266 Utilisation de la notion d’indépendance en probabilités.

Utilisation de la notion d’indépendance en probabilités.

analysis

Soit $(Ω, A, P)$ un espace probabilisé.

Indépendance en probabilités

Indépendance d’événements

Définition 1. On dit que deux événements $A$ et $B$ sont indépendants (sous $P$ ) si $P (A \cap B) = P (A) P (B)$

Définition 2. On dit que les événements d’une famille $(A_{i})_{i \in I}$ sont mutuellement indépendants si $\forall J \subseteq I, J fini, P j \in J ⋂ A_{j} = j \in J \prod P (A_{j})$

[DAN]
p. 425

Proposition 3. Soient $A, B$ deux événements. Alors, $A et B sont ind \overset{e}{ˊ} pendants ⟺ P (A ∖ B) = P (A) ⟺ P (B ∖ A) = P (B)$

Proposition 4. Soient $A_{1}, \dots, A_{n}$ des événements mutuellement indépendants. Alors, pour tout $k \in [[1, n]]$ , $A_{1}^{c}, \dots, A_{k}^{c}, A_{k + 1}, \dots, A_{n}$ sont mutuellement indépendants.

Exemple 5. On considère deux gênes $a$ et $b$ tels que la redondance de l’un d’entre eux entraîne l’acquisition d’un caractère d’un caractère $C$ . Anselme et Colette possèdent chacun la combinaison $ab$ et attendant un enfant : elles lui transmettront chacun et indépendamment soit le gêne $a$ , soit le gêne $b$ avec la même probabilité de $\frac{1}{2}$ . On considère les événements :

$A$ : Colette transmet le gêne $a$ .
$B$ : Anselme transmet le gêne $b$ .
$C$ : l’enfant présent le caractère $C$ .

$A$ , $B$ et $C$ sont indépendants deux à deux, mais non mutuellement indépendants.

Application 6 (Indicatrice d’Euler). On note $φ$ l’indicatrice d’Euler. Alors, $\forall n \geq 2, φ (n) = n p premier p ∣ n \prod (1 - \frac{1}{p})$

Indépendance de tribus

[G-K]
p. 52

Définition 7. On dit que deux sous-tribus $A_{1}$ et $A_{2}$ de $A$ sont indépendantes (sous $P$ ) si $\forall A \in A_{1}, \forall B \in A_{2}, P (A \cap B) = P (A) P (B)$

Définition 8. On dit qu’une famille de sous-tribus $(A_{i})_{i \in I}$ de $A$ sont indépendantes (sous $P$ ) si $\forall J \subseteq I, J fini, \forall (A_{j})_{j \in J} \in j \in J \prod A_{j}, P j \in J ⋂ A_{j} = j \in J \prod P (A_{j})$

Remarque 9.

Pour tout $A, B \in A$ , $A$ est indépendante de $B$ si et seulement si $σ (A)$ est indépendante de $σ (B)$ .
Si deux tribus $A$ et $B$ sont indépendantes, toute sous tribu de $A$ est indépendante de toute sous tribu de $B$ .

Indépendance de variables aléatoires

Variables aléatoires indépendantes

p. 125

Définition 10. Soit $X$ une variable aléatoire réelle définie sur $(Ω, A, P)$ . On note $σ (X) = {X^{- 1} (A) ∣ A \in B (R)}$ Cette famille est la tribu engendrée par $X$ .

Définition 11. On dit que deux variables aléatoires $X$ et $Y$ sont indépendantes si les tribus qu’elles engendrent sont indépendantes.

Exemple 12. Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes, on a $\forall A, B \in B (R), P ({X \in A} \cap {Y \in B}) = P (X \in A) P (Y \in B)$

Proposition 13. Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes, alors $f (X)$ et $g (Y)$ sont indépendantes pour toutes fonctions mesurables $f$ et $g$ .

p. 136

Proposition 14. Soient $X$ et $Y$ deux vecteurs aléatoires indépendants. On suppose que $X$ admet une densité $f$ et $Y$ admet une densité $g$ . Alors, $(X, Y)$ admet comme densité $(x, y) \mapsto f (x) g (y)$ .

p. 175

Proposition 15. Soient $X$ et $Y$ deux vecteurs aléatoires indépendants intégrables. Alors, $E (X Y) = E (X) E (Y)$

Variables aléatoires non corrélées

p. 174

Définition 16. On dit que deux variables aléatoires $X$ et $Y$ sont non corrélées si $Covar (X, Y) = E (X - E (X)) E (Y - E (Y)) = 0$

Proposition 17. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes intégrables. Alors $X$ et $Y$ ne sont pas corrélées.

Contre-exemple 18. La réciproque est fausse. Ainsi, soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires vérifiant $P ({X = 1} \cap {Y = 1}) = P ({X = 1} \cap {Y = - 1}) = P ({X = - 1} \cap {Y = 0}) = \frac{1}{3}$ alors, $X$ et $Y$ sont non corrélées mais pas indépendantes.

Étude de variables aléatoires indépendantes

Critères d’indépendance

p. 128

Théorème 19. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires. Alors, $X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si $P_{(X, Y)} = P_{X} \otimes P_{Y}$ .

Corollaire 20. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes. Alors, $P_{X + Y} = P_{X} * P_{Y}$ .

p. 136

Proposition 21. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur $(Ω, A, P)$ . On suppose que $(X, Y)$ admet une densité $h : (x, y) \mapsto f (x) g (y)$ à variables séparées. Alors, $X$ et $Y$ sont indépendantes. De plus, $X$ et $Y$ admettent respectivement pour densité $x \mapsto \frac{f ( x )}{\int _{R} f ( t ) d t} et y \mapsto \frac{g ( y )}{\int _{R} g ( t ) d t}$ par rapport à la mesure de Lebesgue.

Sommes de variables aléatoires indépendantes

p. 179

Théorème 22. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles indépendantes de densités respectives $f$ et $g$ . Alors, $X + Y$ admet comme densité la fonction $f * g : x \mapsto \int_{R} f (x - t) g (t) d t$ .

Application 23. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes telles que $X \sim Γ (a, γ)$ et $Y \sim Γ (b, γ)$ . Alors $Z = X + Y \sim Γ (a + b, γ)$ .

Application 24. $\frac{Γ ( a ) Γ ( b )}{Γ ( a + b )} = \int_{0}^{1} θ^{a - 1} (1 - θ)^{b - 1} d θ$ où $Γ$ désigne la fonction $Γ$ d’Euler.

p. 235

Définition 25. Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $N$ . On appelle fonction génératrice de $X$ la fonction $G_{X} : [- 1, 1] z \to \mapsto R \sum_{k = 0}^{+ \infty} P (X = k) z^{k}$

Proposition 26. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $N$ indépendantes. Alors, $G_{X + Y} = G_{X} G_{Y}$

Théorème 27. Sur $[0, 1]$ , la fonction $G_{X}$ est infiniment dérivable et ses dérivées sont toutes positives, avec $G_{X}^{(n)} (s) = E (X (X - 1) \dots (X - n + 1) s^{X - n})$ En particulier, $P (X = n) = \frac{G _{X}^{(n)} ( 0 )}{n !}$ ce qui montre que la fonction génératrice caractérise la loi.

Exemple 28. Si $X_{1} \sim P (λ)$ et $X_{2} \sim P (μ)$ sont indépendantes, alors $X_{1} + X_{2} \sim P (λ + μ)$ .

[GOU21]
p. 346

Exemple 29. Si $X_{1} \sim B (n, p)$ et $X_{2} \sim B (m, p)$ sont indépendantes, alors $X_{1} + X_{2} \sim B (n + m, p)$ .

[G-K]
p. 239

Définition 30. On appelle fonction caractéristique de $X$ la fonction $ϕ_{X}$ définie sur $R^{d}$ par $ϕ_{X} : t \mapsto E (e^{i ⟨ t, X ⟩})$

Théorème 31. Si deux variables (ou vecteurs) aléatoires ont la même fonction caractéristique, alors elles ont même loi.

Proposition 32. Si deux variables aléatoires réelles sont indépendantes, alors $ϕ_{X + Y} = ϕ_{X} ϕ_{Y}$ .

Indépendance et théorèmes limites

Lemmes de Borel-Cantelli

p. 272

Théorème 33 (1 lemme de Borel-Cantelli). Soit $(A_{n})$ une suite d’événements. Si $\sum P (A_{n})$ converge, alors $P (n \to + \infty lim sup A_{n}) = 0$

Remarque 34. Cela signifie que presque sûrement, seul un nombre fini d’événements $A_{n}$ se réalisent.

Corollaire 35. Si $\sum P (∣ X_{n} - X ∣ > ϵ)$ converge pour tout $ϵ > 0$ , alors $X_{n} ⟶ (p s .) X$ .

p. 285

Exemple 36. Si $(X_{n})$ est telle que $\forall n \geq 1$ , $P (X_{n} = n) = P (X_{n} = \pm n) = \frac{1}{2 n ^{2}}$ et $P (X_{n} = 0) = 1 - \frac{1}{2 n ^{2}}$ , alors la suite $(S_{n})$ définie pour tout $n \geq 1$ par $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} X_{k}$ est constante à partir d’un certain rang.

p. 273

Théorème 37 (2 lemme de Borel-Cantelli). Soit $(A_{n})$ une suite d’événements indépendants. Si $\sum P (A_{n})$ diverge, alors $P (n \to + \infty lim sup A_{n}) = 1$

Remarque 38. Cela signifie que presque sûrement, un nombre infini d’événements $A_{n}$ se réalisent.

p. 286

Exemple 39. On fait une infinité de lancers d’une pièce de monnaie équilibrée. Alors, la probabilité de l’événement on obtient une infinité de fois deux Face consécutifs est $1$ .

Corollaire 40 (Loi du $0$ - $1$ de Borel). Soit $(A_{n})$ une suite d’événements indépendants, alors $P (n \to + \infty lim sup A_{n}) = 0 ou 1$ et elle vaut $1$ si et seulement si $\sum P (A_{n})$ diverge.

Lois des grands nombres

p. 270

Théorème 41 (Loi faible des grands nombres). Soit $(X_{n})$ une suite de variables aléatoires deux à deux indépendantes de même loi et $L_{1}$ . On pose $M_{n} = \frac{X _{1} + \dots + X _{n}}{n}$ . Alors, $M_{n} ⟶ (p) E (X_{1})$

[Z-Q]
p. 532

Théorème 42 (Loi forte des grands nombres). Soit $(X_{n})$ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes de même loi. On pose $M_{n} = \frac{X _{1} + \dots + X _{n}}{n}$ . Alors, $X_{1} \in L_{1} ⟺ M_{n} ⟶ (p s .) ℓ \in R$ Dans ce cas, on a $ℓ = E (X_{1})$ .

[G-K]
p. 195

Application 43 (Théorème de Bernstein). Soit $f : [0, 1] \to R$ continue. On note $\forall n \in N^{*}, B_{n} (f) : x \mapsto k = 0 \sum n (k n) f (\frac{k}{n}) x^{k} (1 - x)^{n - k}$ le $n$ -ième polynôme de Bernstein associé à $f$ . Alors la suite de fonctions $(B_{n} (f))$ converge uniformément vers $f$ .

theoreme-de-weierstrass-par-les-probabilites

Corollaire 44 (Théorème de Weierstrass). Toute fonction continue $f : [a, b] \to R$ (avec $a, b \in R$ tels que $a \leq b$ ) est limite uniforme de fonctions polynômiales sur $[a, b]$ .

Théorème central limite

[Z-Q]
p. 544

Théorème 45 (Lévy). Soient $(X_{n})$ une suite de variables aléatoires réelles et $X$ une variable aléatoire réelle. Alors : $X_{n} ⟶ (d) X ⟺ ϕ_{X_{n}} converge simplement vers ϕ_{X}$

[G-K]
p. 307

Théorème 46 (Central limite). On suppose que $(X_{n})$ est une suite de variables aléatoires réelles indépendantes de même loi admettant un moment d’ordre $2$ . On note $m$ l’espérance et $σ^{2}$ la variance commune à ces variables. On pose $S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n} - nm$ . Alors, $(\frac{S _{n}}{n}) ⟶ (d) N (0, σ^{2})$

Application 47 (Théorème de Moivre-Laplace). On suppose que $(X_{n})$ est une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi $B (p)$ . Alors, $\frac{\sum _{k = 1}^{n} X _{k} - n p}{n} ⟶ (d) N (0, p (1 - p))$

p. 556

Application 48 (Formule de Stirling). $n! \sim 2 nπ (\frac{n}{e})^{n}$

p. 390

theoreme-des-evenements-rares-de-poisson

Application 49 (Théorème des événements rares de Poisson). Soit $(N_{n})_{n \geq 1}$ une suite d’entiers tendant vers l’infini. On suppose que pour tout $n$ , $A_{n, N_{1}}, \dots, A_{n, N_{n}}$ sont des événements indépendants avec $P (A_{n, N_{k}}) = p_{n, k}$ . On suppose également que :

$lim_{n \to + \infty} s_{n} = λ > 0$ où $\forall n \in N, s_{n} = \sum_{k = 1}^{N_{n}} p_{n, k}$ .
$lim_{n \to + \infty} sup_{k \in [[1, N_{n}]]} p_{n, k} = 0$ .

Alors, la suite de variables aléatoires $(S_{n})$ définie par $\forall n \in N^{*}, S_{n} = k = 1 \sum n 1_{A_{n, k}}$ converge en loi vers la loi de Poisson de paramètre $λ$ .

Annexes

[G-K]
p. 137

p. 236

Loi	Somme (indépendantes de même loi)
de Bernoulli	$\sum_{k = 1}^{n} B (p) \sim B (n, p)$
Binomiale	$\sum_{k = 1}^{n} B (n_{k}, p) \sim B (\sum_{k = 1}^{n} n_{k}, p)$
de Poisson	$\sum_{k = 1}^{n} P (λ_{k}) \sim P (\sum_{k = 1}^{n} λ_{k})$

Sommes de variables aléatoires à lois discrètes.

p. 142

p. 247

p. 178

Loi	Somme (indépendantes de même loi)
Normale	$\sum_{k = 1}^{n} N (μ_{k}, σ_{k}^{2}) \sim N (\sum_{k = 1}^{n} μ_{k}, \sum_{k = 1}^{n} σ_{k}^{2})$
Exponentielle	$\sum_{k = 1}^{n} E (λ) \sim E (nλ)$
Gamma	$\sum_{k = 1}^{n} Γ (a_{k}, γ) \sim Γ (\sum_{k = 1}^{n} a_{k}, γ)$

Sommes de variables aléatoires à densité.