264 Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

analysis

Soient $(Ω, A, P)$ un espace probabilisé et $X : Ω \to R$ une variable aléatoire réelle. On munit $R$ de sa tribu borélienne $B (R)$ .

Généralités

Définitions

[G-K]
p. 335

Définition 1

On dit qu’une loi $μ$ est discrète s’il existe un ensemble $D$ fini ou dénombrable tel que $μ (D) = 1$ .
On dit que la variable aléatoire $X$ est discrète si sa loi $P_{X}$ est discrète.

[GOU21]
p. 335

Remarque 2

Cela revient à dire que $X (Ω)$ est fini ou est dénombrable.

Exemple 3

On pose $Ω = {0, 1}^{N}$ et, pour $ω = (ω_{n})_{n \in N} \in Ω$ , $X (ω) = in f {n \in N ∣ ω_{n} = 0}$ (avec la convention $in f \emptyset = + \infty$ ). Alors $X$ est une variable aléatoire discrète, à valeurs dans $N \cup {+ \infty}$ .

[G-K]
p. 131

Proposition 4

Si $X$ est une variable aléatoire discrète à valeurs dans un ensemble dénombrable $D$ , alors :

$\forall A \in B (R), P_{X} (A) = \sum_{i \in D \cap A} P (X = i)$ .
$P_{X} = \sum_{i \in D} P (X = i) δ_{i}$ où les $δ_{i}$ sont des masses de Dirac (voir 7).

Remarque 5

Si $D$ est un ensemble fini ou dénombrable et $(p_{i})_{i \in D}$ est une famille de réels positifs de somme égale à $1$ , alors en posant $Ω = D$ , $A = P (D)$ , $X : ω \mapsto ω$ et $P = \sum_{i \in D} p_{i} δ_{i}$ , on a construit une variable aléatoire discrète $X$ sur $(Ω, A, P)$ .

Lois discrètes usuelles

p. 137

Définition 6

Si $A \subseteq Ω$ , l’application $1_{A}$ , appelée indicatrice de $A$ est définie sur $Ω$ par $1_{A} : Ω x \to \mapsto {0; 1} {1 si x \in A 0 sinon$

Exemple 7

Mesure de DiracSi $x \in Ω$ , on pose $δ_{x} : A \mapsto 1_{A} (x)$ . C’est une loi discrète sur $P (Ω)$ .

Exemple 8

Loi uniformeSoit $E \subseteq Ω$ fini. On appelle loi uniforme sur $E$ la loi discrète définie sur $P (Ω)$ par $P (Ω) A \to \mapsto [0, 1] \frac{∣ A \cap E ∣}{∣ E ∣}$

Remarque 9

Il s’agit du nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles. Ainsi, $X$ suit la loi uniforme sur $E$ si on a $\forall x \in E, P (X = x) = \frac{1}{∣ E ∣}$ et $\forall x \in / E, P (X = x) = 0$ .

C’est, par exemple, la loi suivie par une variable aléatoire représentant le lancer d’un dé non truqué avec $E = [[1, 6]]$ .

Exemple 10

Loi de Bernoulli $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p \in [0, 1]$ , notée $B (p)$ , si $P (X = 1) = p$ et $P (X = 0) = 1 - p$ . Dans ce cas, $X$ est bien une loi discrète et on a $P_{X} = (1 - p) δ_{0} + p δ_{1}$

Exemple 11

Loi binomiale $X$ suit une loi de binomiale de paramètres $n \in N$ et $p \in [0, 1]$ , notée $B (n, p)$ , si $X$ est la somme de $n$ variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois de Bernoulli de paramètre $p$ . Dans ce cas, $X$ est bien une loi discrète et on a $\forall k \in [[0, n]], P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$

Remarque 12

Il s’agit du nombre de succès pour $n$ tentatives.

C’est, par exemple, la loi suivie par une variable aléatoire représentant le nombre de Pile obtenus lors d’un lancer de pièce équilibrée.

Exemple 13

Loi géométrique $X$ suit une loi géométrique de paramètre $p \in] 0, 1]$ , notée $G (p)$ , si l’on a $\forall k \in N^{*}, P (X = k) = p (1 - p)^{k - 1}$

Remarque 14

Il s’agit d’une succession de $k - 1$ échecs consécutifs suivie d’un succès.

C’est, par exemple, la loi suivie par une variable aléatoire représentant le nombre de lancers effectués avant d’obtenir Pile lors d’un lancer de pièce équilibrée.

Exemple 15

Loi de Poisson $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $λ > 0$ , notée $P (λ)$ , si l’on a $\forall k \in N, P (X = k) = e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !}$

p. 298

Remarque 16

Cette loi est une bonne modélisation pour le nombre de fois où un événement rare survient (par exemple, un tremblement de terre).

Propriétés spécifiques aux variables aléatoires discrètes

Indépendance

p. 128

Définition 17

On dit que des variables aléatoires $X_{1}, \dots X_{n}$ , sont indépendantes si $P_{(X_{1}, \dots, X_{n})} = i = 1 ⨂ n P_{X_{i}}$

p. 238

Exemple 18

Si $X_{1}$ et $X_{2}$ sont des variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs $λ$ et $μ$ , alors $X_{1} + X_{2}$ suit une loi de Poisson de paramètre $λ + μ$ .

Contre-exemple 19

Soient $X_{1}$ et $X_{2}$ deux variables aléatoires indépendantes telles que $\forall i \in [[1, 2]], P (X_{i} = 1) = P (X_{i} = - 1) = \frac{1}{2}$ On pose $X_{3} = X_{1} X_{2}$ . Alors, $X_{2}$ et $X_{3}$ sont indépendantes, $X_{1}$ et $X_{3}$ aussi, mais $X_{1}$ , $X_{2}$ et $X_{3}$ ne le sont pas.

[GOU21]
p. 337

Proposition 20

Des variables aléatoires discrètes $X_{1}, \dots, X_{n}$ sont indépendantes si et seulement si $\forall (x_{1}, \dots, x_{n}) \in j = 1 \prod n X_{j} (Ω), P (X_{1} = x_{1}, \dots, X_{n} = x_{n}) = j = 1 \prod n P (X_{j} = x_{j})$

Proposition 21

Soient $X_{1}, \dots, X_{n}$ des variables aléatoires discrètes définies sur $(Ω, A, P)$ , $f : X_{1} (Ω) \times \dots \times X_{m} (Ω) \to F$ et $g : X_{m + 1} (Ω) \times \dots \times X_{n} (Ω) \to F^{'}$ deux fonctions. Si $X_{1}, \dots, X_{n}$ sont indépendantes, alors il en est de même de $f (X_{1}, \dots, X_{m})$ et $g (X_{m + 1}, \dots, X_{n})$ .

Espérance

[G-K]
p. 159

Définition 22

On note $L_{1} (Ω, A, P)$ (ou simplement $L_{1} (Ω)$ voire $L_{1}$ s’il n’y a pas d’ambiguïté) l’espace des variables aléatoires intégrables sur $(Ω, A, P)$ .
Si $X \in L_{1}$ , on peut définir son espérance $E (X) = \int_{Ω} X (ω) d P (ω)$

p. 164

Théorème 23

Théorème de transfertSi $X$ est une variable aléatoire dont la loi $P_{X}$ admet une densité $f$ par rapport à $P$ et si $g$ est une fonction mesurable, alors $g (X) \in L_{1} ⟺ \int_{R} ∣ g (x) ∣ f (x) d P (x) < + \infty$ et dans ce cas, $E (g (X)) = \int_{R} g (x) f (x) d P (x)$

Corollaire 24

Soit $g$ une fonction mesurable. Si $X$ est une variable aléatoire discrète telle que $X (Ω) = D$ , alors $g (X) \in L_{1} ⟺ i \in D \sum ∣ g (i) ∣ P (X = i) < + \infty$ et dans ce cas, $E (g (X)) = i \in D \sum g (i) P (X = i)$

Remarque 25

En reprenant les notations précédentes, et avec $g : x \mapsto x$ , on a $X \in L_{1} ⟺ i \in D \sum ∣ i ∣ P (X = i) < + \infty$ et dans ce cas, $E (X) = i \in D \sum i P (X = i)$

p. 187

Exemple 26

$E (1_{A}) = P (A)$ .
$X \sim B (n, p) ⟹ E (X) = n p$ .
$X \sim G (p) ⟹ E (X) = \frac{1}{p}$ .
$X \sim P (λ) ⟹ E (X) = λ$ .

p. 171

Proposition 27

Si $X$ est à valeurs dans $(N, P (N))$ , alors $E (X) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} P (X > k)$ .

Fonctions génératrices

On suppose dans cette sous-section que $X$ est à valeurs dans $(N, P (N))$ .

p. 235

Définition 28

On appelle fonction génératrice de $X$ la fonction $G_{X} : [- 1, 1] z \to \mapsto R \sum_{k = 0}^{+ \infty} P (X = k) z^{k}$

Exemple 29

$X \sim B (p) ⟹ \forall s \in [- 1, 1], G_{X} (s) = (1 - p) + p s$ .
$X \sim B (n, p) ⟹ \forall s \in [- 1, 1], G_{X} (s) = ((1 - p) + p s)^{n}$ .
$X \sim G (p) ⟹ \forall s \in [- 1, 1], G_{X} (s) = \frac{p s}{1 - ( 1 - p ) s}$ .
$X \sim P (λ) ⟹ \forall s \in [- 1, 1], G_{X} (s) = e^{- λ (1 - s)}$ .

Théorème 30

Soient $X_{1}$ et $X_{2}$ deux variables aléatoires indépendantes et intégrables. Alors, $E (X_{1} X_{2}) = E (X_{1}) E (X_{2})$

Corollaire 31

Soient $X_{1}$ et $X_{2}$ deux variables aléatoires indépendantes et à valeurs dans $N$ . Alors, $G_{X_{1} + X_{2}} = G_{X_{1}} G_{X_{2}}$

Théorème 32

Sur $[0, 1 [$ , la fonction $G_{X}$ est infiniment dérivable et ses dérivées sont toutes positives, avec $G_{X}^{(n)} (s) = E (X (X - 1) \dots (X - n + 1) s^{X - n})$ En particulier, $P (X = n) = \frac{G _{X}^{(n)} ( 0 )}{n !}$ ce qui montre que la fonction génératrice caractérise la loi.

[GOU21]
p. 346

Exemple 33

Si $X_{1} \sim B (n, p)$ et $X_{2} \sim B (m, p)$ sont indépendantes, alors $X_{1} + X_{2} \sim B (n + m, p)$ .

[G-K]
p. 238

Théorème 34

$X \in L_{1}$ si et seulement si $G_{X}$ admet une dérivée à gauche en $1$ . Dans ce cas, $G_{X}^{'} (1) = E (X)$ .

Application en analyse réelle

p. 171

Définition 35

On dit que $X$ admet un moment d’ordre $2$ si elle est de carré intégrable, ie. $X^{2} \in L_{1}$ . On note $L_{2} (Ω, A, P)$ (ou simplement $L_{2} (Ω)$ voire $L_{2}$ s’il n’y a pas d’ambiguïté) l’espace des variables aléatoires de carré intégrable.

Proposition 36

$X_{1}, X_{2} \in L_{2} ⟹ X_{1} X_{2} \in L_{1}$ En particulier, $X_{1} \in L_{2} ⟹ X_{1} \in L_{1}$ .

Définition 37

Soient $X_{1}$ et $X_{2}$ deux variables aléatoires admettant chacune un moment d’ordre $2$ .

On appelle covariance du couple $(X_{1}, X_{2})$ le réel $Covar (X_{1}, X_{2}) = E ((X_{1} - E (X_{1})) (X_{2} - E (X_{2})))$
On appelle variance de $X_{1}$ le réel positif $Var (X_{1}) = Covar (X_{1}, X_{1}) = E ((X_{1} - E (X_{1}))^{2}) = E (X_{1}^{2}) - (E (X_{1}))^{2}$

[GOU21]
p. 346

Proposition 38

Si $X$ est à valeurs dans $N$ , alors $X \in L_{2}$ si et seulement si $G_{X} \in C^{2} ([0, 1])$ , et dans ce cas, $Var (X) = G_{X}^{''} (1) + G_{X}^{'} (1) - G_{X}^{'} (1)^{2}$

[G-K]
p. 186

Exemple 39

$Var (1_{A}) = P (A) (1 - P (A))$ .
$X \sim B (n, p) ⟹ Var (X) = n p (1 - p)$ .
$X \sim G (p) ⟹ Var (X) = \frac{1 - p}{p ^{2}}$ .
$X \sim P (λ) ⟹ Var (X) = λ$ .

p. 177

Proposition 40

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. On suppose $X \in L_{2}$ . Alors, $\forall a > 0, P (∣ X - E (X) ∣ \geq a) \leq \frac{Var ( X )}{a ^{2}}$

p. 195

theoreme-de-weierstrass-par-les-probabilites

Théorème 41

Théorème de BernsteinSoit $f : [0, 1] \to R$ continue. On note $\forall n \in N^{*}, B_{n} (f) : x \mapsto k = 0 \sum n (k n) f (\frac{k}{n}) x^{k} (1 - x)^{n - k}$ le $n$ -ième polynôme de Bernstein associé à $f$ . Alors la suite de fonctions $(B_{n} (f))$ converge uniformément vers $f$ .

Théorème 42

Théorème de WeierstrassToute fonction continue $f : [a, b] \to R$ (avec $a, b \in R$ tels que $a \leq b$ ) est limite uniforme de fonctions polynomiales sur $[a, b]$ .

Théorèmes limites et d’approximations

Théorèmes limites

[Z-Q]
p. 544

Théorème 43

Théorème de LévySoient $(X_{n})$ une suite de variables aléatoires réelles et $X$ une variable aléatoire réelle. Alors : $X_{n} ⟶ (d) X ⟺ ϕ_{X_{n}} converge simplement vers ϕ_{X}$ où $ϕ_{Y}$ désigne la fonction caractéristique d’une variable aléatoire réelle $Y$ .

[G-K]
p. 307

Théorème 44

Central limiteSoit $(X_{n})$ une suite de variables aléatoires réelles indépendantes de même loi admettant un moment d’ordre $2$ . On note $m$ l’espérance et $σ^{2}$ la variance commune à ces variables. On pose $S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n} - nm$ . Alors, $(\frac{S _{n}}{n}) ⟶ (d) N (0, σ^{2})$

p. 390

theoreme-des-evenements-rares-de-poisson

Application 45

Théorème des événements rares de PoissonSoit $(N_{n})_{n \geq 1}$ une suite d’entiers tendant vers l’infini. On considère des événements $A_{n, 1}, \dots, A_{n, N_{n}}$ indépendants avec $P (A_{n, k}) = p_{n, k}$ . On suppose également que :

$lim_{n \to + \infty} s_{n} = λ > 0$ où $\forall n \in N, s_{n} = \sum_{k = 1}^{N_{n}} p_{n, k}$ .
$lim_{n \to + \infty} sup_{k \in [[1, N_{n}]]} p_{n, k} = 0$ .

Alors, la suite de variables aléatoires $(S_{n})$ définie par $\forall n \in N^{*}, S_{n} = k = 1 \sum N_{n} 1_{A_{n, k}}$ converge en loi vers la loi de Poisson de paramètre $λ$ .

p. 270

Théorème 46

Loi faible des grands nombresSoit $(X_{n})$ une suite de variables aléatoires deux à deux indépendantes de même loi et $L_{1}$ . On pose $M_{n} = \frac{X _{1} + \dots + X _{n}}{n}$ . Alors, $M_{n} ⟶ (p) E (X_{1})$

[Z-Q]
p. 532

Théorème 47

Loi forte des grands nombresSoit $(X_{n})$ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes de même loi. On pose $M_{n} = \frac{X _{1} + \dots + X _{n}}{n}$ . Alors, $X_{1} \in L_{1} ⟺ M_{n} ⟶ (p s .) ℓ \in R$ Dans ce cas, on a $ℓ = E (X_{1})$ .

Approximation d’une loi normale

[G-K]
p. 308

Théorème 48

Théorème de Moivre-LaplaceSoit $(X_{n})$ une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi $B (p)$ . Alors, $\frac{\sum _{k = 1}^{n} X _{k} - n p}{n} ⟶ (d) N (0, p (1 - p))$

Approximation d’une loi de Poisson

p. 297

Théorème 49

Soit, pour $n \geq 1$ , une variable aléatoire $X_{n}$ suivant la loi binomiale de paramètres $n$ et $p_{n}$ . On suppose que $lim_{n \to + \infty} n p_{n} = λ > 0$ . Alors, $X_{n} ⟶ (d) P (λ)$

Remarque 50

En pratique, pour $n \geq 30$ et $n p \leq 10$ , on a une bonne approximation de $P (λ)$ .

[GOU21]
p. 343

Exemple 51

Si chaque seconde, il y a une probabilité $p = \frac{1}{600}$ qu’un client entre dans un magasin, le nombre de clients qui entrent sur un intervalle d’une heure suit approximativement une loi de Poisson de paramètre $λ = 3600 p = 6$ .

Pour cette raison, on appelle parfois cette loi la loi des événements rares.

[G-K]
p. 297

Application 52

Nombre de dérangementsSoit $σ_{n}$ une permutation aléatoire suivant la loi uniforme sur $S_{n}$ . Si on note $D_{n}$ le nombre de points fixes de $σ_{n}$ , on a $P (D_{n} = k) = \frac{1}{k !} \frac{d _{n - k}}{( n - k )!}$ où $d_{n}$ est le nombre de permutations de $S_{n}$ sans point fixe. En particulier, comme $d_{n} \sim \frac{1}{e} n!$ , on a $D_{n} ⟶ (d) P (1)$