Agrégation

102 Groupe des nombres complexes de module $1$ . Racines de l’unité. Applications.

103 Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

104 Groupes finis. Exemples et applications.

105 Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

106 Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie $E$ , sous-groupes de $GL (E)$ . Applications.

108 Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

120 Anneaux $Z / n Z$ . Applications.

121 Nombres premiers. Applications.

122 Anneaux principaux. Exemples et applications.

123 Corps finis. Applications.

125 Extensions de corps. Exemples et applications.

127 Exemples de nombres remarquables. Exemples d’anneaux de nombres remarquables. Applications.

141 Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

142 PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

144 Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

148 Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

149 Déterminant. Exemples et applications.

150 Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

151 Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

152 Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

153 Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

154 Exemples de décompositions de matrices. Applications.

155 Exponentielle de matrices. Applications.

156 Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

157 Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

158 Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

159 Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

162 Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

170 Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

171 Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

190 Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

191 Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.

201 Espaces de fonctions. Exemples et applications.

203 Utilisation de la notion de compacité.

204 Connexité. Exemples d’applications.

205 Espaces complets. Exemples et applications.

206 Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.

208 Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

209 Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.

213 Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.

214 Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.

215 Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^{n}$ . Exemples et applications.

218 Formules de Taylor. Exemples et applications.

219 Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

221 Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

223 Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

224 Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

226 Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n + 1} = f (u_{n})$ . Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

228 Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

229 Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

230 Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

234 Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

235 Problèmes d’interversion de symboles en analyse.

236 Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

239 Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.

241 Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

243 Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

244 Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

245 Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de $C$ . Exemples et applications.

246 Séries de Fourier. Exemples et applications.

250 Transformation de Fourier. Applications.

253 Utilisation de la notion de convexité en analyse.

261 Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.

262 Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.

264 Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

266 Utilisation de la notion d’indépendance en probabilités.

Développements

Caractérisation réelle de la fonction $Γ$

On montre que la fonction $Γ$ d’Euler est la seule fonction log-convexe sur $R^{+}$ prenant la valeur $1$ en $1$ et vérifiant $Γ (x + 1) = x Γ (x)$ pour tout $x > 0$ .

Connexité des valeurs d’adhérence d’une suite dans un compact

On montre que l’ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite d’un espace métrique compact est connexe en raisonnant par l’absurde, puis on utilise ce résultat pour démontrer le lemme des grenouilles.

Critère d’Eisenstein

Ici, nous démontrons le célèbre critère d’Eisenstein que l’on utilise énormément en pratique pour montrer qu’un polynôme est irréductible.

Décomposition de Dunford

On démontre l’existence et l’unicité de la décomposition de Dunford pour tout endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie.

Décomposition polaire

On montre que toute matrice $M \in GL_{n} (R)$ peut s’écrire de manière unique $M = OS$ avec $O \in O_{n} (R)$ et $S \in S_{n}^{++} (R)$ , et que l’application $(O, S) \mapsto M$ est un homéomorphisme.

Densité des polynômes orthogonaux

On montre que la famille des polynômes orthogonaux associée à une fonction poids $ρ$ vérifiant certaines hypothèses forme une base hilbertienne de $L_{2} (I, ρ)$ (où $I$ est un intervalle de $R$ ).

Développement asymptotique de la série harmonique

On effectue un développement asymptotique à l’ordre $2$ de la série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ .

Dimension du commutant

Dans ce développement, on montre en se ramenant à la résolution d’un système d’équations linéaires homogène que la dimension du commutant d’une matrice est plus grande que celle de l’espace de départ. On applique ensuite ce résultat pour donner une condition nécessaire et suffisante qui permettant de calculer le commutant de cette matrice.

Dual de $L_{p}$

Avec les propriétés hilbertiennes de $L_{2}$ couplées à certaines propriétés des espaces $L_{p}$ , on montre que le dual d’un espace $L_{p}$ est $L_{q}$ pour $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ , dans le cas où $p \in] 1, 2 [$ et où l’espace est de mesure finie.

Équation de Sylvester

On montre que l’équation $A X + XB = C$ d’inconnue $X$ admet une unique solution pour tout $C \in M_{n} (C)$ et pour tout $A, B \in M_{n} (C)$ dont les valeurs propres sont de partie réelle strictement négative.

Équivalence des normes en dimension finie et théorème de Riesz

On montre l’équivalence des normes en dimension finie ainsi que le théorème de Riesz sur la compacité de la boule unité fermée toujours en dimension finie, qui sont deux résultats fondamentaux sur les espaces vectoriels normés.

Formes de Hankel

Le but de ce développement est de construire une forme quadratique permettant de dénombrer les racines réelles distinctes d’un polynôme en fonction de ses racines complexes.

Formule de Stirling

Dans ce développement un peu technique, nous démontrons la formule de Stirling $n! \sim 2 nπ (\frac{n}{e})^{n}$ à l’aide du théorème central limite et de la fonction $Γ$ d’Euler.

Formule sommatoire de Poisson

On démontre la formule sommatoire de Poisson en utilisant principalement la théorie des séries de Fourier.

$exp : S_{n} (R) \to S_{n}^{++} (R)$ est un homéomorphisme

Dans ce développement, on démontre que l’exponentielle de matrices induit un homéomorphisme de $S_{n} (R)$ sur $S_{n}^{++} (R)$ .

Intégrale de Dirichlet

Il s’agit ici de calculer l’intégrale de Dirichlet en utilisant les théorèmes classiques d’intégration.

Lemme de Morse

En usant (certains diront plutôt en abusant) du théorème d’inversion locale, on montre le lemme de Morse et on l’applique à l’étude de la position d’une surface par rapport à son plan tangent.

Loi d’inertie de Sylvester

Le but de ce développement est de montrer la très connue loi d’inertie de Sylvester qui donne l’existence (et une forme d’unicité) de la décomposition d’une forme quadratique réelle en carrés de formes linéaires indépendantes.

Méthode de Newton

On démontre ici la méthode de Newton qui permet de trouver numériquement une approximation précise d’un zéro d’une fonction réelle d’une variable réelle.

Nombres de Bell

En utilisant les propriétés des séries entières, nous calculons le nombre de partitions de l’ensemble $[[1, n]]$ .

Projection sur un convexe fermé

On montre le théorème de projection sur un convexe fermé dans un espace de Hilbert réel en utilisant les suites de Cauchy et des propriétés du produit scalaire.

Simplicité de $A_{n}$ pour $n \geq 5$

On montre que $A_{n}$ est simple pour $n \geq 5$ en montrant dans un premier temps le cas $n = 5$ , puis en s’y ramenant.

Suite de polygones

Il s’agit ici d’étudier une suite de polygones à l’aide de déterminants classiques, et de montrer qu’elle converge vers l’isobarycentre du polygone de départ.

$exp : M_{n} (R) \to GL_{n} (R)$ est surjective

Dans ce développement, on démontre que l’exponentielle de matrices est surjective en utilisant des théorèmes d’analyse.

Théorème central limite

En établissant d’abord le théorème de Lévy, on démontre le théorème central limite, qui dit que si $(X_{n})$ est une suite de variables aléatoires identiquement distribuées admettant un moment d’ordre $2$ , alors $\frac{X _{1} + \dots + X _{n} - n E ( X _{1} )}{n}$ converge en loi vers $N (0, Var (X_{1}))$ .

Théorème chinois

On montre le théorème chinois et on propose une application à la résolution d’un système de congruences.

Théorème d’Abel angulaire

On montre le théorème d’Abel angulaire, qui permet d’intervertir certaines sommes et limites, et on l’applique justement au calcul de deux sommes.

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

En construisant un raisonnement autour du théorème du point fixe de Banach, on montre le théorème de Cauchy-Lipschitz, qui garantit l’existence d’une solution répondant à une condition initiale et l’unicité d’une solution maximale.

Théorème de Dirichlet faible

En raisonnant par l’absurde et en utilisant certaines propriétés des polynômes cyclotomiques, on démontre que l’ensemble des premiers congrus à $1$ modulo un certain entier $n$ est infini.

Théorème de Fejér

Dans ce développement, on montre le théorème de Fejér, qui assure la convergence de la série de Fourier d’une fonction au sens de Cesàro.

Théorème de Frobenius-Zolotarev

Nous démontrons le théorème de Frobenius-Zolotarev qui permet de calculer la signature d’un endomorphisme d’un espace vectoriel sur un corps fini possédant au moins $3$ éléments.

Théorème de Kronecker

En utilisant les polynômes symétriques, nous montrons ici que toutes les racines d’un polynôme unitaire à coefficients entiers dont les racines sont dans $D (0, 1) ∖ {0}$ , sont en fait des racines de l’unité.

Premier théorème de Sylow

En procédant par récurrence sur le cardinal du groupe, on montre l’existence d’un sous-groupe de Sylow.

Théorème de Wantzel

Une application sympathique de la théorie des corps en géométrie. Les arguments sont assez simples et donnent lieu à de jolies applications.

Théorème de Wedderburn

En utilisant les polynômes cyclotomiques, nous montrons que tout corps fini est commutatif.

Théorème de Weierstrass (par la convolution)

On montre le théorème de Weierstrass par la convolution (sans forcément développer toute la théorie derrière, ce qui peut être utile dans certaines leçons).

Théorème de Weierstrass (par les probabilités)

On montre le théorème de Weierstrass en faisant un raisonnement sur des variables aléatoires suivant une loi de Bernoulli.

Théorème des deux carrés de Fermat

Nous démontrons le théorème des deux carrés de Fermat (qui donne des conditions sur la décomposition en facteurs premiers d’un entier pour que celui-ci soit somme de deux carrés) à l’aide de l’anneau des entiers de Gauss $Z [i]$ .

Théorème des événements rares de Poisson

On établit la convergence en loi vers une loi de Poisson d’une suite de variables aléatoires.

Transformée de Fourier d’une gaussienne

On calcule la transformée de Fourier d’une fonction de type gaussienne $x \mapsto e^{- a x^{2}}$ à l’aide du théorème intégral de Cauchy.

Trigonalisation simultanée

Nous montrons le théorème de trigonalisation simultanée grâce à l’utilisation des applications transposées (et donc, de la dualité).

Fiches

Autour de la compacité

En utilisant la compacité, on montre diverses propriétés des espaces métriques et des espaces vectoriels normés, notamment de dimension finie.

Chiffrement RSA

On commence par récapituler toute l’arithmétique des entiers, connue depuis la L1, et sans faire appel à la théorie des groupes. On détaille ensuite un exemple pratique de chiffrement RSA, et on explique les mathématiques se trouvant derrière à l’aide de la première partie.

Codes correcteurs d’erreurs

Petite fiche résumant ce qu’il faut savoir sur les codes correcteurs d’erreurs pour l’agrégation.

Conseils généraux

Dans cette fiche un peu différente, je liste quelques conseils de préparation qui ont fonctionné pour moi.

Extrema liés

Rédaction propre et la plus détaillée possible de l’existence et l’unicité des multiplicateurs de Lagrange liant les différentielles de plusieurs fonctions sous certaines hypothèses.

Invariants de similitude

Nous montrons l’existence et l’unicité des invariants de similitude d’un endomorphisme d’un espace de dimension finie en utilisant la dualité.

Lemme des noyaux

On montre par récurrence le lemme des noyaux pour un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie, et on applique ce résultat pour obtenir un critère de diagonalisation.

Transformée de Fourier discrète

On dispose en mathématiques de quatre opérations dites élémentaires : l’addition, la soustraction, la division et donc la multiplication. On sait tous multiplier deux entiers en base $10$ : il suffit de faire la multiplication de chaque chiffre du multiplicateur par chaque chiffre du multiplicande, puis d’additionner le tout. Pour deux nombres de taille $n$ , cela donne un algorithme de complexité $O (n^{2})$ . Mais dès que l’on veut multiplier de très grands chiffres (en informatique par exemple), cet algorithme montre très vite ses limites. Nous allons étudier ici le cas des polynômes en donnant un algorithme de multiplication utilisant la transformée de Fourier rapide.