weierstrass). Toute fonction continue $f : [a, b] \to R$ (avec $a, b \in R$ tels que $a \leq b$ ) est limite uniforme de fonctions polynômiales sur $[a, b]$ .

Théorèmes limites et d’approximations

Théorèmes limites

[Z-Q]
p. 544

Théorème 43 (Lévy). Soient $(X_{n})$ une suite de variables aléatoires réelles et $X$ une variable aléatoire réelle. Alors : $X_{n} ⟶ (d) X ⟺ ϕ_{X_{n}} converge simplement vers ϕ_{X}$ où $ϕ_{Y}$ désigne la fonction caractéristique d’une variable aléatoire réelle $Y$ .

[G-K]
p. 307

Théorème 44 (Central limite). Soit $(X_{n})$ une suite de variables aléatoires réelles indépendantes de même loi admettant un moment d’ordre $2$ . On note $m$ l’espérance et $σ^{2}$ la variance commune à ces variables. On pose $S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n} - nm$ . Alors, $(\frac{S _{n}}{n}) ⟶ (d) N (0, σ^{2})$

p. 390

theoreme-des-evenements-rares-de-poisson

Application 45 (Théorème des événements rares de Poisson). Soit $(N_{n})_{n \geq 1}$ une suite d’entiers tendant vers l’infini. On suppose que pour tout $n$ , $A_{n, N_{1}}, \dots, A_{n, N_{n}}$ sont des événements indépendants avec $P (A_{n, N_{k}}) = p_{n, k}$ . On suppose également que :

$lim_{n \to + \infty} s_{n} = λ > 0$ où $\forall n \in N, s_{n} = \sum_{k = 1}^{N_{n}} p_{n, k}$ .
$lim_{n \to + \infty} sup_{k \in [[1, N_{n}]]} p_{n, k} = 0$ .

Alors, la suite de variables aléatoires $(S_{n})$ définie par $\forall n \in N^{*}, S_{n} = k = 1 \sum n 1_{A_{n, k}}$ converge en loi vers la loi de Poisson de paramètre $λ$ .

p. 270

Théorème 46 (Loi faible des grands nombres). Soit $(X_{n})$ une suite de variables aléatoires deux à deux indépendantes de même loi et $L_{1}$ . On pose $M_{n} = \frac{X _{1} + \dots + X _{n}}{n}$ . Alors, $M_{n} ⟶ (p) E (X_{1})$

[Z-Q]
p. 532

Théorème 47 (Loi forte des grands nombres). Soit $(X_{n})$ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes de même loi. On pose $M_{n} = \frac{X _{1} + \dots + X _{n}}{n}$ . Alors, $X_{1} \in L_{1} ⟺ M_{n} ⟶ (p s .) ℓ \in R$ Dans ce cas, on a $ℓ = E (X_{1})$ .

Approximation d’une loi normale

[G-K]
p. 308

Théorème 48 (Moivre-Laplace). Soit $(X_{n})$ une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi $B (p)$ . Alors, $\frac{\sum _{k = 1}^{n} X _{k} - n p}{n} ⟶ (d) N (0, p (1 - p))$

Approximation d’une loi de Poisson

p. 297

Théorème 49. Soit, pour $n \geq 1$ , une variable aléatoire $X_{n}$ suivant la loi binomiale de paramètres $n$ et $p_{n}$ . On suppose que $lim_{n \to + \infty} n p_{n} = λ > 0$ . Alors, $X_{n} ⟶ (d) P (λ)$

Remarque 50. En pratique, pour $n \geq 30$ et $n p \leq 10$ , on a une bonne approximation de $P (λ)$ .

[GOU21]
p. 343

Exemple 51. Si chaque seconde, il y a une probabilité $p = \frac{1}{600}$ qu’un client entre dans un magasin, le nombre de clients qui entrent sut un intervalle d’une heure suit approximativement une loi de Poisson de paramètre $λ = 3600 p = 6$ .

Pour cette raison, on appelle parfois cette loi la loi des événements rares.

[G-K]
p. 297

Application 52 (Nombre de dérangements). Soit $σ_{n}$ une permutation aléatoire suivant la loi uniforme sur $S_{n}$ . Si on note $D_{n}$ le nombre de points fixes de $σ_{n}$ , on a $P (D_{n} = k) = \frac{1}{k !} \frac{d _{n - k}}{( n - k )!}$ où $d_{n}$ est le nombre de permutations de $S_{n}$ sans point fixe. En particulier, comme $d_{n} \sim \frac{1}{e} n!$ , on a $D_{n} ⟶ (d) P (1)$