264 Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

analysis

Soient un espace probabilisé et une variable aléatoire réelle. On munit de sa tribu borélienne .

Généralités

Définitions

Définition 1.

  • On dit qu’une loi est discrète s’il existe un ensemble fini tel que .

  • On dit que la variable aléatoire est discrète si sa loi est discrète.

Remarque 2. Cela revient à dire que est fini ou est dénombrable.

Exemple 3. On pose et . Alors est une variable aléatoire discrète, à valeurs dans .

Proposition 4. Si est une variable aléatoire discrète à valeurs dans un ensemble dénombrable , alors :

  1. .

  2. où les sont des masses de Dirac (voir Exemple 7).

Remarque 5. Si est un ensemble fini ou dénombrable et est une famille de réels positifs de somme égale à , alors en posant , , et , on a construit une variable aléatoire discrète sur .

Lois discrètes usuelles

Définition 6. Si , l’application , appelée indicatrice de est définie sur par

Exemple 7 (Mesure de Dirac). Si , on pose . C’est une loi discrète sur .

Exemple 8 (Loi uniforme). Soit . On appelle loi uniforme sur la loi discrète définie sur par

Remarque 9. Il s’agit du nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles. Ainsi, suit la loi uniforme sur si on a et .

C’est, par exemple, la loi suivie par une variable aléatoire représentant le lancer d’un dé non truqué avec .

Exemple 10 (Loi de Bernoulli). suit une loi de Bernoulli de paramètre , notée , si et . Dans ce cas, est bien une loi discrète et on a

Exemple 11 (Loi binomiale). suit une loi de binomiale de paramètres et , notée , si est la somme de variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois de Bernoulli de paramètre . Dans ce cas, est bien une loi discrète et on a

Remarque 12. Il s’agit du nombre de succès pour tentatives.

C’est, par exemple, la loi suivie par une variable aléatoire représentant le nombre de Pile obtenus lors d’un lancer de pièce équilibrée.

Exemple 13 (Loi géométrique). suit une loi géométrique de paramètre , notée , si l’on a

Remarque 14. Il s’agit d’une succession de échecs consécutifs suivie d’un succès.

C’est, par exemple, la loi suivie par une variable aléatoire représentant le nombre de lancers effectués avant d’obtenir Pile lors d’un lancer de pièce équilibrée.

Exemple 15 (Loi de Poisson). suit une loi de Poisson de paramètre , notée , si l’on a

Remarque 16. Cette loi est une bonne modélisation pour le nombre de fois où un événement rare survient (par exemple, un tremblement de terre).

Propriétés spécifiques aux variables aléatoires discrètes

Indépendance

Définition 17. On dit que des variables aléatoires , sont indépendantes si

Exemple 18. Si et sont des variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs et , alors suit une loi de Poisson de paramètre .

Contre-exemple 19. Soient et deux variables aléatoires indépendantes telles que On pose . Alors, et sont indépendantes, et aussi, mais , et ne le sont pas.

Proposition 20. Des variables aléatoires discrètes sont indépendantes si et seulement si

Proposition 21. Soient des variables aléatoires discrètes définies sur , et deux fonctions. Si sont indépendantes, alors il en est de même de et .

Espérance

Définition 22.

  • On note (ou simplement voire s’il n’y a pas d’ambiguïté) l’espace des variables aléatoires intégrables sur .

  • Si , on peut définir son espérance

Théorème 23 (Transfert). Si est une variable aléatoire dont la loi admet une densité par rapport à et si est une fonction mesurable, alors et dans ce cas,

Corollaire 24. Soit une fonction mesurable. Si est une variable aléatoire discrète telle que , alors et dans ce cas,

Remarque 25. En reprenant les notations précédentes, et avec , on a et dans ce cas,

Exemple 26.

  • .

  • .

  • .

  • .

Proposition 27. Si est à valeurs dans , alors .

Fonctions génératrices

On suppose dans cette sous-section que est à valeurs dans .

Définition 28. On appelle fonction génératrice de la fonction

Exemple 29.

  • .

  • .

  • .

  • .

Théorème 30. Soient et deux variables aléatoires indépendantes et . Alors,

Corollaire 31. Soient et deux variables aléatoires indépendantes et à valeurs dans . Alors,

Théorème 32. Sur , la fonction est infiniment dérivable et ses dérivées sont toutes positives, avec En particulier, ce qui montre que la fonction génératrice caractérise la loi.

Exemple 33. Si et sont indépendantes, alors .

Théorème 34. si et seulement si admet une dérivée à gauche en . Dans ce cas, .

Application en analyse réelle

Définition 35. On dit que admet un moment d’ordre si elle est de carré intégrable, ie. . On note (ou simplement voire s’il n’y a pas d’ambiguïté) l’espace des variables aléatoires de carré intégrable.

Proposition 36. En particulier, .

Définition 37. Soient et deux variables aléatoires admettant chacune un moment d’ordre .

  • On appelle covariance du couple le réel

  • On appelle variance de le réel positif

Proposition 38. Si est à valeurs dans , alors si et seulement si , et dans ce cas,

Exemple 39.

  • .

  • .

  • .

  • .

Proposition 40 (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev). On suppose . Alors,

Théorème 41 (Bernstein). Soit continue. On note le -ième polynôme de Bernstein associé à . Alors le suite de fonctions converge uniformément vers .

Théorème 42 (Weierstrass). Toute fonction continue (avec tels que ) est limite uniforme de fonctions polynômiales sur .

Théorèmes limites et d’approximations

Théorèmes limites

Théorème 43 (Lévy). Soient une suite de variables aléatoires réelles et une variable aléatoire réelle. Alors : désigne la fonction caractéristique d’une variable aléatoire réelle .

Théorème 44 (Central limite). Soit une suite de variables aléatoires réelles indépendantes de même loi admettant un moment d’ordre . On note l’espérance et la variance commune à ces variables. On pose . Alors,

Théorème 45 (Loi faible des grands nombres). Soit une suite de variables aléatoires deux à deux indépendantes de même loi et . On pose . Alors,

Théorème 46 (Loi forte des grands nombres). Soit une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes de même loi. On pose . Alors, Dans ce cas, on a .

Approximation d’une loi normale

Théorème 47 (Moivre-Laplace). Soit une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi . Alors,

Approximation d’une loi de Poisson

Théorème 48. Soit, pour , une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres et . On suppose que . Alors,

Remarque 49. En pratique, pour et , on a une bonne approximation de .

Exemple 50. Si chaque seconde, il y a une probabilité qu’un client entre dans un magasin, le nombre de clients qui entrent sut un intervalle d’une heure suit approximativement une loi de Poisson de paramètre .

Pour cette raison, on appelle parfois cette loi la loi des événements rares.

Application 51 (Nombre de dérangements). Soit une permutation aléatoire suivant la loi uniforme sur . Si on note le nombre de points fixes de , on a est le nombre de permutations de sans point fixe. En particulier, comme , on a